【备战】高考数学 全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选试题分类汇编9 圆锥曲线 理.doc

备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 （贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知、是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（） 【答案】a【解析】设椭圆的半长轴为，椭圆的离心率为，则.双曲线的实半轴为，双曲线的离心率为，.，则由余弦定理得，当点看做是椭圆上的点时,有，当点看做是双曲线上的点时,有，两式联立消去得，即，所以，又因为，所以，整理得，解得，所以，即双曲线的离心率为，选a. （甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试 数学（理）试题）若p点是以a（-3，0）、b（3，0）为焦点，实轴长为的双曲线与圆的一个交点，则= （ ）a b. c. d. 【答案】c （【解析】云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理科数学）已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为，p到直线的距离为，则的最小值 ( )a b c d【答案】d【解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。因为点到轴的距离为，所以到准线的距离为，又,所以，焦点到直线的距离，而，所以，选d. （云南省昆明市2013届高三复习适应性检测数学（理）试题）设抛物线,直线过抛物线的焦点,且与的对称轴垂直,与交于两点, 为的准线上一点,若的面积为,则(a) (b) (c) (d)【答案】 c （贵州省遵义四中2013届高三第四月考理科数学）设圆锥曲线的两个焦点分别为、，若曲线上存在点满足：=4：3：2，则曲线的离心率等于（ ）（a） （b）（c） （d） 【答案】d【解析】因为：=4：3：2，所以设，。因为，所以。若曲线为椭圆，则有即，所以离心率。若曲线为双曲线圆，则有即，所以离心率，所以选d. （云南省部分名校（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）2013届高三下学期第二次统考数学（理）试题）设圆的圆心与双曲线的右焦点重合,且该圆与双曲线的渐近线相切,若直线:被圆截得的弦长等于2,则的值为a.b.c.d.3【答案】 a （贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试（二）理科数学 word版含答案）已知点p是双曲线上一点,过p作c的两条渐近线的垂线,垂足分别为a,b两点,则等于a. b. c.0 d.1【答案】 a （云南省昆明市2013届高三复习适应性检测数学（理）试题）过双曲线左焦点斜率为的直线分别与的两渐近线交于点与,若,则的渐近线的斜率为(a) (b) (c) (d)【答案】 a （【解析】云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理科数学）椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为( ) a b. c. d.【答案】c【解析】因为椭圆的焦距是4，所以又准线为，所以焦点在轴且，解得，所以，所以椭圆的方程为，选c.（甘肃省2013届高三第一次诊断考试数学（理）试题）已知点f是双曲线=1（a0，b0）的左焦点，点e是该双曲线的右顶点，过f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点若abe是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 a（1,+） b（1,2） c（1,l+） d（2,l+）【答案】b【解析】要使abe是锐角三角形，只需满足角aeb为锐角，只需满足aef1，所以离心率e的取值范围是（1,2）。（云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理科数学）在抛物线上取横坐标为的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为（ ）a b c d【答案】a【解析】解：两点坐标为，两点连线的斜率k=对于，2x+a=a2解得x=1在抛物线上的切点为，切线方程为直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，即解得a=4或0（0舍去），所以抛物线方程为顶点坐标为，故选a（【解析】贵州省四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率等于（ ） a b c d【答案】a【解析】双曲线的渐近线方程为，已知双曲线的一条渐近为，所以，即所以，选a.（云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学理）已知直线交于p，q两点，若点f为该椭圆的左焦点，则取最小值的t值为abcd【答案】b【解析】椭圆的左焦点，根据对称性可设，,则，所以，又因为，所以，所以当时，取值最小，选b.（云南省玉溪一中2013届高三第三次月考理科数学）已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于 轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）a b c d【答案】c【解析】 由题设条件可知abc为等腰三角形，只要af2b为钝角即可，所以有，即，所以，解得，选c.