【名师导学】高中数学 第二章 圆锥曲线与方程（含解析）苏教版选修11.docVIP

第1课时圆锥曲线 教学过程一、 问题情境2011年9月29日,中国成功发射了“天宫一号”飞行器,你知道“天宫一号”绕地球运行的轨迹是什么吗?二、 数学建构椭圆是物体运动的一种轨迹,物体运动的轨迹有很多,常见的还有直线、圆、抛物线等.一个平面截一个圆锥面,当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆.当我们改变平面的位置时,截得的图形也在发生变化.请观察图1. (图1)对于第一种情形,可在截面的两侧分别放置一个球,使它们都与截面相切(切点分别为f1,f2),且与圆锥面相切,两球与圆锥面的公共点分别构成圆o1和圆o2(如图2). (图2)设m是平面与圆锥面的截线上任一点,过点m作圆锥面的一条母线分别交圆o1和圆o2于p,q两点,则mp和mf1,mq和mf2分别是上、下两球的切线.因为过球外一点所作球的切线的长都相等,所以mf1=mp,mf2=mq,故mf1+mf2=mp+mq=pq.因为pq=vp-vq,而vp,vq是常数(分别为两个圆锥的母线的长),所以pq是一个常数.也就是说,截线上任意一点到两个定点f1,f2的距离的和等于常数.通过分析,给出椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点f1,f2的距离的和等于常数(大于f1f2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点f1,f2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.问题1为什么常数要大于f1f2?解因为动点与f1,f2构成三角形,三角形的两边之和大于第三边,所以mf1+mf2f1f2.问题2若mf1+mf2=f1f2,动点m的轨迹是什么?解线段f1f2.问题3若mf1+mf2f1f2,动点m的轨迹不存在.抛物线的概念:一般地,平面内到一个定点f和到一条定直线l(f不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点f叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.说明:定点f不能在定直线l上,否则所得轨迹为过点f且与直线l垂直的一条直线.椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.三、 数学运用【例1】已知定点p(0,3)和定直线l:y+3=0,动圆m过点p且与直线l相切,求证:圆心m的轨迹是一条抛物线.(见学生用书p15)处理建议让学生仔细审题,作出图形,再引导学生对照抛物线的定义寻找相等关系,使问题得以解决.规范板书证明设圆m的半径为r,点m到直线l的距离为d.动圆m过点p且与l相切,mp=r,d=r,mp=d.而点p不在l上,由抛物线的定义知圆心m的轨迹是一条抛物线.(例2)题后反思本题要紧扣抛物线的定义,主要注意两点:到定点的距离等于到定直线的距离;定点不在定直线上.【例2】(教材第27页习题2.1第3题)如图,圆f1在圆f2的内部,且点f1,f2不重合,求证:与圆f1外切且与圆f2内切的圆的圆心c的轨迹为椭圆.(见学生用书p16)处理建议让学生仔细审题,明确需要解决什么问题,再引导学生根据椭圆的定义寻找“到两定点的距离之和为定值”的关系,使问题得以解决.规范板书证明设圆f1,f2的半径分别为r1,r2,动圆c的半径为t.依题意有cf1=r1+t,cf2=r2-t,消去t得cf1+cf2=r1+r2(一个大于f1f2的常数),所以动圆圆心c的轨迹是以f1,f2为焦点的椭圆.题后反思要证明某点的运动轨迹,可以先考虑动点是否满足圆锥曲线的定义.本题要紧紧抓住到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹是椭圆这一定义.变式1如图,已知动圆c与圆f1,f2均外切(圆f1与圆f2相离),试问:动点c的轨迹是什么曲线?(变式1)处理建议从例2的解法中联想思考,寻找动点满足的几何性质是什么.规范板书解双曲线的一支.证明如下:设圆f1,f2的半径分别为r1,r2(r1r2),动圆c的半径为t.依题意有cf1=r1+t,cf2=r2+t,消去t得cf1-cf2=r1-r2(一个小于f1f2的正数),所以动圆圆心c的轨迹是以f1,f2为焦点的双曲线的一支.题后反思应引导学生学会利用圆锥曲线的定义直接得出轨迹.本题还有其他方式的变式:当两圆相离时,动圆与两圆均内切或与一圆内切与另一圆外切,其动圆圆心的轨迹均为双曲线的一支.