垂直于圆的直径.doc

关于“垂径定理”教学设计的研究广州市花都区花东镇迳口初级中学 张翠怡目 录一、 承诺书二、 原生教案三、 文献综述四、 上课教案五、 课时PPT六、 教学反思七、 参考文献承 诺 书本人郑重承诺： 1、此关于垂径定理教学设计研究中的“原生教案”为本人在仅有教材的情况下写成。 2、“文献综述”部分为本人在至少参考指定的两书两网基础上获得至少 7 份文献资料并认真阅读后写成。（期刊网4篇内容）3、“上课教案”为本人在文献研究和反复思考的基础上对“原生教案”修改而成。 4、“反思”部分是本人真实情况的写照。 签名： 张翠怡 ； 日期： 2014 年 11 月 21 日 原生教案n 课题：垂径定理n 课型：概念课【教学目标】知识与技能：1、使学生理解圆的轴对称性，直径所在的直线是它的对称轴。2、了解垂径定理，能够证明垂径定理，进一步理解证明的必要性。3、利用垂径定理解决实际问题。过程与方法：1、经历探索垂径定理的过程，让学生进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。2、初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神。情感态度与价值观：1、 培养学生积极参与数学活动的兴趣。2、通过参与数学活动的探究，使学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。【教学重点】垂径定理的性质及其运用。【教学难点】垂径定理的证明。n 教学流程框图活动流程情景创设探索发现垂径定理证明垂径定理垂径定理的应用从生活实例提出问题，激发学生的学习兴趣通过实际操作发现垂径定理进一步加深对垂径定理的理解加深对垂径定理的理解和应用通过求赵州桥主拱桥的半径引入本节课的学习主题通过学生动手沿着对称轴折叠让学生找出相等的线段和弧通过几何推理证明垂径定理的成立设计相关的反馈练习，达到学以致用的效果活动目的活动内容小结，布置作业回顾梳理，从知识和能力方面总结让学生回顾本节课所学到的内容，进一步加深对垂径定理的理解n 教学过程设计（突出科学性）一、情景创设情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（ppt）学完本节课后这个问题我们就可以解决了。二、回顾旧识我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题1）什么是轴对称图形？ 2）我们学习过的轴对称图形有哪些？（运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）三、学习新课1、问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？ （2）如果是，它的对称轴是什么？拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无数条2、动手操作，揭示课题任意画一个圆，在圆上任意作一条弦AB和直径CD，使CDAB，垂足为E。（1）它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？（板书课题：垂直于弦的直径）学生得出结论：AE=EB、=、=3、探求新知提问：这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它已知：CD是O的直径，AB是弦，ABCD垂足为M求证：AE=EB、=、= 分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM AM=BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，和重合，和重合=、=垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。几何语言表述为：CD是O的直径，AB是弦，ABCD AE=EB、=、= 垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对的两条弧）几何语言表述为：CD是O的直径，AB是弦，AE=EB ABCD、=、=5、概念辨析（电脑显示）练习1 AE=EB吗？（注意：直径，垂直于弦，缺一不可！） 四、运用新知例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，三角形少不了例2：解决情景问题赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？五、课堂练习已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：ACBD。六、归纳小结1、学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？2、应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用3、这节课的学习你有什么疑问？七、课后作业课本第89页2、12文献综述广州市义务教育阶段学科学业质量评价标准（数学）中关于“垂径定理”的学业水平达标要求有以下表述：知识与技能目标要求了解垂径定理，并证明垂径定理。评价说明要求学生了解垂径定理的同时会用其进行有关运算1，因此教学中证明垂径定理是学习的难点，会用垂径定理解决问题是学习的重点。评价标准中目标要求描述较少，但此部分内容是圆这一章的重要内容，也是本章的基础，所以本人将目标内容进行丰富和补充。垂径定理揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；在中考中更是处处能体现垂径定理的理解和运用。而在近五年中考中，直接考察了本节课的内容有2013年第16题。原题为“如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），P的半径为，则点P的坐标为 ”该题正确答案为（3，2），平均分2.228，难度0.7427，区分度0.679。本题主要考查垂径定理、勾股定理。学生出错的原因是对圆的对称性及垂径定理理解不够深入。文中建议教学中加强对基础知识的教学，同时重视引导学生用自己的语言表达对基本概念、基本性质、定理的理解。2AODCB图10还有的就是2009年第20题。原题为：“如图10，在中，（1）求的度数；（2）求的周长”本题满分10分，平均分5.78分，难度0.578，区分度0.855。