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中值定理及其应用习题课 一 教学要求 1 理解罗尔 Rolle 定理和拉格朗日 Lagrange 2 了解柯西 Cauchy 定理和泰勒 Tayloy 定理 3 理解函数的极值概念 掌握用导数判断函数 定理 的单调性和求极值的方法 5 会用洛必达 L Hospital 法则求不定式的极限 6 了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和 曲率半径 4 会用导数判断函数图形的凹凸性 会求拐点 会求解最大值和最小值的应用问题 会描绘函数的图形 包括水平 铅直和斜渐近线 1 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 2 微分中值定理的主要应用 1 研究函数或导数的性态 3 证明恒等式或不等式 4 证明有关中值问题的结论 2 证明方程根的存在性 5 求未定式的极限 利用 一般解题方法 证明含一个中值的等式或根的存在 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 可考虑用 若已知条件中含高阶导数 若结论中含两个或两个以上的中值 3 有关中值问题的解题方法 1 可用原函数法找辅助函数 2 柯西中值定理 中值定理 3 4 有时也可考虑 多考虑用泰勒公式 逆向思维 设辅助函数 多用罗尔定理 必须多次应用 对导数用中值定理 1 研究函数的性态 增减 极值 凹凸 拐点 渐近线 曲率 2 解决最值问题 目标函数的建立 最值的判别问题 3 其他应用 求不定式极限 几何应用 相关变化率 证明不等式 研究方程实根等 4 导数应用 二 典型例题 在 内可导 且 证明 在 内有界 证 再取异于 的点 在以 为端点的区间上用 定数 对任意 即证 例 取点 拉氏定理 在 内可导 且 证明至少存在一点 使 上连续 在 问题转化为证 设辅助函数 用罗尔定理 使 即有 例 证 分析 在 内可导 且 试证存在 使 上连续 在 例 欲证 f x 在 a b 上用 故有 即要证 证 又f x 及 在 a b 上用 将 1 代入 2 化简得 故有 拉氏定理 柯西定理 1 2 例 证 介值定理 上分别用 使得 拉氏定理 1 2 由 1 有 得 1 2 由 2 有 例 分析 构造辅助函数F x 则问题转化为 的零点存在问题 证 设 设 罗尔定理 使得 因此必定有 且在 上 存在 并 单调递减 证明对一切 有 证 则 所以当 时 令 得 即所证不等式成立 设 例 设 亦可用拉氏中值定理证明 不妨设a b在 0 a b a b 上分别用定理 例 解 例 证 法一 用单调性 设 即 由 证明不等式 可知 即 法二 用拉格朗日定理 设 拉格朗日定理 由 得 即 例 判断方程 有几个实根 并指出各个根所在的区间 解 1 即 设 令 得驻点 唯一的驻点 又 所以 是最小值点 最小值为 所以 所以 2 自己证 例 解 设 又 且 且 其图形必与x轴有一个交点 所以 得 令 所以 有极小值 所以 令
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