广东省深圳市新安中学九年级数学上册 第2章 一元二次方程单元综合测试题（含解析）（新版）北师大版.doc

第2章 一元二次方程一、选择题（共30分）.1下列方程中，关于x的一元二次方程是( )a3（x+1）2=2（x+1）bcax2+bx+c=0dx2+2x=x212一元二次方程x21=0的根为( )ax=1bx=1cx1=1，x2=1dx1=0，x2=13用配方法解方程：x24x+2=0，下列配方正确的是( )a（x2）2=2b（x+2）2=2c（x2）2=2d（x2）2=64如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是( )ax2+3x+4=0bx24x+3=0cx2+4x3=0dx2+3x4=05一元二次方程x2+x+2=0的根的情况是( )a有两个不相等的正根b有两个不相等的负根c没有实数根d有两个相等的实数根6某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是( )a200（1+a%）2=148b200（1a%）2=148c200（12a%）=148d200（1a2%）=1487从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是( )a9cm2b68cm2c8cm2d64cm28在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )a（60+x）（40+2x）=2816b（60+x）（40+x）=2816c（60+2x）（40+x）=2816d（60+2x）（40+2x）=28169一个小球以15m/s的初速度坚直向上弹出，它在空中的高度的h（m）与时间t（s）满足关系：h=15t5t2，小球何时能达到10m高？( )a2sb1sc1s或2sd无法确定10若t是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根，则根的判别式b24ac和完全平方式（2at+b）2的关系是( )ab24ac=（2at+b）2bb24ac（2at+b）2cb24ac（2at+b）2d大小关系不能确定二、填空题（每题3分，共15分）11一元二次方程（1+3x）（x3）=2x2+1化为一般形式为_12一元二次方程x2=2x的根是_13方程（x1）2=4的解为_14我市某企业为节约用水，自建污水净化站7月份净化污水3 000吨，9月份增加到3 630吨，则这两个月净化的污水量平均每月增长的百分率为_%15若一个三角形的三边长均满足方程x26x+8=0，则此三角形的周长为_三、用合适的方法解下列方程（共18分）16解方程（1）x2+3x4=0（2）2（x1）2=1x18先阅读，再解题解方程（x1）25（x1）+4=0，可以将（x1）看成一个整体，设x1=y，则原方程可化y25y+4=0，解得y1=1；y2=4，当y=1时，即x1=1，解得x=2，当y=4时，即x1=4，解得x=5，所 原方程的解为x1=2，x2=5请利用上述这种方法解方程：（3x5）24（53x）+3=019一农场要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏的长为40m，（1）若养鸡场的面积能达到180m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）养鸡场的面积能达到250m2？20如图ad是abc的高，点g、h在bc边上，点e在ab边上，点f在ac边上，bc=10cm，ad=8cm，四边形efhg是面积为15cm2的矩形，求这个矩形的长和宽21某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，（1）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？（2）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润最大？22如图，在rtabc中，c=90，ac=3，bc=4，点e在直角边ac上（点e与a、c两点均不重合），点f在斜边ab上（点f与a、b两点均不重合）（1）若ef平分rtabc的周长，设ae长为x，aef的面积为y，试写出y与x的函数关系式（2）若aef的面积为，则ae的长为多少？（2）是否存在线段ef将rtabc的周长和面积同时平分？若存在，求出此时ae的长；若不存在，说明理由北师大新版九年级上册第2章 一元二次方程2015年单元测试卷（广东省深圳市新安中学）一、选择题（共30分）.1下列方程中，关于x的一元二次方程是( )a3（x+1）2=2（x+1）bcax2+bx+c=0dx2+2x=x21【考点】一元二次方程的定义 【分析】一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程（4）二次项系数不为0【解答】解：a、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x4=0，是一元二次方程，故正确；b、方程不是整式方程，故错误；c、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；d、是一元一次方程，故错误故选：a【点评】判断一个方程是否是一元二次方程：首先要看是否是整式方程；然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2这是一个需要识记的内容2一元二次方程x21=0的根为( )ax=1bx=1cx1=1，x2=1dx1=0，x2=1【考点】解一元二次方程-直接开平方法 【专题】压轴题【分析】首先把1移到方程的右边，再两边直接开平方即可【解答】解：x21=0，移项得：x2=1，两边直接开平方得：x=1，故选：c【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a0）的形式，利用数的开方直接求解3用配方法解方程：x24x+2=0，下列配方正确的是( )a（x2）2=2b（x+2）2=2c（x2）2=2d（x2）2=6【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】配方法【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方【解答】解：把方程x24x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x24x=2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x24x+4=2+4，配方得（x2）2=2故选：a【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数4如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，那么这个一元二次方程是( )ax2+3x+4=0bx24x+3=0cx2+4x3=0dx2+3x4=0【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可【解答】解：关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=3，x2=1，3+1=p，31=q，p=4，q=3，故选：b【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算5一元二次方程x2+x+2=0的根的情况是( )a有两个不相等的正根b有两个不相等的负根c没有实数根d有两个相等的实数根【考点】根的判别式 