透视高考立几中计算问题(王琪).doc

透视高考立几中计算问题（224005）江苏省盐城中学 王琪一.考点透视立体几何是高中数学重要的知识板块，是高考中考查考生空间想象能力和逻辑思维能力的良好素材，其考查内容主要有空间几何体、空间线面位置关系、空间向量以及在立体几何中的应用，其考查的题目类型是选择题、填空题、解答题.选择题、填空题重在考查空间几何体的三视图、表面积和体积的计算、空间线面位置关系等立体几何初步的知识，解答题重在以空间几何体为依托考查空间向量在解决立体几何问题中的应用，解答题的难度一般为中等.2009年新课标地区的几套高考试题基本上都是这样设计的.二.考点例析1考查从复杂图形中分解出基本图形的能力一个比较复杂的立体几何问题，往往与一些基本图形，或已经解决了的简单问题相联系.我们在解决这类问题时，要善于发现、联想相关的基本图形.以实现复杂问题向简单问题的转化与化归.ABCD图1例1 已知平行六面体ABCD中，六个面都是边长为2的菱形，且AD=AB=BAD=60，求它的体积.ABHD图2解析1：如图1，显然平行六面体的底面积可求，关键是求高.作H底面ABCD，垂足为H，这就要确定垂足H的位置.联想到基本图形（如图2），BAD在平面内，A为平面的斜线，若AD=AB，则在平面上的射影H一定在BAD的平分线上（课本结论）.怎样求出H的长度呢？仍然从基本图形考虑。利用AD=AB =60，AH平分BAD，平面ABD，A=2的条件，可求得H=.又=22，.解析2：如图1，连接B、D，由已知可得一个基本图形正四面体ABD，从而当H平面ABD时，垂足H为正三角形ABC的中心.A=AB=2，AH=，体积不难求出.点评：我们在解决立体几何问题时，要善于从复杂的空间图形中，联想基本图形，善于应用课本结论，将其化归为已经解决了的问题，才能不断提高解决立体几何问题的能力.趁热打铁：如果线段AB平面，C、D，且ACBD，若AC=2，直线AC和平面成30角，则线段BD的长度的取值范围是（ ）A B（1，） C，+ D（ ，）解析：为了使已知条件集中，由AB平面，可将BD平移至AE（如图3）.ACBD，ACAE.故ACE为直角三角形.图3ABCDEOACOE图4欲求BD的取值范围，须求AE的取值范围，因此只要解RtACE，这就是问题的难点.由已知，作AO平面，垂足为O，则ACO=30，AC=2，但RtACE仍无法求解，如右图，联想一个基本图形（如图4）.AC是平面的斜线，C为斜足，AO平面，于O，CE是平面内任意一条直线，则有性质：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角。换句话说，这里有ACEACO=30，BD=AE=ACtanACE2tan30=，选C.点评：这里联想图4是解决问题的关键，其实图4是课本 “最小角定理”的图形，解题时要善于应用课本知识，将问题降低难度，从容求解.2.考查直观感知的能力研究空间图形问题，首先需要观察、分析空间图形的构成特点，并在直观感知的基础上，认识点、线、面之间的位置关系，进而确定解决问题的方向和途径例2一个多面体的直观图和三视图如图5所示，其中平面和底面垂直（1）求与平面所成角的正切值及面与面所成二面角的余弦值（2）求此多面体的表面积图5解析：（）由已知可得，平面平面，取中点，连结，在等腰中，有，则平面，即为与平面所成的角，故与平面所成角的正切值为2取中点，连结、，同理有平面，即是在平面内的正投影在中，又，设面与面所成二面角的大小为，则故面与面所成二面角的余弦值为注：若平面多边形的面积为，它在平面内的正投影面积为，平面多边形与平面所夹的锐二面角为，则（2）此多面体的表面积点评：空间几何体的直观图和三视图能够帮助我们从不同侧面、不同角度认识几何体的特点直观图是对空间几何体的整体刻画；而三视图则从细节上刻画了空间几何体的结构这类问题，通过直观图对所研究的多面体从整体上有了直观认识，通过三视图明确了具体的数量关系，从而使问题得以顺利解决趁热打铁：如图6是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）(A)9（B）10 (C)11 （D）12解析：几何体为一个球与一个圆柱的组合体，图6点评：本题考查了三视图的知识，解决本题的关键是由三视图明确是怎样的一个几何体，同时要熟记球的表面积公式.3.考查运用数学解决实际问题的能力从学生熟悉的生活背景中引入数学问题，在学生运用数学解决问题的过程中，体验数学与周围世界的关系，以及数学在社会生活中作用和意义，逐步领悟到学习数学与个人成长之间的关系，在感受成功中增进信心.通过隐含中解题过程中的目标和目标实现，激发学生的求知欲望，鼓励学生拾级或越级登高，最大限度地满足每一个学生的学习需要，最大限度地开启每一个学生的学习智慧，努力实现“不同的人学不同的数学”的宗旨.O1O图7例3 如图7，请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）.试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？解析：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m） 于是底面正六边形的面积为（单位：m2）,帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得.令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，,V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数.所以当x=2时,V(x)最大。答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大.点评：本题设置贴近生活，容易入手.主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.问题的解决有助于学生体验数学在社会中的作用，有助于培养学生终身学习数学所需的情感的态度.趁热打铁：某人买了一罐容积为升，高为a米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落在地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距底面高度分别为b、c（单位：米）为了减少罐内液油的损失，该人采用罐口朝上，倾斜罐口的方式拿回家试问罐内液油最理想的估计能剩多少？解析：如图8，设直三棱柱，破损处为，并且，则罐内所剩液油的最大值即为几何体的体积连结，图8，而，又，故，即最理想的估计是能剩下升液油点评：本题是一个实际问题，需将问题转化为立体几何问题解决，求不易求，故需将原几何体分割成两个几何体，分别求出其体积后再相加，考查了分割转化的思想方法4.