小学奥数36个经典（20-22）.doc

第20讲 列方程解应用题内容概述 列方程解决问题是一种很重要的通法，以前我们往往将应用题分成：鸡兔同笼、年龄问题、还原问题等等，再归纳出每一类问题的解法而现在我们就可以利用方程统一来考虑这些问题方程思想的建立可以说是一个很大的飞跃 下面我们就如何找好等量关系，如何建立方程给出一些示范，希望大家体会掌握以提高自己的解题能力典型问题 1有一篮子鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的，第二人拿走2个和余下的，第三人拿走3个和余下的，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同，问：共有多少鸡蛋?分给几个人?【分析与解】 设原有个鸡蛋，那么第一人拿了个鸡蛋，第二人拿了个鸡蛋 解得，则第一人拿了个鸡蛋，所以共有6488人.即共有64个鸡蛋，分给8个人2.某人每日下午5时下班后有一辆汽车按时接他回家有一天，他提前l小时下班，因汽车未到，遂步行返家，在途中遇到来接他的汽车，因而比平日早16分钟到家，问此人是步行几分钟后遇见汽车的? 【分析与解】设此人在步行分钟以后遇见汽车，汽车的速度为“”，汽车从家到单位需要分钟 由家到单位的总路程为，如果汽车在4时就在单位接他，他应该提前1小时到家，但是现在只提前16分钟到家，说明相对汽车他在分钟这段路程上耽搁44分钟，所以汽车走这段路程只需要44分钟 而汽车是从5：00-从家出发，在4：00+达到相遇点所以行驶-60分钟 ，有所以，此人是在步行52分钟后遇见汽车的 3一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A请问有多少学生只答对B? 【分析与解】设不只答对A的为人，仅答对B的为人，没有答对A但答对B与C的为z人 解得：， =7时，、都是正整数，所以。 故只答对B的有6人 4河水是流动的，在Q点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从P到Q，然后穿过湖到R，共用3小时若他由R到Q再到P，共需小时如果湖水也是流动的，速度等于河水的速度，那么从P到Q再到R需小时问在这样的条件下，从R到Q再到P需几小时? 【分析与解】设游泳者的速度为1，水速为y，PQ=a，QR=b，则有：，且有1+y、1y、y均不为0-得，即-得，即由、得，即.于是，.由得.小时.即题中所述情况下从R到Q再到P需小时第21讲 行程与工程内容概述 运动路线或路况复杂，与周期性或数论知识相关联，需进行优化设计等具有相当难度的行程问题工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题 典型问题 1。如图21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的当小王到达A后9分钟，小张到达D那么A至D全程长是多少千米? 【分析与解】 BE是BC的，CE是BC的，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也就是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图： 另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G 小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多) 因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9=18(分钟) 因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟走B至C全程(平路)要30分钟 从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)； 从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)； A至D全程长是(36+54)+30=11.5千米 2如图2l-2，A，B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是米，如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向曰点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米? 【分析与解】 4=即蓝精灵跳4次到A点圆半径扩大一倍即乘以2后，跳8次到A点 圆半径乘以4后，跳16次到A点 依次类推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A点1000次跳完后圆周长是1=128米 3已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程? 【分析与解】 方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49 设单位时间内猫跑1米，则狗跑米，兔跑米 狗追上猫一圈需300(-1)= 单位时间， 兔追上猫一圈需300(-1)= 单位时间 猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是的整数倍，又是的整数倍. 与的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数,即=8437.5 上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇此时，猫跑了8437.5米，狗跑了8437.5=23437.5米，兔跑了8437.5=165375米方法二：有猫跑35步的路程与狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而猫跑15步的时间与狗跑25步的时间，兔跑21步的时间相同所以猫、狗、兔的速度比为，它们的最大公约数为. 即设猫的速度为，那么狗的速度为 ，则兔的速度为 于是狗每跑300(625-225)= 单位时追上猫； 兔每跑300(441-225)= 单位时追上猫 而，所以猫、狗、兔跑了单位时，三者相遇 有猫跑了225=8437.5米，狗跑了625=23437.5米，兔跑了441=16537.5米 评注：方法一、方法二中的相遇时间一个是8437.5单位，一个是单位，可是答案却是一样的，为什么呢? 