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式=b24ac的值的符号就可以了【解答】解：a=1，b=1，c=2，=b24ac=12412=70，方程没有实数根故选c【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根6某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是( )a200（1+a%）2=148b200（1a%）2=148c200（12a%）=148d200（1a2%）=148【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题【分析】主要考查增长率问题，本题可用降价后的价格=降价前的价格（1降价率），首先用x表示两次降价后的售价，然后由题意可列出方程【解答】解：依题意得两次降价后的售价为200（1a%）2，200（1a%）2=148故选：b【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量7从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是( )a9cm2b68cm2c8cm2d64cm2【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题【分析】可设正方形的边长是xcm，根据“余下的面积是48cm2”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解【解答】解：设正方形的边长是xcm，根据题意得：x（x2）=48，解得x1=6（舍去），x2=8，那么原正方形铁片的面积是88=64cm2故选d【点评】本题考查了一元二次方程应用以及矩形及正方形面积公式，表示出矩形各边长是解题关键8在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( )a（60+x）（40+2x）=2816b（60+x）（40+x）=2816c（60+2x）（40+x）=2816d（60+2x）（40+2x）=2816【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】几何图形问题【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm；则运用面积公式列方程即可【解答】解：挂图长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm，所以根据矩形的面积公式可得：（60+2x）（40+2x）=2816故选：d【点评】此题是一元二次方程的应用，解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积=矩形的长矩形的宽9一个小球以15m/s的初速度坚直向上弹出，它在空中的高度的h（m）与时间t（s）满足关系：h=15t5t2，小球何时能达到10m高？( )a2sb1sc1s或2sd无法确定【考点】一元二次方程的应用 【分析】把h=10代入h=15t5t2，得到一元二次方程10=15t5t2，解方程求出t即可【解答】解：根据题意，把h=10代入关系式得：10=15t5t2，即t23t+2=0，解得t=1或2，所以小球运动时间为1s或2s时，能达到10m高故选c【点评】本题考查了一元二次方程的应用，把h的值代入已知函数解析式，得到一元二次方程，比较简单也考查了一元二次方程的解法10若t是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根，则根的判别式b24ac和完全平方式（2at+b）2的关系是( )ab24ac=（2at+b）2bb24ac（2at+b）2cb24ac（2at+b）2d大小关系不能确定【考点】根的判别式 【分析】把t代入原方程得到at2+bt+c=0两边同乘以4a，移项，再两边同加上b2，整理即可得到（2at+b）2=b24ac【解答】解：t是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根，at2+bt+c=0，4a2t2+4abt+4ac=0，4a2t2+4abt=4ac，4a2t2+b2+4abt=b24ac，（2at）2+4abt+b2=b24ac，（2at+b）2=b24ac故选：a【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）根的判别式=b24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的解的意义二、填空题（每题3分，共15分）11一元二次方程（1+3x）（x3）=2x2+1化为一般形式为x28x4=0【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】把方程展开，移项、合并同类项后再根据一元二次方程的一般形式进行排列各项即可【解答】解：（1+3x）（x3）=2x2+1，可化为：x3+3x29x=2x2+1，化为一元二次方程的一般形式为x28x4=0【点评】去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号12一元二次方程x2=2x的根是x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案【解答】解：移项，得x22x=0，提公因式得，x（x2）=0，x=0或x2=0，x1=0，x2=2故答案为：x1=0，x2=2【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法13方程（x1）2=4的解为3或1【考点】解一元二次方程-直接开平方法 【分析】观察方程的特点，可选用直接开平方法【解答】解：（x1）2=4，即x1=2，所以x1=3，x2=1【点评】用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a0）；ax2=b（a，b同号且a0）；（x+a）2=b（b0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a0）法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”14我市某企业为节约用水，自建污水净化站7月份净化污水3 