专题质量评估（八）.doc

专题质量评估(八) (时间:120分钟,满分:160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分) 1.若x,y满足约束条件 目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是 . 【解析】作出可行域如图所示,直线ax+2y=z仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知即-4a2. 【答案】(-4,2) 2.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0x3时,f(x)的图象如图所示,那么不等式cosx0的解集是 . 【解析】由已知用对称的方法画全f(x)在(-3,3)上的图象,运用数形结合,如图所示,从”形”中找出图象分别在x轴上、下部分的对应”数”的区间为. 【答案】 3.圆锥曲线离心率则a的值为 . 【解析】当焦点在x轴上时解得;当焦点在y轴上时,解得a=-1. 【答案】 -1 4.(2011湖南益阳一模)当x,y满足条件|x|+|y|时,变量的取值范围是 . 【解析】|x|+|y|表示的平面区域是正方形及其内部,而可以看成是点(3,0)与(y,x)连线的斜率,由图知,u最大为(3,0)与(0,-1)连线的斜率即最小为(3,0)与(0,1)连线的斜率即. 【答案】 5.三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中,能够成异面直线的条数的集合是 . 【解析】如图所示,当直线l分别在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时,与l异面的直线分别有3条、4条、5条、6条,故能构成异面直线的条数的集合是3,4,5,6. 【答案】3,4,5,6 6.若方程5-m)=0的两根都大于2,则m的取值范围是 . 【解析】令5-m,要使方程f(x)=0的两根都大于2,需函数f(x)的图象与x轴的两交点均在2的右边,则 解得. 【答案】(-5,-4 7.已知函数a3),若则与的大小关系是 . 【解析】f(x)的图象对称轴为x=-1,因为0a3, 则-21-a1,若则-2, 不满足且-21-a0恒成立,则实数m的取值范围是 . 【解析】易知f(x)为奇函数、增函数, f(mcos0,即f(mcosf(m-1), mcos 而时,cos 得m0),在区间-8,8上有四个不同的根则 . 【解析】因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)=f(x),因此,函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间0,2上是增函数,所以f(x)在区间-2,0上也是增函数,如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间-8,8上有四个不同的根不妨设.由对称性知所以-12+4=-8. 【答案】-8 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)把一块钢板冲成上面是半圆形,下面是矩形的零件,其周长是P,怎样设计才能使冲成的零件面积最大?并求出它的最大面积. 【解】如图,设矩形的一边长为x,则半圆的周长为 矩形的另一边长为. 设零件的面积为S,则 . 当时,S有最大值,这时. 当矩形的两邻边AB与BC之比为12时. 16.(本小题满分14分)求函数f(x)=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值. 【解】y=f(x)=2-4asinx-(1-2sin =2sinsinx+1 =2(sin. 设sinx=t,则 并且y=. 当a1时,有4a, 4a. 17.(本小题满分14分)(2011安徽滁州二模)若f(x)是三次函数,且f f(0)=1. (1)求f(x)的单调区间和极值; (2)若求f(x)的最大值、最小值. 【解】f(x)是三次函数,f(0)即为其常数项, 故由题意可得. (1)f f (x)=-(x-m)(x-3m), 时,f (x)0,f(x)为增函数; 时,f (x)3m,由图可得最大值在f(0)与f(3m)中产生. 又f(0)=f(3m)=1,所以最大值为1. 最小值在f(m)与f(m+2)中产生. . f(m)-f(m 当时,最小值为f(m; 当时,最小值为. 18.(本小题满分16分)已知函数f(x)在(-1,1)上有意义,-1,且对任意的x、(-1,1)都有f(x)+f(y)=. (1)若数列满足N求; (2)求的值. 【解】(1)|,|. 又. 而 . 是以-1为首项,以2为公比的等比数列, 故. (2)由题设,有f(0)+ff(0),故f(0)=0. 又有f(x)+f(f(0)=0,得f(-x)=-f(x),故知f(x)在(-1,1)上为奇函数. 由 得 . 于是 . 故=0. 19.(本小题满分16分)设函数g(x)=其中实数. (1)若a0,求函数f(x)的单调区间; (2)当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时,记g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域; (3)若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数,求a的取值范围. 【解】(1)f 又a0,当x0; 当时,f (x)0, h(a)的值域为. (3)当a0时,f(x)在和内是增函数,g(x)在内是增函数. 由题意得 解得. 当a0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用a表示b,并求b的最大值; (2)求证:. 【解】(1)设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点处的切线相同. f (x)=x+2a,g 由题意. 即 由得:或舍去). 即有lnlna. 令lnt(t0), 则h(t)=2t(1-3lnt). 于是当