本题第1问比较常规，学生容易得分，第2问需要添加适当的辅助性，学生虽然能够添加辅助性，但很多不能准确用几何语言描述，更谈不上接下来进行进一步的推理描述，暴露出学生对垂径定理的理解不够透，运用得很不灵活。文中建议在平时教学中，注意单元知识间的串联整合，用典型例题覆盖单元知识基础知识的同时，加大对垂径定理知识的整合创新，从而加强学生的能力培养。3针对近几年数学年报提出的教学建议，本人从中国知网中查阅了3篇垂径定理的教学设计和1篇2014年中考专题复习圆的资料。辽宁省鞍山市华育学校孙奇静老师4 的教学设计在这节课的安排比较合理，这节课孙奇静老师设置的知识与技能目标为“掌握垂径定理”，比评价标准的描述 “了解垂径定理”的要求要高，根据广州中考常考模式，选择孙奇静老师的目标描述。孙奇静老师设置的过程与方法目标为“通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力”，情感态度与价值观目标为“通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育”。本人认为孙奇静老师的情感态度与价值观目标设置太空泛，因此根据本人教学设计中“证明垂径定理”的这一环节设置，情感态度与价值观目标修改为“通过参与数学活动的探究，使学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯”。这一目标的设置与数学中考年报提出的“在教学中对垂径定理中五个条件，其中两个成立，另外三个条件成立的相关专题训练不足”起到补充性的作用。湖北省老河口市仙人渡中学的江治老师的垂径定理教学设计5相对而言，就显得比较简单。江治老师主要通过引导发现法和直观演示法进行垂径定理的教学，教学设计的引入也是以课本的实例“求赵州桥主桥拱的半径”来激发学生的学习兴趣。而在证明垂径定理的成立这一环节比较简单，只是简单写了证明的思路，没有详细写出证明的过程，这不利于提高学生的书写逻辑推理。因此我在教学设计中证明垂径定理这一环节主要让学生自主参与到数学活动的探究中去，使学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯，从而与我教学设计中的情感态度与价值观紧密结合在一起。常州市武进区湖塘实验中学苏红芬老师的垂径定理例题的变式拓展6一文为我的教学设计提供了选题的参考。苏红芬老师以垂径定理为例，创设变式，呈现是知识“源于课本，又高于课本”，使同学们能够在不同角度、不同层次下认识垂径定理。因此我在教学设计中设计垂径定理的练习时，主要以苏红芬老师一文中的练习为主，再结合学生的实际情况进行适当的变式，使不同层次的学生接受不同层次的教育。在进行练习变式时，我又参考了海口市琼山区东昌学校方国志老师2014年中考专题复习圆7一文，文章中详细地写出了圆这一章在中考的地位及复习策略，对垂径定理这一知识点提出的要求是熟练掌握垂径定理，考查的方式会以“选择题”、“填空题”或“解答题”等题型出现。结合方国志老师的一文提出的复习建议，我在教学设计中的题型设计注重双基的训练和培养学生的逻辑推理能力，进一步加强书写几何题的训练。因此本节课的教学设计我以实例为引入点，以探究活动为主线设计了5个环节，重点在于让学生掌握垂径定理并会运用定理解决实际问题。通过对垂径定理的证明引导学生用自己的语言表达对基本概念、基本性质、定理的理解，同时设计一系列的变式训练加强学生的逻辑推理能力的训练，夯实学生的基础知识和技能。23原生教案n 课题：垂径定理n 课型：新授课【教学目标】知识与技能：1、使学生理解圆的轴对称性，直径所在的直线是它的对称轴。2、了解垂径定理，能够证明垂径定理，进一步理解证明的必要性。3、利用垂径定理解决实际问题。过程与方法：1、经历探索垂径定理的过程，让学生进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。2、初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神。情感态度与价值观：2、 培养学生积极参与数学活动的兴趣。2、通过参与数学活动的探究，使学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。【教学重点】垂径定理的性质及其运用。【教学难点】垂径定理的证明。n 教学流程框图n 教学过程设计（突出科学性）一、情景创设情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（ppt）学完本节课后这个问题我们就可以解决了。二、回顾旧识我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题1）什么是轴对称图形？ 2）我们学习过的轴对称图形有哪些？（运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）三、学习新课1、问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？ （2）如果是，它的对称轴是什么？拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无数条2、动手操作，揭示课题任意画一个圆，在圆上任意作一条弦AB和直径CD，使CDAB，垂足为E。（1）它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？（板书课题：垂直于弦的直径）学生得出结论：AE=EB、=、=3、探求新知提问：这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它已知：CD是O的直径，AB是弦，ABCD垂足为M求证：AE=EB、=、=分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM AM=BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，和重合，和重合=、=垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。几何语言表述为：CD是O的直径，AB是弦，ABCDAE=EB、=、= 垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对的两条弧）几何语言表述为：CD是O的直径，AB是弦，AE=EB ABCD、=、=5、概念辨析练习1 AE=EB吗？