变式2(1)动圆与圆c1:x 2+y 2=1和c2:(x-4) 2+y 2=4都外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(2)动圆与圆c1:x 2+y 2=1和c2:(x-4) 2+y 2=4都内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(3)动圆与圆c1:x 2+y 2=1内切,与圆c2:(x-4) 2+y 2=4外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(4)动圆与圆c1:x 2+y 2=1外切,与圆c2:(x-4) 2+y 2=4内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.*【例3】已知圆f的方程为(x-2) 2+y 2=1,动圆p与圆f外切且和y轴相切.求证:动圆的圆心p在一条抛物线上运动,并请写出这条抛物线的焦点坐标及准线方程.处理建议因为要证明圆心p的轨迹是抛物线,所以可引导学生通过画图找到定点和定直线.规范板书证明设圆p的半径为r,它与y轴相切于t,则pf=r+1,pt=r,所以pf=pt+1,作直线l:x=-1,pt的延长线交直线l于a,则pf=pa,故点p到定点f的距离等于它到直线l的距离,所以点p在以f(2,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.题后反思三种圆锥曲线的概念都与距离有关:椭圆和双曲线的概念描述的都是点到点的距离;抛物线的概念描述的是点到点的距离,同时还有点到线的距离.圆与直线相切,能够联想到抛物线的条件.变式点p到定点f(2,0)的距离比它到y轴的距离大1,求点p的轨迹.处理建议引导学生考虑本题条件与哪种圆锥曲线的定义一致.规范板书解过点p作pty轴,垂足为t,所以pf=pt+1,作直线l:x=-1,pt的延长线交直线l于a,则pf=pa,故点p到定点f的距离等于它到直线l的距离,所以点p在以f(2,0)为焦点、直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.题后反思本题依然是属于动点到定点和到定直线的距离,但不相等的问题,关键是将不等关系转化为相等关系,可以培养学生类比推理、归纳猜想、转化等数学思维能力.2四、 课堂练习1.已知双曲线的两个焦点分别为f1(-3,0)和f2(3,0),则此双曲线的焦距为6.2.已知点a(0,-2),b(2,0),动点m满足|ma-mb|=2a(a为正常数).若点m的轨迹是以a,b为焦点的双曲线,则常数a的取值范围为(0,).提示因为ab=2,由双曲线的定义知02a2,即0af1f2,则qf1+qo=pf1+pf2=mf1f2=f1o,所以点q的轨迹是一个椭圆.五、 课堂小结1.圆锥曲线可通过平面截圆锥面得到.当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆;当平面平行于圆锥面的轴时,截得的图形是双曲线;当平面平行于圆锥面的母线时,截得的图形是抛物线;当平面既不平行、不垂直于圆锥面的轴也不平行于圆锥面的母线时,截得的图形是椭圆.2.掌握三种圆锥曲线的定义,并注意:椭圆中常数大于两个定点间距离,双曲线中常数小于两个定点间距离.3.会用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹.第2课时椭圆的标准方程(1) 教学过程一、 问题情境汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们究竟是不是椭圆呢?是否是椭圆应该看其是否符合椭圆的基本特征(性质),那么又该如何研究椭圆的性质呢?回忆解析几何研究问题的基本方法,研究椭圆,先建立椭圆的方程.二、 数学建构回顾椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点f1,f2的距离的和等于常数(大于f1f2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点f1,f2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.特别地:当mf1+mf2=f1f2时,动点m的轨迹是线段f1f2;当mf1+mf22c).以f1f2所在直线为x轴,线段f1f2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xoy(如图1),则f1,f2的坐标分别为(-c,0),(c,0).(图1)设p(x,y)为椭圆上任意一点,根据椭圆的定义知pf1+pf2=2a,即+=2a.2将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2,即a2-cx=a.两边再平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).