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附录2 常系数二阶微分方程的齐次通解常系数二阶齐次微分方程 设其中a、w0都是正实数。要使二阶微分方程有确定的解，必须知道两个初始条件：初始值y(0)和一阶导数的初始值 。这里只讨论齐次通解在一些典型的系数值下的特点，不求出解中的待定常数。目的在于避免过多的数学式子，突出对有普遍意义的特征的认识。尝试（S为实的或复的常数）是否能为方程的解。代入方程可得恒等式： 由此得到决定常数S的特征方程： 该一元二次代数方程的根为： 因常数项的值不同，解的形式不同：1.自由振荡情况(无阻尼情况)（）此时，S是一对共轭虚数： 齐次通解为： 变为常用的三角函数式 这是一个等幅正弦振荡，w0 是自由振荡角频率或谐振角频率。K和q 是由初始条件决定的常数。2.欠阻尼情况（ ）此时，S是一对共轭复数： 齐次通解为： 这是一个衰减振荡。其中，（正实数）是衰减振荡角频率。振幅按指数函数衰减，故称a为衰减系数。K和q 是由初始条件决定的常数。这种情况下，系统开始会有正弦振荡，但随时间而衰减，过一段时间后就消失。3.过阻尼情况（）此时，S是两个负实数：齐次通解为： K1和K2 是由初始条件决定的常数。系统若受冲击，会无振荡地衰减。在文氏电桥正弦波发生器电路中，这是A1的情况。4.临界阻尼情况（）此时，S是一对重根（相等的负实数）： 现在只得到方程的一个特解，设方程的通解为 代入原方程，得到： 积分两次，得： 最后得到通解： K1和K2 是由初始条件决定的常数。系统若受冲击，仍然不会振荡，会无振荡地衰减。但是临界状态。5. a=0,系统可能振荡或衰减。如果a0，观察上面解的指数函数部分，发现指数成了正值，是一个随时间增大的因子，这表明系统如有振荡，则是增幅振荡，如无振荡，则是发散的，当然又与a、w0之间的相对大小有关，这里不作详细分析。在许多情况下，物理系统可以用常系数二阶微分方程描述。对具体的物理系统，自变量和函数代表各自的物理量，数学求解时，将方程整理成与一般形式对应的方程，确定与系数对应的部分，套到上述讨论的情形中，推导出与具体对象相关的有物理意义的结论。对于非齐次的二阶微分方程，求解起来是不容易的，并不总是能得到公式解
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