（注意：直径，垂直于弦，缺一不可！） 四、运用新知例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，三角形少不了例2：解决情景问题赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？五、课堂练习已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：ACBD。六、归纳小结1、学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？2、应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用3、这节课的学习你有什么疑问？七、课后作业课本第89页2、12 上课教案n 课题：垂径定理n 课型：新授课【教学目标】知识与技能：1、使学生理解圆的轴对称性，直径所在的直线是它的对称轴。2、掌握垂径定理，能够证明垂径定理，进一步理解证明的必要性。3、利用垂径定理解决实际问题。过程与方法：1、经历探索垂径定理的过程，让学生进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。2、初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，体验解决问题的多样性，发展实践能力和创新精神。情感态度与价值观：3、 培养学生积极参与数学活动的兴趣。2、通过参与数学活动的探究，使学生形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。【教学重点】垂径定理的性质及其运用。【教学难点】垂径定理的证明。n 教学流程框图n 教学过程设计（突出科学性）一、情景创设情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（ppt）学完本节课后这个问题我们就可以解决了。二、回顾旧识我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题1）什么是轴对称图形？ 2）我们学习过的轴对称图形有哪些？（运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）三、学习新课1、问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？ （2）如果是，它的对称轴是什么？拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：（1）圆是轴对称图形。（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）（3）圆的对称轴有无数条2、动手操作，揭示课题任意画一个圆，在圆上任意作一条弦AB和直径CD，使CDAB，垂足为E。（1）它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？（板书课题：垂直于弦的直径）学生得出结论：AE=EB、=、=3、探求新知提问：这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它已知：CD是O的直径，AB是弦，ABCD垂足为M求证：AE=EB、=、= 分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM AM=BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，和重合，和重合=、=垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。几何语言表述为：CD是O的直径，AB是弦，ABCD AE=EB、=、= 垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对的两条弧）几何语言表述为：CD是O的直径，AB是弦，AE=EB ABCD、=、=5、概念辨析练习1 AE=EB吗？（注意：直径，垂直于弦，缺一不可！） 四、运用新知例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与勾股定理的有关知识解题。总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，三角形少不了例2：解决情景问题赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？变式练习：如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径。例3：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：ACBD。变式练习：O交OAB的边AB于点C、D. 如果OA=OB，那么AC与BD是否相等？为什么？五、归纳小结1、学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？2、应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用？3、这节课的学习你有什么疑问？六、测试题组1、如图，AB为O的弦，O的半径为5，OCAB于点D，交O于点C，且CD=1,则弦AB的长是_。2、如图，AB是圆O的弦，OCAB交O于C，若AB=8cm，OC=3cm，则圆O的半径长为_。3、如图，已知AB、AC为弦，OMAB于点M，ONAC于点N，BC=4，则MN=_。4、如图，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）AABCD BAOB=4ACD C= DPO=PD5、如图，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD长。第1、2题课时PPT 垂径定理教学反思垂径定理这节课，首先我讲一讲设计的思路：在教学方法与教材处理方面，根据现在的教材特点，教学内容以及在新课标理念的指导下，最后决定让学生在课堂上多动手、多观察、多交流，最后得出定理，这个方法符合新课程理念观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用多媒体，提高教学效率。在实验，演示，操作，观