高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5.ppt

1 1 2余弦定理 1 2 1 余弦定理 1 2 名师点拨由余弦定理可得 在 abc中 若a为锐角 则cosa 0 有b2 c2 a2 0 即b2 c2 a2 若a为直角 则cosa 0 有b2 c2 a2 0 即b2 c2 a2 若a为钝角 则cosab2 c2 1 2 练一练1在 abc中 ab 1 bc 2 b 60 则ac 解析 由条件已知三角形的两边及其夹角 故可以直接利用余弦定理求得边ac 即ac2 ab2 bc2 2ab bccosb 1 4 2 1 2 3 所以ac 答案 1 2 2 利用余弦定理及其推论解三角形的类型 1 已知三角形的三边求三角 2 已知三角形的两边及夹角求第三边及两角 1 2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一已知三边解三角形已知三角形的三边求三角时 一般利用余弦定理的推论先求出两角 再根据三角形内角和定理求出第三个角 利用余弦定理的推论求角时 应注意余弦函数在 0 上是单调的 当余弦值为正时 角为锐角 当余弦值为负时 角为钝角 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题1已知 abc中 a b c 2 1 求 abc的各内角度数 思路分析 根据三边比例关系设出三边 然后用余弦定理的推论求出两个内角 再用三角形内角和定理求出第三个内角 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二已知两边及一角 解三角形在三角形中 已知两边及一角有两种情况 一是已知两边及夹角 二是已知两边及一边所对的角 若已知角是两边的夹角 先直接利用余弦定理求另一边 然后根据三边的大小关系 利用正弦定理解三角形 若已知角是两边中一边的对角 有两种解题思路 一种思路是利用余弦定理列出方程 运用解方程的方法求出另一边长 另一种思路是直接运用正弦定理 先求角再求边 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题2在 abc中 根据下列条件解三角形 思路分析 1 利用余弦定理求边b 然后用正弦定理或余弦定理求a和c 2 方法一 用余弦定理得关于c的方程 求出c 再利用余弦定理求b和c 方法二 先用正弦定理求出b 再求角c和边c 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 温馨提示已知两边及一边的对角解三角形有两种解法 可根据情况选择合适的解法 但无论用哪一种解法 都要注意不能漏解 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三判断三角形的形状判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考 可用正 余弦定理将已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等方式得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 也可利用正 余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系 通过三角变换 得出三角形各内角之间的关系 从而判断三角形的形状 探究一 探究二 探究三 探究四 典型例题3在 abc中 已知 a b c a b c 3ab 且2cosasinb sinc 试确定 abc的形状 思路分析 要判断 abc的形状 可利用正 余弦定理将角的关系化为边的关系 也可将边的关系化为角的关系 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 即c2 b2 c2 a2 a b 又 a b c a b c 3ab a b 2 c2 3b2 4b2 c2 3b2 b c a b c abc为等边三角形 探究一 探究二 探究三 探究四 解法二 边化角 a b c 180 sinc sin a b 又 2cosasinb sinc 2cosasinb sinacosb cosasinb sin a b 0 又 a与b均为 abc的内角 a b 又由 a b c a b c 3ab 得 a b 2 c2 3ab a2 b2 c2 2ab 3ab 即a2 b2 c2 ab 由余弦定理 得cosc 0 c 180 c 60 又 a b abc为等边三角形 探究一 探究二 探究三 探究四 方法总结余弦定理和正弦定理一样 都是围绕着三角形进行边角互换的 所以在有关三角形的题目中 要有意识地考虑用哪个定理更合适 或是两个定理都要用 要抓住能利用两个定理的信息 一般地 如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式 要考虑用余弦定理 反之 若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式 则大多用正弦定理 若是以上特征不明显 则要考虑两个定理都有可能用 探究一 探究二 探究三 探究四 变式训练3 在 abc中 若acosa bcosb ccosc 试判断 abc的形状 等式两边同乘以2abc 得a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 c2 a2 b2 c2 整理化简得a4 b4 2a2b2 c4 a2 b2 2 c4 a2 b2 c2或b2 a2 c2 即a2 b2 c2或b2 a2 c2 故 abc是以a 或b 为直角的直角三角形 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四易错辨析易错点忽略三角形的条件致错典型例题4在钝角三角形abc中 a 1 b 2 c t 且c是最大角 求t的取值范围 错解 abc是钝角三角形 且c是最大角 c 90 a2 b2 c2 0 即1 4 t2 0 探究一 探究二 探究三 探究四 错因分析 错解忽略了两边之和大于第三边 即a b c这个隐含条件 导致t的取值范围变大 正解 a b c是三角形的三边 c a b t 1 2 3 abc是钝角三角形 且c是最大角 90 c 180 12345 12345 12345 3 在 abc中 b 60 b2 ac 则 abc的形状是 解析 由余弦定理 得b2 a2 c2 2accosb 即ac a2 c2 ac 所以 a c 2 0 即a c 又因为b 60 所以 abc为等边三角形 答案 等边三角形 12345 4 已知 abc满足b 60 ab 3 ac 则bc的长等于 解析 设bc x x 0 由余弦定理 得ac2 ab2 bc2 2ab b