因为a2-c20,所以可设a2-c2=b2(b0),于是得b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(ab0).由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上.这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为f1(-c,0),f2(c,0).(图2)问题1如果将椭圆的焦点建立在y轴上,即焦点为f1(0,-c),f2(0,c)(如图2),你能快速得出椭圆的方程吗?解法一两个椭圆关于直线y=x对称,故只需要将方程+=1(ab0)中的x,y互换即可得到方程+=1(ab0).解法二从定义出发,将+=2a变换为+=2a.可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).设a2-c2=b2(b0),于是得a2x2+b2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(ab0).所以,当焦点在y轴上时,我们可以得到焦点为f1(0,-c),f2(0,c)的椭圆的方程为+=1(ab0).以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).问题2如何判断椭圆标准方程中焦点的位置?解看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上.巩固练习求下列椭圆的焦点坐标:(1) +=1;(2) 16x2+7y2=112.规范板书解(1) c2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(-3,0)和(3,0).(2) 方程可化为+=1,所以c2=16-7=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,-3)和(0,3).题后反思求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化为标准形式.三、 数学运用【例1】已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,求k的取值范围.(见学生用书p17)处理建议引导学生思考焦点在x轴上的椭圆的标准方程满足的条件.规范板书解因为椭圆焦点在x轴上,故所以7k10.题后反思学生可能会忽视前两个条件(不等式),题目解答完毕注意总结此时应需要3个条件(不等式).变式若上述方程表示一个椭圆,求k的取值范围.处理建议让学生思考条件改变时,解题过程中哪个环节会发生变化.规范板书解由题意可得所以4k0,10-k0,k-4=10-k,则方程表示的曲线是什么?答:圆.3【例2】(根据教材第30页练习第2题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) a=4,b=3,焦点在x轴上;(2) b=1,c=;(3) 两个焦点分别是f1(-2,0),f2(2,0),且过点p(2,-3).(见学生用书p18)处理建议引导学生首先分析焦点的位置,然后再找出标准方程中a,b的值.规范板书解(1) 因为焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为+=1.(2) 因为b=1,c=,所以a2=b2+c2=16,当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+y2=1;当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+x2=1.(3) 由题意知椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆的标准方程为+=1(ab0),所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.题后反思椭圆的标准方程中只有两个参量,因此只需要两个条件就可以求出椭圆的标准方程,而a,b,c三个量之间的关系是知二求一.4【例3】(教材第29页例2)将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线.(见学生用书p18)处理建议先让学生直观感受变换后的曲线形状,再探究如何解决问题.规范板书解设所得曲线上任一点的坐标为(x,y),圆x2+y2=4上的对应点的坐标为(x,y),由题意可得因为x2+y2=4,所以x2+4y2=4,即+y2=1.这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆.题后反思学生很容易得到变换后的曲线是椭圆,但无法从定义给出证明,引导学生从方程的角度考虑问题,从而进一步说明解析几何研究问题的方法是从方程的角度来研究的.