【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用教学案（含最新模拟、试题改编）(1).doc

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时三角函数的综合应用第四章 (对应学生用书(文)、(理)5759页)考情分析考点新知理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角函数的综合问题2. b级考点： 同角三角函数的基本关系式 二倍角公式 三角函数的图象和性质 正弦定理和余弦定理1. (必修5p9例题4题改编)设abc的三个内角a、b、c所对的边分别是a、b、c，且，则a_答案：解析：由，得，即sinacosa，所以a.2. (必修4p45习题1.3第8题改编)将函数ysinx的图象向左平移(02)个单位后，得到函数ysin的图象，则_答案：解析：将函数ysinx向左平移(02)个单位得到函数ysin(x)只有时有ysinsin.3. (必修4p109习题3.3第6(2)题改编)tan_答案：2解析：原式2.4. (必修4p115复习题第13题改编)已知函数f(x)sinxcosxcos2x(xr)，则f(x)在区间上的值域是_答案：解析：f(x)sin2xcos2xsin.当x时，2x，故值域为.5. 在abc中，ac，bc2，b60，则边bc上的高为_答案：解析：由余弦定理，得7c242c，即c22c30，解得c3，所以边bc上的高h3sin60.1. 同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan.2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin()sincoscossin，cos()coscossinsin，tan().3. 二倍角公式：sin22sincos，cos2cos2sin22cos2112sin2，tan2.4. 三角函数的图象和性质5. 正弦定理和余弦定理：(1) 正弦定理：2r(r为三角形外接圆的半径)(2) 余弦定理：a2b2c22bccosa，cosa.题型1三角恒等变换例1已知sin，a.(1) 求cosa的值；(2) 求函数f(x)cos2xsinasinx的值域解：(1) 因为a，且sin，所以a0，0，yf(x)的部分图象如图所示，p、q分别为该图象的最高点和最低点，点p的坐标为(1，a)(1) 求f(x)的最小正周期及的值；(2) 若点r的坐标为(1，0)，prq，求a的值解：(1) 由题意得t6.因为p(1，a)在yasin的图象上，所以sin1.因为00，所以a.已知函数f(x)sin(x)(0，0)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若sinf()，求的值解：(1) f(x)为偶函数， sin(x)sin(x)，即2sinxcos0恒成立， cos0，又 0， . 又其图象上相邻对称轴之间的距离为， t2， 1，f(x)cosx. (2) 原式2sincos，又 sincos， 12sincos， 即2sincos，故原式 .题型3正弦定理、余弦定理的综合应用例3(2013浙江)在锐角abc中，内角a、b、c的对边分别为a、b、c，且2asinbb.(1) 求角a的大小；(2) 若a6，bc8，求abc的面积解：(1) 由2asinbb及正弦定理，得sina.因为a是锐角，所以a.(2) 由余弦定理a2b2c22bccosa，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式sbcsina，得abc的面积为.在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，c，a5，abc的面积为10.(1) 求b，c的值；(2) 求cos的值解：(1) 由已知，c，a5，因为sabcabsinc，即10b5sin，解得b8.由余弦定理可得：c2256480cos49, 所以c7.(2) 由(1)有cosb，由于b是三角形的内角，易知sinb，所以coscosbcossinbsin.题型4三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例4已知向量m与n(3，sinacosa)共线，其中a是abc的内角(1) 求角a的大小；(2) 若bc2，求abc面积s的最大值，并判断s取得最大值时abc的形状解：(1) 因为mn，所以sina(sinacosa)0.所以sin2a0，即sin2acos2a1，即sin1.因为a(0，)，所以2a.故2a，a.(2) 由余弦定理，得4b2c2bc.又sabcbcsinabc，而b2c22bcbc42bcbc4(当且仅当bc时等号成立)，所以sabcbcsinabc4.当abc的面积取最大值时，bc.又a，故此时abc为等边三角形已知abc的角a、b、c所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sin b，sin a)，p(b2，a2)(1) 若mn，求证：abc为等腰三角形；(2) 若mp，边长c2，角c，求abc的面积(1) 证明： mn， asin absin b，即ab，其中r是abc外接圆半径， ab. abc为等腰三角形(2) 解：由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0. abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)， sabsin c4sin .在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)若sin，sin，且、均为锐角，求的值学生错解：解： 为锐角， cos.又为锐角， cos. sin()sincoscossin，由于090，090， 0180，故45或135.审题引导： 在已知值求角中，角的范围常常被忽略或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果，估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，一般已知正切函数值，选正切函数，已知正余弦函数值时，若角在(0，)时，一般选余弦函数，若是，则一般选正弦函数规范解答： 解： 为锐角， cos.(2分)又为锐角， cos.(4分)且cos()coscossinsin，(10分)由于0，0，所以0，因为ycosx在上是单调递减函数，故.(14分)错因分析： 没有注意挖掘题目中的隐含条件，忽视了对角的范围的限制，造成出错事实上，仅由sin()，0180而得到45或135是正确的，但题设中sin，sin，使得030，030从而060，故上述结论是错误的在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根本题中00，所以c.根据正弦定理可得，即2，所以sina.因为abbc，所以ac，所以a，即b，所以三角形为直角三角形，所以sabc1.4. (2013新课标卷)设当x时，函数f(x)sinx2cosx取得最大值，则cos_答案：解析： f(x)sinx2cosx.令cos，sin，则f(x)(sinxcossincosx)sin(x)，当x2k，kz，即x2k，kz时，f(x)取最大值，此时2k，kz， coscossin.1. (2014扬州期末)在锐角abc中，角a、b、c所对的边长分别为a、b、c.向量m(1，cosb)，n(sinb，)，且mn.(1) 求角b的大小；(2) 若abc面积为10，b7，求此三角形周长解：(1) mnsinbcosb， mn， mn0， sinbcosb0. abc为锐角三角形， cosb0， tanb. 0b， b.(2) sabcacsinbac，由题设ac10，得ac40.由72a2c22accosb，得49a2c2ac， (ac)2(a2c2ac)3ac49120169. ac13， 三角形周长是20.2. 在abc中， a、b、c分别是角a、b、c的对边，abc的周长为2，且sinasinbsinc.(1) 求边c的长；(2) 若abc的面积为sinc，求角c的度数解：(1) 在abc中， sinasinbsinc，由正弦定理，得abc ， abccc(1)c2. ab2，c.(2) 在abc中， sabcabsincsinc， ab ，即ab.又ab2，在abc中，由余弦定理，得cosc，又在abc中c(0，)， c60.3. (2013湖北卷)在abc中，角a、b、c对应的边分别是a、b、c.已知cos2a3cos(bc)1.(1) 求角a的大小；(2) 若abc的面积s5，b5，求sinbsinc的值解：(1) 由已知条件得：cos2a3cosa1， 2cos2a3cosa20，解得cosa， a60.(2) sbcsina5c4，由余弦定理，得a221，(2r)228， sinbsinc.4. (2013北京卷)在abc中，a3，b2，b2a.(1) 求cosa的值；(2) 求c的值解：(1) 因为a3，b2，b2a.所以在abc中，由正弦定理得.所以.故cosa. (2) 由(1)知cosa，所以sina.又因为b2a，所以cosb2cos2a1.所以sinb. 在abc中，sincsin(ab)sinacosbcosasinb. 所以c5. 1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同2. 对于函数yasin(x)b，常用“五点法”画图象，运用整体思想研