在方法二中，如果按下面解答会得到不同答案，又是为什么?哪个方法有问题呢?自己试着解决，并在今后的学习中避免这种错误 于是狗每跑300(625-225) 625=米追上猫； 兔每跑300(441-225)441=米追上猫； 而， 4一条环形道路，周长为2千米甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点那么环行2周最少要用多少分钟? 【分析与解】 如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为： 而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3 因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长 于是，甲步行的距离为2=0.8千米；则骑车的距离为22-0.8=3.2千米； 所以甲需要时间为()60=19.2分钟 环形两周的最短时间为19.2分钟 参考方案如下：甲先步行0.8千米，再骑车3.2千米； 乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行车) ； 丙先骑车3.4千米，再步行0.6千米5甲、乙两项工程分别由一、二队来完成在晴天，一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40，二队的工作效率要下降10结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天? 【分析与解】 晴天时，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高-=；雨天时，一队、二队的工作效率分别为(1-40%)=和(1-10%)=,这时二队的工作效率比一队高-=.由:=5:3知，要两个队同时完工，必须是3个晴天，5个雨天，而此时完成了工程的3+5=，所以，整个施工期间共有6 个晴天,10个雨天. 6画展9时开门，但早有人来排队等候入场从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队那么第一个观众到达的时间是8时几分? 【分析与解】 由题意可得两个等式，如下： (开门前排队人数)+(9分钟内到的人数)=3(每个入口每分钟进的人数)9 (开门前排队人数)+(5分钟内到的人数)=5(每个入口每分钟进的1人数)5 -得:4分钟内到的人数=2(每个人口每分钟进的人数)从而有:每个入口每分钟进的人数=2(每分钟进的人数)代入得，开门前排队人数=252-5=45分钟内到的人数因此第一个人是8点15(=60-45)分到达的 7甲、乙、丙3名搬运工同时分别在3个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了16小时后同时搬运完毕问丙在A仓库做了多长时间? 【分析与解】 设第一天的每个仓库的工作量为“1”， 那么甲、乙、丙的合作工作效率为=，第二天，甲、乙、丙始终在同时工作，所以第二天两个仓库的工作总量为16=4，即第二天的每个仓库的工作总量为42=2于是甲工作了16小时只完成了16=的工程量，剩下的2-=的工程量由丙帮助完成，则丙需工作=6(小时).丙在A仓库做了6小时 第22讲 复杂工程问题内容概述本讲主要讲解需运用比和比例及分段解决的较复杂问题，还有一些需借助程来求解的问题经典问题1.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元那么两队原计划完成修路任务要多少天? 【分析与解】 开始时甲队拿到84005040=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360：50402：3； 甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为 (3360+960)：(5040960)=18：17； 设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需天完成任务 有(24+4)：(34+3)=18：17，化简为216+54=136+68，解得 于是共有工程量为所以原计划60(2+3)12天完成 2. 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止如果甲、乙轮流做一个工程需要98小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要96小时，那乙单独做这个工程需要多少小时? 【分析与解】即甲工作2小时，相当与乙1小时所以，乙单独工作需小时 3甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天已知甲单独完成这件工作需1075天问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天? 【分析与解】 我们以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期 通过上一题的类似分析，我们知道第一种情况下一定不是完整周期内完成； 但是在这题中，就有两种可能，第一种可能是完整周期+1天，第二种可能是完整周期+2天 验证第一种可能不成立(详细过程略) 再看第二种可能：即丙工作1天，甲只需要工作天代入第3种情况知： 即甲工作1天，乙需要工作天 因为甲单独做需1075天，所以工作效率为于是乙工作效率为丙工作效率为 于是，一个周期内他们完成的工程量为 则需个完整周期，剩下的工程量；正好甲、乙各一天完成 所以第二种可能是正确的 于是，采用第二种可能算出的数据：一个周期内他们完成的工程量： 需要天 而甲、乙、丙合作一天完成的工程量正好是甲、乙、丙轮流做一天一个周期内的工程量于是，甲、乙、丙合作这件工程需天 4如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满? 【分析与解】 方法一：设打开一个出水孔时，灌满出水孔以上的部分需要时间为，则不打开出水孔和打开两个出水孔灌满水孔以上部分所需时间为 有工作效率之间的关系： 通分为化简为解得所以，不打开出水孔需分钟灌满水孔以上的水，而灌满出水孔以下的水为分钟