考查三维与二维的互化能力“动态”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，给静态的几何题赋予了活力，题意更新颖，同时，由于“动态”的存在，也使立体几何问题更趋灵活，加强了对学生空间想象能力及逻辑思维能力的考查.对此，求解的方法是灵活地将三维的立几问题与二维的平面问题进行有效的互化.例4 如图9，在直三棱柱ABCA1B1C 1中，AB=BC=，BB1=2， E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 . 图9图10图11图12解：为使E到F两点的路径最短，可以从E点出发经过三个不同的棱达到F.如图10 ，如图11， 如图12， .显然，棱柱的表面从E经过A1C1到F两点的路径最短为.点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法在求空间图形表面两点间的最短距离时，常运用“展开”变换，化曲（折）为直，从而把“折线拉成直线，曲面展成平面”，使问题得以巧妙解决由于实现目标手段的多样性所引起的分类讨论应引起必要的重视.趁热打铁：将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为_图13图14 解析：先作图如下： 对照平面图形（图13）和立体图形（图14）反复观察，不难发现，折叠前的线段和，它们在折叠后的长度未变，仍为由勾股定理不难算出折叠前与垂直的线段虽被折成两段，但与的垂直关系并没有改变，即因此易知即为三棱锥的高，从而易求出三棱锥的体积5.考查运用空间向量解决立几问题的能力在高考的立体几何试题中，求空间角、距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、求解”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点空间向量进入高中教材，为高中教材注入了新鲜的血液，为立体几何增添了新思想、新方法.由于两个向量的内积是由向量的长度和它们的夹角决定的，所以我们可以利用向量内积解决几何中有关夹角问题，其中包括直线的垂直问题.图15例4记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记当为钝角时，求的取值范围 解析：由题设可知，以、为单位正交基底，建立如图15所示的空间直角坐标系，则有, 由，得，所以 显然不是平角，所以为钝角等价于 ，则等价于图1即 ，得因此，的取值范围是.点评：设两空间直线所成角为，为锐角或为0；为直角；为钝角.图16趁热打铁：如图16，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（1）证明：AEPD ；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.解析：（1）略；（2）由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图17所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，则A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），图17所以 设平面AEF的一法向量为则 因此取因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cosm, =因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为 点评：设、分别是平面及的法向量，则平面与平面所成的二面角和两平面的法向量夹角相等（）或互补（三.跟踪训练1如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为450的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图，在直观图中梯形的高为 2正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为 3若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 4长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是 5面积为的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是_6与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程ax=18的向量x 7已知球的内接正方体的表面积为S，那么球的体积等于 8等边三角形ABC的边长是，AD是BC边上的高，沿AD将ABC折成直二面角,则点到BC 的距离是 9.已知直线平面，且与之间的距离为, 在平面内的射影为,为平面与平行的任一直线，则与间的距离的取值范围是（ ） ., + .(, +) .(0, . 10一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表积为（ ） 11圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值12求证：正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧棱长的比为：1答案及提示：1.解析：按斜二测画法，得梯形的直观图，如图所示，原图形中梯形的高CD=2，在直观图中=1，且，作垂直轴于，则=.26解析：由条件得，正四棱锥的高为3，底面对角线长为，所以其体积为=639解析：由条件可将此三棱锥补成球的内接正方体,其对角线长恰好为球的直径.4.解析：可将此长方体ABCDA1B1C1D1按三种不同方式展开，分别求解每种情形之下的最短距离.最后相比较得，从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是5.5.解析：设等边三角形的边长为l，则旋转所得的圆锥的母线长为，底面圆的半径为，如图所示： ，即 圆锥侧面积为6.（4,-2,4）. 解析：设x=(,) ，由x=a ( 及ax=18得: (,)= (2,-1,2)=(2,-,2), 22=18, =2 , x=（4,-2,4）7.解析：设正方体棱长为，则，设球的半径为R，应有， ， ，=8. .解析:如图，AD底面BCD ，在面ABC 内，过A作AEBC, 垂足为E，连结DE, 由三垂线定理的逆定理知，DEBC . ADBD ，ADCD , BDC即为二面角BADC 的平面角,它等于900 ,ABEDC在RtBDC 中，BD = CD= , BDE=DBE =450 DE=BE=