广东省深圳市高三数学试第一次调研卷（深圳一模）理 新人教A版.doc

绝密启用前 试卷类型：a 2014年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 20142本试卷共6页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用05毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损2选择题每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上不按要求填涂的，答案无效3非选择题必须用05毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时，请先用2b铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答漏涂、错涂、多涂的答案无效5考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回参考公式：如果事件互斥，那么；如果事件相互独立，那么；若锥体的底面积为，高为，则锥体的体积为一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1.已知集合，集合，集合则集合可表示为a b c d 2.复数满足（其中为虚数单位），则= a b c d3下列函数中，为奇函数的是abcd4“”是“ 函数在区间上单调递减”的a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件输出 开始是 否 结束图15执行如图1所示的程序框图，则输出的的值为（注：“”，即为“”或为“”）a bc d6的展开式中常数项为a bc d图27如图2，在矩形内：记抛物线与直线围成的区域为（图中阴影部分）随机往矩形内投一点，则点落在区域内的概率是a bc d8.在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为给出下列命题：（1）若，则的最大值为；（2）若是圆上的任意两点，则的最大值为； (3) 若，点为直线上的动点，则的最小值为其中为真命题的是a（1）（2）（3） b（1）（2） c（1）(3) d (2)(3)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答图3正视图侧视图俯视图9函数的定义域为 10某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是 11.已知双曲线与椭圆有相同的焦点， 且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的方程为 12. 设实数满足 向量，若，则实数的最大值为 13.在数列中，已知， ，且数列是等比数列，则 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为则曲线与曲线的交点个数为_个taboc图415（几何证明选讲选做题）如图4，已知是的直径，是的切线，过作弦，若，则 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.（本小题满分12分）已知函数的图像经过点（1）求的值；（2）在中，、所对的边分别为、，若，且求17.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1）：图5网购金额(单位:千元)频数频率合计(1)(2) 金额（千元）若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为（1）试确定，的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）（2）该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望18（本小题满分14分）如图6所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，（1）求证平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；图6（3）求直线与平面所成角的余弦值19.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足（1）求，的值；（2）求；（3）设，数列的前项和为，求证：20.（本小题满分14分）如图7，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为（1）求直线及抛物线的方程；图7（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，的斜率分别为， 问：是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由21（本小题满分14分）已知函数（1）求在上的最大值；（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值2014年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数一、选择题：本大题每小题5分，满分40分12345678c bdadcb a二、填空题：本大题每小题5分，满分30分9 ； 10 ； 11； 12；13； 14； 15 三、解答题16（本小题满分12分）已知函数的图像经过点（1）求的值；（2）在中，、所对的边分别为、，若，且求解：（1）由题意可得，即 2分， ， 5分（2）， ， 7分 8分由（1）知， ， 10分又，12分【说明】 本小题主要考查了三角函数的图象与性质，三角恒等变换，以及余弦定理等基础知识，考查了简单的数学运算能力17（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1）：图5网购金额(单位:千元)频数频率合计(1)(2) 金额（千元）若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为（1）试确定，的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）（2）该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望金额(千元)解：（1）根据题意，有解得 2分，补全频率分布直方图如图所示 4分（2）用分层抽样的方法，从中选取人，则其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人 6分故的可能取值为0，1，2，3； ， ，10分所以的分布列为： 12分【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力18（本小题满分14分）图6如图6所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，（1）求证平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的余弦值解：（法一）（1）取中点为，连接、， 且，则 且 2分 四边形为矩形， 且，且，则 平面，平面， 平面 4分（2）过点作的平行线交的延长线于，连接， ，四点共面四边形为直角梯形，四边形为矩形，又，平面，又平面平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角7分，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为 9分（3）过点作于，连接，根据（2）知，四点共面，又， 平面， ，则又， 平面直线与平面所成角为 11分，即直线与平面所成角的余弦值为 14分（法二）（1）四边形为直角梯形，四边形为矩形，又平面平面，且平面平面，平面以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系根据题意我们可得以下点的坐标：， 则， 2分， 为平面的一个法向量又，平面 4分（2）设平面的一个法向量为，则， ， 取，得 6分平面，平面一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角的大小为，则因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为 9分（3）根据（2）知平面一个法向量为， ，12分设直线与平面所成角为，则因此，直线与平面所成角的余弦值为 14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力19 （本小题满分14分）已知数列的前项和为，且满足（1）求，的值；（2）求；（3）设，数列的前项和为，求证：解：（1）当时，有，解得当时，有，解得2分（2）（法一）当时，有, 得：，即：5分 8分另解： 又当时，有， 8分（法二）根据，猜想： 3分用数学归纳法证明如下： （）当时，有，猜想成立 （）假设当时，猜想也成立，即：那么当时，有，即：，又 ， -得：，解，得 当时，猜想也成立 因此，由数学归纳法证得成立8分（3）， 10分 14分【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想20（本小题满分14分）如图7，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为（1）求直线及抛物线的方程；（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，的斜率分别为， 问：是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由图7解：（1）（法一）点在抛物线上， 2分设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，由 得， ，由，得，则直线方程为两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，有，解得或（舍去）直线的方程为，抛物线的方程为 6分（法二）点在抛物线上， ，抛物线的方程为2分设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，的最小值为，由，解得因此，直线的方程为，抛物线的方程为6分（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由 得，设点、的坐标分别为、，则， 9分.10分由 得， 13分因此，存在实数，使得成立，且14分【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想21 （本小题满分14分）已知函数（1）求在上的最大值；（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值解：（1），2分令，解得（负值舍去），由，解得（）当时，由，得，在上的最大值为3分（）当时，由，得，在上的最大值为4分（）当时