000吨，9月份增加到3 630吨，则这两个月净化的污水量平均每月增长的百分率为10%【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），如果设这两个月净化的污水量平均每月增长的百分率为x，那么由题意可得出方程为3000（1+x）2=3630解方程即可求解【解答】解：设这两个月净化的污水量平均每月增长的百分率为x，由题意得3000（1+x）2=3630解得x=0.1或2.1（不合题意，舍去）所以这两个月净化的污水量平均每月增长的百分率为10%【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量15若一个三角形的三边长均满足方程x26x+8=0，则此三角形的周长为6，10，12【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系 【专题】计算题；压轴题【分析】求abc的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长首先求出方程的根，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可【解答】解：解方程x26x+8=0得x1=4，x2=2；当4为腰，2为底时，4244+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；当2为腰，4为底时42=24+2不能构成三角形，当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故abc的周长是6或10或12【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去三、用合适的方法解下列方程（共18分）16解方程（1）x2+3x4=0（2）2（x1）2=1x【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可（2）此题可采用提公因式法，可得方程因式分解的形式，即可求解【解答】解：（1）x2+3x4=0（x+4）（x1）=0，x+4=0，x1=0，x=4，x=1；（2）2（x1）2=1x2（x1）2+（x1）=0，（x+1）（2x2+1）=0，x+1=0，2x2+1=0，x1=1，x2=【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键18先阅读，再解题解方程（x1）25（x1）+4=0，可以将（x1）看成一个整体，设x1=y，则原方程可化y25y+4=0，解得y1=1；y2=4，当y=1时，即x1=1，解得x=2，当y=4时，即x1=4，解得x=5，所 原方程的解为x1=2，x2=5请利用上述这种方法解方程：（3x5）24（53x）+3=0【考点】换元法解一元二次方程 【专题】阅读型【分析】把3x5看作一个整体，设y=3x5，把原方程转化为y2+4y+3=0，求得方程的解，进一步代入求得原方程的解【解答】解：设y=3x5，则原方程转化为y2+4y+3=0，解得：y1=1；y2=3，当y=1时，即3x5=1，解得x=，当y=3时，即3x5=3，解得x=，所以原方程的解为x1=，x2=【点评】此题考查换元法解一元二次方程，掌握整体代换的思想是解决问题的关键19一农场要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏的长为40m，（1）若养鸡场的面积能达到180m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）养鸡场的面积能达到250m2？【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题【分析】（1）首先设平行于墙的一边为x米，则另一边长为米，然后根据矩形的面积=长宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为180m2，可得方程，解方程即可；（2）要求鸡场的面积能否达到250平方米，只需让鸡场的面积先等于250，然后看得出的一元二次方程有没有实数根，如果有就证明可以达到250平方米，如果方程无解，说明不能达到250平方米【解答】解：（1）设平行于墙的一边为x米，则另一边长为米，根据题意得：x=180，整理得出：x240x+360=0，解得：x1=20+2，x2=202，由于墙长25米，而20+225，x1=20+2不合题意舍去，020225，x2=202，符合题意，此时=10+，答：此时鸡场平行于墙的一边长米，宽是（10+）米（2）设与墙平行的一边长为x米，则：x=250，整理得出：x240x+500=0，b24ac=40241500=4000，此方程无解，不能使鸡场的面积能达到250m2【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用读懂题意，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键20如图ad是abc的高，点g、h在bc边上，点e在ab边上，点f在ac边上，bc=10cm，ad=8cm，四边形efhg是面积为15cm2的矩形，求这个矩形的长和宽【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】首先设矩形efhg的长为xcm，由四边形efhg是面积为15cm2的矩形，可得矩形efhg的宽为：cm，又由bc=10cm，ad=8cm，可求得ak的值，易证得aefabc，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可得方程：，解此方程即可求得答案【解答】解：设矩形efhg的长为xcm，四边形efhg是面积为15cm2的矩形，矩形efhg的宽为：cm，即ef=gh=xcm，eg=fh=cm，ad是abc的高，四边形efhg是矩形，efbc，kd=eg=cm，adef，ak=adkd=（8）cm，aefabc，即4x240x+75=0，（2x15）（2x5）=0，解得：x=或x=，当x=时，=2；当x=时，=6这个矩形的长和宽为：，2或6，【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用21某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，（1）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？（2）问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润最大？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用 【专题】销售问题【分析】（1）根据等量关系“利润=（售价进价）销量”列出函数关系式（2）根据（1）中的函数关系式求得利润最