高考数学一轮总复习 第三章 三角函数与解三角形 第8讲 解三角形应用举例课件 理.ppt

第8讲解三角形应用举例 1 解三角形的常见类型及解法 在三角形的6个元素中要已知三个 除三个角外 才能求解 常见类型及其解法如下表所示 续表 2 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题 高度问题 角度问题 计算面积问题 航 海问题等 3 实际问题中的常用角 1 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线上方叫仰角 目标视线在水平视线下方叫俯角 如图3 8 1 1 图3 8 1 2 方向角 相对于某正方向的水平角 如南偏东30 北偏西45 等 3 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的 方位角为 如图3 8 1 2 4 坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数 1 若点a在点b的北偏西30 则点b在点a的 a 北偏西30 c 南偏东30 b 北偏西60 d 东偏南30 解析 如图d17 点b在点a的南偏东30 图d17 c 2 如图3 8 2 某河段的两岸可视为平行 在河段的一岸边选取两点a b 观察对岸的点c 测得 cab 75 cba a 45 且ab 200m 则a c两点的距离为 图3 8 2 3 江岸边有一炮台高30m 江中有两条船 由炮台顶部测得俯角分别为45 和30 且两条船与炮台底部连线成30 角 则两条船相距 解析 如图d18 过炮台顶点a作水平面的垂线 垂足为b 设a处测得船d的俯角为30 连接bc bd 在rt abc中 acb 45 则ab bc 30m 在rt abd中 adb 30 30 m cbd 30 由余弦定理 得 cd2 bc2 bd2 2bc bd cos cbd 900 2700 2 30 900 cd 30m 答案 d 图d18 4 一船向正北航行 看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏西60 另一灯塔在船的南偏西75 则这艘船的 速度是 a 5海里 时 b 5 海里 时 c 10海里 时 d 10 海里 时 图d19答案 c 考点1测量距离问题例1 2014年四川 如图3 8 3 从气球a上测得正前方的河流的两岸b c的俯角分别为75 30 此时气球的高是 60m 则河流的宽度bc 图3 8 3 答案 c 规律方法 1 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中 建立一个解三角形的模型 2 利用正弦 余弦定理解出所需要的边和角 求得该数学模型的解 互动探究 1 在相距2km的a b两点处测量目标c 若a 75 b 60 则a c两点之间的距离为 km 考点2 测量高度问题 例2 1 2015年湖北 如图3 8 4 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30 的方向上 行驶600m后到达b处 测得此山顶在西偏北75 的方向上 仰角为30 则此山的高度cd m 图3 8 4 2 2014年新课标 如图3 8 5 为测量山高mn 选择点a和另一座山的山顶c为测量观测点 从点a测得点m的仰角为 man 60 点c的仰角为 cab 45 以及 mac 75 从点c测得 mca 60 已知山高bc 100m 则山高 mn m 图3 8 5 答案 150 规律方法 1 测量高度时 要准确理解仰角 俯角的 概念 2 分清已知量和待求量 分析 画出 示意图 明确在哪个 三角形内运用正弦或余弦定理 互动探究 2 在200m高的山顶上 测得山下一塔顶和塔底的俯角分 别是30 60 则塔高为 m 解析 如图d20 由已知可得 bac 30 cad 30 bca 60 acd 30 adc 120 又ab 200m ac 在 acd中 由余弦定理 得ac2 2cd2 2cd2 cos120 3cd2 图d20 考点3 测量角度问题 例3 如图3 8 6 渔船甲位于岛屿a的南偏西60 方向的b处 且与岛屿a相距12海里 渔船乙以10海里 时的速度从岛屿a出发沿正北方向航行 若渔船甲同时从b处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙 刚好用2小时追上 1 求渔船甲的速度 2 求sin 的值 图3 8 6 14 海里 时 解 1 依题意 得 bac 120 ab 12 ac 10 2 20 海里 bca 在 abc中 由余弦定理 得bc2 ab2 ac2 2ab ac cos bac 122 202 2 12 20 cos120 784 解得bc 28 故渔船甲的速度为 bc2 答 渔船甲的速度为14海里 时 2 在 abc中 ab 12 bac 120 bc 28 bca 规律方法 关于角度的问题同样需要在三角形中进行 同时要理解实际问题中常用角的概念 仰角和俯角 方向角 方位角 坡度等 互动探究 3 两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等 灯塔a在观察站北偏东40 灯塔b在观察站南偏东60 则灯塔a 在灯塔b的 b a 北偏东10 c 南偏东10 b 北偏西10 d 南偏西10 难点突破 三角函数在解三角形中的应用 例题 2014年新课标 四边形abcd的内角a与c互补 ab 1 bc 3 cd da 2 1 求角c和bd 2 求四边形abcd的面积 解 1 由题设及余弦定理 得 bd2 bc2 cd2 2bc cdcosc 13 12cosc bd2 ab2 da2 2ab dacosa 5 4cosc 规律方法 本题与某年北京高考题几乎完全相同 请思考 已知圆内接四边形abcd的边长分别为ab 2 bc 6 cd da 4 求四边形abcd的面积 解 如图3 8 7 连接bd 则有四边形abcd的面积 图3 8 7 1 运用正弦定理