本例求变换后所得曲线方程采用的方法是“坐标转移法”,即利用中间变量求曲线方程.*【例4】(教材第31页例1)已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m,求这个椭圆的标准方程.处理建议引导学生先建立合适的直角坐标系,设出椭圆的标准方程,根据题意得到椭圆方程中的基本量.规范板书解以f1f2所在直线为x轴,线段f1f2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xoy(如图).(例4)设这个椭圆的标准方程为+=1(ab0).根据题意知2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2,所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81.因此,这个椭圆的标准方程为+=1.题后反思本题是为了巩固对椭圆的标准方程的理解.在没有已知坐标系的情况下,需要建立合适的坐标系.四、 课堂练习1.求下列椭圆的焦点坐标:(1) +=1;(2) 3x2+4y2=12.解(1) 焦点坐标分别为(0,-3)和(0,3).(2) 焦点坐标分别为(-1,0)和(1,0).2. 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(4,5).提示因为椭圆的焦点在y轴上,所以解得4kb0),且c=2.所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.五、 课堂小结1. 椭圆的标准方程有两种形式:焦点在x轴上:+=1(ab0);焦点在y轴上:+=1(ab0).2. 注意椭圆的标准方程中“标准”的含义:椭圆的中心在坐标原点;椭圆的焦点在坐标轴上(两个焦点均在x轴上或均在y轴上);椭圆的标准方程有两种形式,即焦点在x轴上的方程以及焦点在y轴上的方程.第3课时椭圆的标准方程(2) 教学过程一、 数学运用【例1】求经过点(-,1),(-,-)的椭圆的标准方程.(见学生用书p19)处理建议可分两种情况分别设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程和焦点在y轴上的椭圆的标准方程,代入点坐标求出a,b的值;在不明确焦点位置的情况下,也可设椭圆的方程为ax2+by2=1(a0,b0,且ab).规范板书解法一当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(ab0),则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(ab0),则解得不满足ab0,故舍去.所以所求椭圆的标准方程是+=1.解法二设椭圆的方程为ax2+by2=1(a0,b0,且ab),则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.题后反思解决此类问题最基本的方法是分类讨论.实际上解法二是对解法一中x2及y2的系数进行换元得到的.1【例2】已知椭圆+=1的左、右焦点分别是f1,f2,pq是过f1的一条弦,求pqf2的周长.(见学生用书p20)处理建议请学生思考pqf2的周长中包含哪些线段,这些线段与椭圆定义中的几何条件有哪些联系.规范板书解由题意知a=5,c=3.p,q是椭圆上的点,则pf1+pf2=2a=10,qf1+qf2=2a=10.因此,pqf2的周长为pq+pf2+qf2=pf1+pf2+qf1+qf2=4a=20.题后反思抓住椭圆的定义,因为定义中的几何条件就是椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a.若pq是椭圆上不过焦点f1的一条弦,试问:pqf2的周长是定值吗?变式1若p是椭圆+=1上一点,f1,f2是它的两个焦点,q(5,2),求pqf2的周长l的取值范围.处理建议将pqf2的周长的最值转化为pq+pf2的最值.规范板书解因为pqf2的周长l=pq+pf2+qf2,又f2(3,0),所以qf2=2,所以pqf2的周长取最小值时pq+pf2也取最小值,易得pq+pf2qf2=2,所以l4.因为在椭圆中pf1+pf2=2a,所以pf2=2a-pf1,所以pq+pf2=pq+2a-pf1=pq-pf1+2a,所以pq+pf2取最大值时pq-pf1也取最大值,易得pq+pf2=pq-pf1+2aqf1+2a=2+10.所以l2+2+10.综上,4lb0)的焦点为f1与f2,点p在椭圆上,f1pf2=.求证:pf1f2的面积s=b2tan.(变式)处理建议由特殊到一般,问题的处理方式基本相同.规范板书证明设pf1=r1,pf2=r2,则s=r1r2sin,又f1f2=2c,由余弦定理有(2c)2=+-2r1r2cos=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos=(2a)2-2r1r2(1+cos),于是2r1r2(1+cos)=4a2-4c2=4b2,所以r1r2=.