（甘肃省兰州一中2013高考冲刺模拟(一)数学（理）若曲线f（x，y）= 0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）= 0的“自公切线”.下列方程：；，；对应的曲线中存在“自公切线”的有ab c d【答案】b（甘肃省兰州一中2013高考冲刺模拟(一)数学（理）.椭圆上有两个动点、，则的最小值为a. 6 b. c. 9 d. 【答案】a（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理科数学试题）设是双曲线的右焦点，双曲线两条渐近线分别为，过作直线的垂线，分别交于、两点，且向量与同向若成等差数列，则双曲线离心率的大小为a2bcd【答案】d【解析】设=md，=m，=m+d，由勾股定理，得 (md)2+m2=(m+d)2解得m=4d设aof=，则cos2=cos=，所以，离心率e =.选d.（云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解）已知点在圆上,点在双曲线的右支上,是双曲线的左焦点,则的最小值为a.b.c.d.【答案】设双曲线的右焦点为,则,由双曲线定义知 , , 当共线时, .故选b. （云南省部分名校2013届高三第一次统一考试理科数学（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于（ ）abcd【答案】a【解析】圆的标准方程为，即圆心为，半径。双曲线的一条渐近线为，即。圆心到直线的距离，即，即，所以，所以，即，选a.（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：；，；对应的曲线中存在“自公切线”的有（ ）abcd【答案】b【解析】画图可知选b. x2y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；=，在 x= 和 x= 处的切线都是y=，故有自公切线=5sin（x+），cos=，sin=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线由于，即 x2+2|x|+y23=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线故答案为 b（贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试（二）理科数学 word版含答案）已知曲线上两点和,其中.过的直线与x轴交于点,那么a.x心成等差数列 b.成等比数列c.成等差数列 d.成等比数列【答案】 a （云南省部分名校2013届高三第一次统一考试理科数学（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）已知4，则曲线和有（ ）a. 相同的准线 b. 相同的焦点 c. 相同的离心率 d. 相同的长轴【答案】b【解析】当时，所以为椭圆方程。所以。又，所以两曲线有相同的，即有相同的焦点，选b.二、填空题（云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解）以为直径的圆有一内接梯形,且.以、为焦点的椭圆恰好过、两点,当梯形的周长最大时,此椭圆的离心率为_.【答案】不妨设,圆心为o, 则, 梯形abcd的周长为 , 当时,梯形abcd的周长最大,此时, 椭圆的离心率. （云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学理）已知点a（4，4）在抛物线上，该抛物线的焦点为f，过点a作直线l：的垂线，垂足为m，则maf的平分线所在直线的方程为 。【答案】【解析】点a在抛物线上，所以，所以，所以抛物线的焦点为,准线方程为，垂足,由抛物线的定义得,所以的平分线所在的直线就是线段的垂直平分线，所以的平分线所在的直线方程为，即。（甘肃省2013届高三第一次诊断考试数学（理）试题）设f为抛物线y2 =4x的焦点，a，b，c为该抛物线上三点，若，则 。【答案】6【解析】因为，所以点f为abc的重心，所以a、b、c三点的横坐标之和为点f的横坐标的三倍，即，所以。（云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理科数学）过椭圆左焦点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为 【答案】【解析】如图，设椭圆的左准线为l，过a点作acl于c，过点b作bdl于d，再过b点作bgac于g，直角abg中，bag=60，所以ab=2ag，由圆锥曲线统一定义得：，fa=2fb， ac=2bd直角梯形abdc中，ag=acbd=、比较，可得ab=ac，又 ，故所求的离心率为（甘肃省天水一中2013届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）已知双曲线过点(4,),渐近线方程为y=x,圆c经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上,则圆心到该双曲线的中心的距离是_.【答案】 （云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）若椭圆的短轴为ab，它的一个焦点为f，则满足三角形abf为等边三角形的椭圆的离心率是 。【答案】【解析】若三角形为等边三角形，则有，即，所以，即，所以，所以椭圆的离心率为。（贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试（二）理科数学 word版含答案）已知f是抛物线c:的焦点,直线与抛物线c交于a,b两点,记直线fa,fb的斜率分别为,则_.【答案】 （云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）已知是双曲线：的左焦点，是双曲线的虚轴，是的中点，过的直线交双曲线于，且，则双曲线离心率是_.