研究生数值分析高斯赛德尔迭代法ppt课件.pptVIP

研究雅可比迭代法 我们发现在逐个求 的分量时 当计算到 时 分量 都已经求得 而仍用旧分量 计算 由于新计算出的分量比旧分量准确些 求出 马上就用新分量 代替雅可比迭代法中 来求 这就是高斯 赛德尔 Gauss Seidel 迭代法 2高斯 赛德尔 Gauss Seidel 迭代法 因此设想一旦新分量 1 高斯 赛德尔迭代公式如下 5 2 其矩阵表示形式为 现将 显式化 由 得 令 称为高斯 赛德尔 Gauss Seidel 迭代矩阵 则得 为高斯 赛德尔迭代法的矩阵表示形式 3 上式左端为将系数矩阵A的对角线及对角线以下元素同乘以 后所得新矩阵的行列式 我们用定理2来判断高斯 赛德尔迭代公式是否收敛 需要考虑高斯 赛德尔迭代矩阵 的特征方程 即 将上式写成 由于 所以 4 例9用高斯 赛德尔迭代法解方程组 解 相应的高斯 赛德尔迭代公式为 5 取迭代初值 按此迭代公式进行迭代 计算结果为 6 高斯 赛德尔迭代矩阵 的特征方程为 即 解得 7 于是 因而高斯 赛德尔迭代公式是收敛的 我们先引入一个叫矩阵谱半径的概念 3迭代法收敛条件与误差估计 8 定义矩阵 的所有特征值 的模的最大值称为矩阵A的谱半径 记作 即 前面 我们在应用雅可比迭代法与高斯 赛德尔迭代法解一阶线性方程组时 判断各迭代公式是收敛还是发散 都要计算雅可比迭代矩阵BJ与高斯 赛德尔迭代矩阵BG的特征值 由于矩阵A有些算子范数 比如与 远比矩阵A的特征值容易计算 为此给出如下结论 9 定理3矩阵A的谱半径不超过矩阵A的任何一种算子范数 即 证明 设 为A的任一特征值 X为对应于 的A的特征向量 即AX X X 0 由范数的性质立即可得 因为X 0 所以 即A的任一特征值的模都不超过 于是 10 定理给出了一阶线性定常迭代法 收敛的充分条件 它表明只要迭代矩阵B的某种子 范数 小于1 立即可以断定该迭代过程对任给 在例8例9中 我们分别用雅可比迭代法和高斯 赛德尔迭代法解方程组 初始向量都收敛于方程组AX b的唯一解 11 雅可比迭代矩阵 高斯 赛德尔迭代矩阵 雅可比迭代过程必收敛 高斯 赛德尔迭代过程也收敛 12 由定理的误差估计式 可以看出 且可用来估计迭代次数 越小收敛速度越快 在例8例9中 显然 比 小 所以高斯 赛德尔迭代法比雅可比迭代法收敛速度快 13 若在例8例9中要求近似解 的误差 则由误差估计式知 只要k满足 将 代入得 故Jacobi迭代22次即可 代入得 故Gauss Seidel迭代9次就可以 将 14 定理4若方程组AX b的系数矩阵 按行严格对角占优或按列严格对角占优 即满足条件 或 则方程组AX b有唯一解 且对任意初始向量 雅可比迭代法与高斯 赛德尔迭代法都收敛 对于雅可比迭代法与高斯 赛德尔迭代法 还有一些使用方便的充分条件 其中主要有 15 定理5若方程组AX b的系数矩阵 为对称正定矩阵 则对任意初始向量高斯 赛德尔迭代法都收敛 如在例8例9中 由于系数矩阵A是严格对角占优 由定理4立即可断定用雅可比迭代法与高斯 赛德尔迭代法求解时 迭代过程都收敛 只要方程组AX b的系数矩阵 满足 定理4或定理5的条件 就可以十分方便地判断相应迭代过程的收敛性 16 又如矩阵 是对称正定阵 实对称阵是正定阵的 如果实二次型 正定 由定理5可判定用高斯 赛德尔迭代法求解方程组 时 迭代过程一定收敛 17 例10考察用雅可比迭代法和高斯 赛德尔迭代法 解 先计算迭代矩阵 解方程组AX b的收敛性 其中 18 再计算 BJ与BG的特征值和谱半径 由定理2知 用雅可比迭代法求解 迭代过程收敛 用高斯 赛德尔迭代法求解