这样即有s=sin=b2=b2tan.题后反思解与pf1f2(p为椭圆上一点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合pf1+pf2=2a来解决.有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设pf1=r1,pf2=r2,则s=r1r2sin.若能消去r1r2,问题即可解决.*【例4】已知p是椭圆+y2=1上的任意一点,f1,f2分别是椭圆的左、右焦点.(1) 求pf1pf2的最大值;(2) 求pf+pf的最小值;(3) 求f1pf2的最大值.处理建议让学生思考:已知的几何条件是什么?要求的是两焦半径之积的最值,两者如何建立联系?规范板书解由题意知a=2,b=1,所以c=,pf1+pf2=2a=4.(1) pf1pf2=4;(2) pf+p=8;(3) 因为cosf1pf2=-1,由(1)知pf1pf24,所以cosf1pf2-1=-,当且仅当pf1=pf2时“=”成立,即p为椭圆短轴的一个端点.又因为f1pf20,),所以f1pf2的最大值为120.题后反思运用余弦定理处理焦点三角形也是焦半径问题中常用的方法之一,结合基本不等式可以得到关于焦半径表达式的取值范围,同时也为后面求离心率的取值范围作铺垫.强调f1pf2取最大值时点p的位置在椭圆短轴的端点处.变式已知椭圆+y2=1(a1)的焦点是f1,f2,若椭圆上存在一点p,满足pf1pf2,求a的取值范围.规范板书解设pf1=m,pf2=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2=4(a2-1).又m2+n2,所以4(a2-1)2a2,所以a22,所以a的取值范围是,+).题后反思训练学生利用基本不等式寻求椭圆基本量的不等关系,从而得到a的取值范围.二、 课堂练习1.根据下列条件求椭圆的标准方程:(1) 已知点p在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点p到两焦点的距离分别为和,过点p作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;(2) 经过点a(0,2)和b.解(1) 设椭圆的标准方程是+=1或+=1(ab0).由题意知2a=pf1+pf2=2,所以a=.在方程+=1中令x=c,得|y|=;在方程+=1中令y=c,得|x|=.依题意并结合图形知=,所以b2=,即椭圆的标准方程为+=1或+=1.(2) 设经过点a(0,2),b的椭圆的方程为mx2+ny2=1,则解得所以椭圆的标准方程为 x2+=1.2.已知abc的顶点b,c在椭圆+y2=1上,顶点 a 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边bc上,则abc的周长是4.提示设椭圆的另一个焦点为f,则由椭圆的定义知ba+bf=2,且cf+ac=2,所以abc的周长为ba+bf+cf+ac=4.3.已知p是椭圆+=1上一点,f1,f2是其焦点.若f1pf2=60,则f1pf2的面积为.提示设pf1=m,pf2=n,则cos60=,所以=.又m+n=2a=20,c=6,所以mn=,所以s=mnsin60=.三、 课堂小结1.待定系数法求椭圆的标准方程,注意系数的设法.2.灵活运用椭圆的定义pf1+pf2=2a求焦点三角形的周长及面积,注意在焦点三角形中灵活使用余弦定理及基本不等式.第4课时椭圆的几何性质(1) 教学过程一、 问题情境问题1方程+=1表示什么样的曲线?你能利用以前学过的知识画出它的图形吗?解方案1列表、描点、连线进行作图,在取点的过程中想到了椭圆的范围问题.方案2求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点,联想椭圆曲线的形状得到图形.方案3只作第一象限内的图形,联想椭圆形状,利用对称性得到其他象限内的图形.1问题2与直线方程和圆的方程相对比,椭圆的标准方程+=1(ab0)有什么特点?2解椭圆方程是关于x,y的二元二次方程;方程的左边是平方和的形式,右边是常数1;方程中x2和y2的系数不相等.二、 数学建构1.结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的范围.方案1+=1变形为=1-1,即x2a2,所以-axa.同理可得-byb.方案2椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1,那么这两个数都不大于1,所以1,所以-axa.同理可以得到y的范围是-byb.(图1)方案3还可以用三角换元,设=cos,=sin,利用三角函数的有界性,也可以得到x,y的范围.