【答案】【解析】由题意可知,设，则由得，解得，即，因为点a在双曲线上，所以，即，所以，即，即，所以。（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）理科数学试题）在直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是 【答案】【解析】线段的斜率，中点坐标为。所以线段的垂直平分线的斜率为，所以oa的垂直平分线的方程是y ，令y = 0得到x =所以该抛物线的准线方程为.（云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）如图4，椭圆的中心在坐标原点，f为左焦点，a，b 分别为长轴和短轴上的一个顶点，当fbab时，此类椭圆称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推出“焚金双曲线”的离心率为 。【答案】【解析】由图知，整理得，即，解得，故.三、解答题（甘肃省兰州一中2013高考冲刺模拟(一)数学（理）椭圆的左、右焦点分别为、, 过的直线与椭圆交于a、b两点.（）如果点a在圆（为椭圆的半焦距）上,且,求椭圆的离心率；（）若函数的图象，无论为何值时恒过定点， 求的取值范围.【答案】解：（1）点a在圆，由椭圆的定义知：|af1|+|af2|=2a， 5分（2）函数 点f1（1，0），f2（1，0）， ， 7分若ab与x轴不垂直，设直线ab的斜率为k，则ab的方程为y=k（x+1）由（*）方程（*）有两个不同的实根.设点a（x1，y1），b（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根 11分由知 12分（贵州省贵阳市2013届高三适应性监测考试（二）理科数学 word版含答案）设椭圆过点,离心率,o为坐标原点.(i)求椭圆c的方程.()若直线是圆的任意一条切线,且直线与椭圆c相交于a,b两点,求证:为定值.【答案】解:()因为 ,椭圆c的方程为. 又椭圆c过点,代入方程解得, 椭圆c的方程为 ()当圆的切线的斜率存在时,设直线的方程为, 则圆心到直线的距离, 将直线的方程和椭圆c的方程联立,得到关于的方程为 设直线与椭圆c相交于两点,则 , , 当圆的切线的斜率不存在时,验证得. 综合上述可得,为定值0 （云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）已知、，圆：，一动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线，曲线是以，为焦点的椭圆（1）求曲线的方程；（2）设曲线与曲线相交于第一象限点，且，求曲线的标准方程；（3）在（1）、（2）的条件下，直线与椭圆相交于，两点，若的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围【答案】解：（）设动圆圆心的坐标为 因为动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，所以，1分，化简整理得，曲线的方程为； 3分（）依题意，, 可得， 4分,又由椭圆定义得. 5分，所以曲线的标准方程为； 6分（）（方法一）设直线与椭圆交点，的中点的坐标为， 设直线方程为与联立得由 8分由韦达定理得 将m(,)代入 整理得 10分将代入得 令则 且 12分（方法二）设直线与椭圆交点，的中点的坐标为，将的坐标代入椭圆方程中，得两式相减得， 7分，直线的斜率， 8分由（）知，由题设， 10分即. 12分（云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)理科数学试题（详解）已知抛物线的顶点在原点,准线方程为,是焦点.过点的直线与抛物线交于,两点,直线,分别交抛物线于点,.(1)求抛物线的方程及的值;(2)记直线,的斜率分别为,证明:为定值.【答案】()解:依题意,设抛物线方程为, 由准线,得, 所以抛物线方程为. 设直线的方程为,代入, 消去,整理得, 从而. ()证明:设, 则. 设直线的方程为,代入, 消去,整理得, 所以, 同理. 故,为定值. （【解析】云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理科数学）（本小题满分12分）已知椭圆上任一点p，由点p向x轴作垂线段pq，垂足为q，点m在pq上，且，点m的轨迹为c. （）求曲线c的方程； （）过点d（0，2）作直线l与曲线c交于a、b两点，设n是过点且平行于轴的直线上一动点，满足（o为原点），问是否存在这样的直线l， 使得四边形oanb为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由【答案】20因为，所以四边形oanb为平行四边形， 假设存在矩形oanb，则 即， 所以， 10分 设n（x0，y0），由，得 ，即n点在直线， 所以存在四边形oanb为矩形，直线l的方程为 （【解析】贵州省四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知椭圆c：的离心率为，其中左焦点。 （） 求出椭圆c的方程； （）若直线与曲线c交于不同的a、b两点，且线段ab的中点m在圆上，求m的值。【答案】解：（1）由题意得， 2分 解得： 4分所以椭圆c的方程为： 6分（2）设点a,b的坐标分别为，线段ab的中点为m，由，消去y得 8分 9分 10分点 m在圆上， 12分（甘肃省2013届高三第一次诊断考试数学（理）试题） 已知点f1、f2分别为椭圆c：=1（ab0）的左、右焦点，p是椭圆c上的一点，且|f1f2 | =2，f1pf2=，f1 pf2的面积为 （i）求椭圆c的方程； （）点m的坐标为（，0），过点f2且斜率为k的直线l与椭圆c相交于a、b两点，对于任意的kr，是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由【答案】 （云南省昆明一中2013届高三第二次高中新课程双基检测数学理）已知双曲线的右顶点为a（2，0），右焦点为f、o为坐标原点，点f，a到渐近线的距离之比为，过点b（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点p，q。 （i）求双曲线的方程及k的取值范围； （ii）是否存在常数k，使得向量垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由。【答案】 （云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科数学试题）（本小题满分12分） 设抛物线c的方程为x2 =4y，m为直线l：y=m(m0)上任意一点，过点m作抛物线c的两 条切线ma，mb，切点分别为a,b（）当m的坐标为（0，l）时，求过m，a，b三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系； ()当m变化时，试探究直线l上是否存在点m，使ma mb?若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由，【答案】解：（）当m的坐标为时，设过m点的切线方程为，代入，整理得，令，解得，代入方程得，故得，.因为m到ab的中点(0，1)的距离为2，从而过三点的圆的标准方程为易知此圆与直线l：y=-1相切. （6分）（）设切点分别为、，直线l上的点为m，过抛物线上点的切线方程为，因为， ，从而过抛物线上点的切线方程为，又切线过点，所以得，即.同理可得过点的切线方程为，（8分）因为，且是方程的两实根，从而，所以，当，即时，直线上任意一点m均有mamb，（10分）当，即m1时，ma与mb不垂直.综上所述，当m=1时，直线上存在无穷多个点m，使mamb，当m1时，直线l上不存在满足条件的点m.（12分）（甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试 数学（理）试题） 如图，已知圆c与y轴相切于点t(0，2)，与x轴正半轴相交于两点m，n (点m在点n的右侧），且。椭圆d：的焦距等于，且过点( i ) 求圆c和椭圆d的方程；() 若过点m的动直线与椭圆d交于a、b两点，若点n在以弦ab为直径的圆的外部，求直线斜率的范围。【答案】（12分）解：（1）设圆半径为r, 由条件知圆心c（r,2）cg 圆在x轴截得弦长mn=3 r= 圆c的方程为： （3分） 上面方程中令y=0,得 解得x=1或x=4, 点m在点n的右侧 m（4,0）,n(1,0)椭圆焦距2c=2=2 c=1 椭圆方程可化为：又椭圆过点（ 代入椭圆方程得：解得或（舍） 椭圆方程为： （6分）（2）设直线l的方程为：y=k(x-4) 代入椭圆方程化简得： （=320 设a（x1,y1）,b(x2,y2) 则x1+x2= x1x2= (7分)点n在以弦ab为直径的圆的外部，0（0即：0 -（+0化简得： k （12分）（甘肃省天水一中2013届高三下学期五月第二次检测（二模）数学（理）试题）已知abcd,a(-2,0),b(2,0),且ad=2.求abcd对角线交点e的轨迹方程;过a作直线交以a、b为焦点的椭圆于m、n两点,且mn=,mn的中点到y轴的距离为,求椭圆的方程.【答案】 , , , 所求椭圆方程为 （云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）（本小题满分12分）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且 （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，求的最大值。【答案】【解】（1）设，则， 即，即，所以动点的轨迹的方程 （2）解：设圆的圆心坐标为，则 圆的半径为 圆的方程为令，则，整理得， 由、解得， 不妨设， ， 当时，由得， 当且仅当时，等号成立当时，由得， 故当时，的最大值为 （云南省玉溪一中2013届高三第三次月考理科数学）（本小题满分12分）已知定点和定直线上的两个动点、，满足，动点满足（其中为坐标原点）.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线与（1）中轨迹相交于两个不同的点、，若，求直线的斜率的取值范围.【答案】解：（1）设、均不为0）由2分由即4分由得动点p的轨迹c的方程为6分（2）设直线l的方程联立得8分且 10分 12分（云南省昆明市2013届高三复习适应性检测数学（理）试题）已知是椭圆的右焦点,圆与轴交于两点,是椭圆与圆的一个交点,且.()求椭圆的离心率;()过点与圆相切的直线与的另一交点为,且的面积等于,求椭圆的方程.【答案】解:()由题意, , 得, 由, 得, 即椭圆的离心率 ()的离心率,令,则 直线,设 由 得, 又点到直线的距离, 的面积, 解得 故椭圆 （贵州省遵义四中2013届高三第四月考理科数学）（满分12分）已知椭圆的一个顶点为b，离心率，直线l交椭圆于m、n两点（）若直线的方程为，求弦mn的长；（ii）如果bmn的重心恰好为椭圆的右焦点f，求直线的方程【答案】（满分12分）解答：（1）由已知，且，即，解得，椭圆方程为； 3分由与联立，消去得，所求弦长； 6分（2）椭圆右焦点f的坐标为，设线段mn的中点为q，由三角形重心的性质知，又，故得，求得q的坐标为； 8分设，则，且， 10分以上两式相减得，故直线mn的方程为，即 12分（云南省部分名校（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）2013届高三下学期第二次统考数学（理）试题）(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆的方程;()若直线:分别切椭圆与圆:(其中)于,两点,求的最大值.【答案】 （云南省部分名校20