这说明椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形内(如图1).2.继续观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆的对称性.3在椭圆的标准方程中,把x换成-x,方程并不改变,这说明当点p(x,y)在椭圆上时,它关于y轴的对称点p(-x,y)也在椭圆上,所以椭圆关于y轴对称.同理,把y换成-y,或同时把x,y分别换成-x,-y时,方程都不变,所以椭圆关于x轴和原点都是对称的.因此,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.再次观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中,令x=0,得y=b,这说明点b1(0,-b),b2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理,点a1(-a,0),a2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点,这四个点是对称轴与椭圆的交点,称为椭圆的顶点.线段a1a2,b1b2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.在椭圆的定义中,2c表示焦距,这样,椭圆方程中的a,b,c就有了明显的几何意义.问题3在椭圆标准方程的推导过程中令a2-c2=b2能使方程简单整齐,其几何意义是什么?解c表示半焦距,b表示短半轴长,因此,连结顶点b2和焦点f2,可以构造一个直角三角形ob2f2,在rtob2f2内,o+o=b2,即c2+b2=a2.ob2f2称为椭圆的特征三角形.4.圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“扁”,有些比较“圆”,椭圆的“圆扁”取决于哪些因素?用什么样的量来刻画椭圆的“圆扁”程度比较合适?方案1用几何画板演示.方案2可以用比值来刻画,当越大,椭圆越圆;当越小,椭圆越扁.方案3还可以用比值来刻画,当越大,椭圆越扁;当越小,椭圆越圆.一般地,我们用比值来刻画椭圆的“圆扁”程度.离心率:焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,记为e,即e=.因为ac0,所以0eb0)+=1(ab0)范围|x|a,|y|b|x|b,|y|a对称性关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称顶点坐标(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)焦点坐标(c,0),(-c,0)(0,c),(0,-c)半轴长长半轴长为a,短半轴长为b,ab长半轴长为a,短半轴长为b,ab离心率e=e=a,b,c的关系a2=b2+c2a2=b2+c2三、 数学运用【例1】(教材第33页例1)求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.4(见学生用书p21)处理建议由椭圆的方程确定a,b,c的值,从而使问题得以解决.交待清楚作图的几种方法.规范板书解根据椭圆的方程+=1,得a=5,b=3,c=4,所以椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e=,焦点为f1(-4,0)和f2(4,0),顶点为a1(-5,0),a2(5,0),b1(0,-3),b2(0,3).将方程变形为y=,根据y=算出椭圆第一象限内的几个点的坐标,如下表所示.x012345y32.942.752.41.80先描点画出第一象限的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图). (例1)题后反思本例是对椭圆几何性质的一般检测性训练.一般地,椭圆的画法只需要描出几个点,然后用光滑曲线连结即可,必要时将焦点位置标出.强调快速、较准确地画出椭圆图象是今后学习的一个必要的基本技能.【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) 经过点p(-3,0),q(0,-2);(2) 焦点在x轴上,长轴长等于20,离心率等于;(3) 焦点在y轴上,长轴长是短轴长的3倍,且椭圆经过点p(3,0).(见学生用书p22)处理建议根据条件,寻找椭圆方程中的基本量.规范板书解(1) 由题意知a=3,b=2,长轴在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(2) 由题意知2a=20,e=.所以a=10,c=8,所以b=6.又因为焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(3) 由题意知焦点在y轴上,所以b=3.又因为长轴长是短轴长的3倍,所以a=9,所以椭圆的标准方程为+=1.题后反思运用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,要熟记离心率公式.变式在(2)、(3)问中将焦点位置的条件去掉,结论如何?5处理建议当焦点位置不确定时,应引导学生分焦点在x轴上或在y轴上两种情况讨论.规范板书解(2) 由题意知2a=20,e=,所以a=10,c=8,所以b=6.所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.(3) 当焦点在x轴上时,a=3,又因为长轴长是短轴长的3倍,所以b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1;当焦点在y轴上时,b=3,又因为长轴长是短轴长的3倍,所以a=9,所以椭圆的标准方程为+=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.题后反思焦点位置发生变化时,a,b对应的值也就不一样了,椭圆的某些几何性质也发生了变化,尤其要紧扣其定义,比如离心率是焦距与长轴长的比值.*【例3】已知椭圆x2+my2=1的离心率为,求m的值.处理建议首先应将椭圆方程化为标准方程形式,然后根据方程的特征求解.规范板书解将椭圆方程化为x2+=1.若焦点在x轴上,则a2=1,b2=,=1-,得m=4;若焦点在y轴上,则b2=1,a2=,=m=1-=,得m=.综上,m=4或.题后反思已知离心率求参数的值是椭圆几何性质的简单运用,含参问题求离心率应考虑焦点的位置.四、 课堂练习1.求下列椭圆的长轴长和短轴长、焦距、离心率、顶点和焦点坐标:(1) 25x2+4y2-100=0;(2) x2+4y2-4=0.解(1) 椭圆方程可化为+=1,所以a=5,b=2,c=.所以长轴长为10,短轴长为4,焦距为2,离心率e=,顶点坐标为(2,0)和(0,5),焦点坐标为(0,).(2) 椭圆方程可化为+y2=1,所以a=2,b=1,c=.所以长轴长为4,短轴长为2,焦距为2,离心率e=,顶点坐标为(2,0)和(0,1),焦点坐标为(,0).2.下列各组椭圆中,哪一个更接近于圆?(1) +=1与25x2+16y2=400;(2) 3x2+4y2=12与+=1.解(1) 椭圆+=1的离心率为,椭圆25x2+16y2=400的离心率为,故第二个椭圆更接近于圆.(2) 椭圆3x2+4y2=12的离心率为,椭圆+=1的离心率为,故第一个椭圆更接近于圆.3.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率是.提示=1-e2,所以e=.4.根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1) 中心在原点,焦点在x轴上,长轴长、短轴长分别为10和8;(2) 中心在原点,一个焦点坐标为(0,4),长轴长为10;(3) 对称轴都在坐标轴上,短半轴长为8,离心率为.解(1) +=1;(2) +=1;(3) +=1或+=1.五、 课堂小结1.椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率等).2.通常用椭圆的离心率e刻画椭圆的“圆扁”程度,其中0eb0).(例1(2)由题意知ac=439,bd=2 384,f2c=f2d=6371.a-c=oa-of2=f2a=6 371+439=6 810,a+c=ob+of2=f2b=6 371+2 384=8 755,解得a=7 782.5,c=972.5.所以b=7 721.因此,卫星运行的轨道方程为+=1.题后反思椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c.利用a,b,c之间的关系,求出a,b的值得到椭圆的方程.本题旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识.【例2】已知f1,f2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,过f1且垂直于x轴的直线与椭圆交于a,b两点,若abf2为正三角形,求椭圆的离心率.(见学生用书p24)处理建议引导学生根据题意画出图形,将“abf2为正三角形”转化为关于a,b,c的关系式,从而得到关于离心率e的方程.(例2)规范板书解设f1(-c,0),则a,所以af1=.因为abf2为正三角形,所以2c=,即b2=2ac,所以(a2-c2)=2ac,两边同时除以a2,整理得e2+2e-=0,解得e=或-(舍去).所以e=.题后反思求离心率的关键是能得到关于a,b,c之间的一组关系,通过化简变形得到关于的方程,将换成e解关于e的方程即可.变式1已知f1,f2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,b是椭圆的上顶点.若f1bf2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.处理建议同例2的解题思路,强化求离心率的关键点.规范板书解根据题意可得b=c,即b2=c2,所以a2-c2=c2,即a2=2c2,所以e=.题后反思本题主要训练学生求离心率的思路和方法,并为下一个变式求离心率的范围作铺垫.变式2已知f1,f2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,b是椭圆上一点.若f1bf2为直角,求椭圆的离心率的范围.处理建议让学生思考,比较变式2与变式1的异同,加深对离心率的值和离心率的范围的认识.规范板书解法一设bf1=m,bf2=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2.又m2+n2,所以4c22a2,所以e2,所以e.又0e2)的左、右焦点,如果在椭圆上存在一点p,使f1pf2=120,求a的取值范围.处理建议本题和变式2的解决方法完全相同,在时间允许的情况下可以让学生动手独立用两种方法完成,也可以作为课后练习.规范板书解法一设pf1=m,pf2=n,则m+n=2a.因为f1pf2=120,所以=-,即=-,4a2-2mn-4c2=-mn,所以mn=4b2.因为(m+n)24mn,则4a216b2,所以2a4b,即a2b,所以a4,即a4,+).解法二设b为椭圆短轴的一个端点,根据f1bf2120,于是有a2b=4,即a4,+).题后反思本题旨在帮助学生进一步掌握对焦半径的处理方式以及椭圆上的点对两焦点的张角的最大值的理解和应用.特别强调是对两焦点的张角而不是对长轴两端点的张角.*【例3】已知p为椭圆+=1(ab0)上任意一点(异于顶点),椭圆短轴的两个端点分别是b1,b2.若直线pb1,pb2分别与x轴交于点m,n,求证:omon为定值.处理建议本题有一定难度,旨在让学生接触解析几何中的定值问题,课堂中能将上述2例讲清并给足学生充足时间做好课堂练习,教学目标就已经完成.规范板书证明设点p的坐标为(x0,y0),由题意不妨设b1(0,-b),b2(0,b),则直线pb1的方程为(y0+b)(x-x0)-x0(y-y0)=0,直线pb2的方程为(y0-b)(x-x0)-x0(y-y0)=0.因为y0b,分别令y=0,得xm=,xn=-.所以omon=|xmxn|=.因为+=1,所以b2=a2(b2-),故omon=a2为定值.题后反思本例属于椭圆中的定值问题,根据椭圆的几何性质,充分利用点在椭圆上及椭圆的方程来解决问题,进一步理解用方程解决几何问题的思想.二、 课堂练习1.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,则椭圆的离心率为.提示由题意得ac=b2,所以ac=a2-c2,所以=1-,解得e=.2.已知椭圆的焦距为2,离心率不小于,则它的长轴长的取值范围是(2,4.提示由题意得c=1,e=,所以a2.又ac=1,所以2a(2,4.3.已知f1,f2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,过f1且垂直于x轴的直线与椭圆交于a,b两点.若以ab为直径的圆恰好过点f2,求椭圆的离心率.(第3题)解如图,设f1(-c,0),则a,所以af1=.因为以ab为直径的圆恰好过点f2,所以2c=,即b2=2ac,所以a2-c2=2ac,两边同时除以a2,整理得e2+2e-1=0,解得e=-1.4.已知f2是椭圆+=1(ab0)的右焦点,o为坐标原点,椭圆上存在一点p,使pf2=of2,则椭圆的离心率的取值范围是.提示由题意知ca-c,所以a2c,所以e=.又ea0).类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系.以直线f1f2为x轴,线段f1f2的中垂线为y轴建立直角坐标系,则f1(-c,0),f2(c,0).设p(x,y)为双曲线上任意一点,由双曲线定义知|pf1-pf2|=2a,即|-|=2a.1在化简到(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)时,结合双曲线定义中2a0,b0,c2=a2+b2).若焦点在y轴上,则焦点是f1(0,-c),f2(0,c),由双曲线定义得|-|=2a,与焦点在x轴上的双曲线方程|-|=2a比较,它们的结构有什么异同点?解结构相同,只是字母x,y交换了位置.故求焦点在y轴上的双曲线方程时,只需把焦点在x轴上的双曲线标准方中x,y互换即可,易得-=1(其中a0,b0,c2=a2+b2).2.双曲线标准方程的特点(1)双曲线的标准方程分焦点