【中考攻略】中考数学 专题10 几何三大变换之平移探讨.doc

【2013年中考攻略】专题10：几何三大变换之平移探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由移动的方向和距离决定。经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）构造平移图形；（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移；（7）圆的平移。一、构造平移图形：典型例题：例1. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9 x 9的正方形网格中有一个格点abc设网格中小正方形的边长为l个单位长度(1)在网格中画出abc向上平移4个单位后得到的alblcl(2)在网格中画出abc绕点a逆时针旋转900后得到的ab2c2(3)在(1)中abc向上平移过程中，求边ac所扫过区域的面积【答案】解：（1）、（2）如图所示：（3）abc向上平移4个单位后得到的a1b1c1，abc向上平移过程中，边ac所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形， 边ac所扫过区域的面积=42=8。【考点】作图（旋转和平移变换），平行四边形的判定和性质。【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的a1b1c1即可。（2）根据图形旋转的性质画出abc绕点a逆时针旋转90后得到的ab2c2。（3）根据abc向上平移4个单位后得到的a1b1c1，abc向上平移过程中，求边ac所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。例2.（2012黑龙江龙东地区6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，abc的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）将abc向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，画出两次平移后的a1b1c1;（2）写出a1、c1的坐标；（3）将a1b1c1绕c1逆时针旋转90，画出旋转后的a2b2c1，求线段b1c1旋转过程中扫过的面积(结果保留)。【答案】解：（1）两次平移后的a1b1c1如图所示：（2）由a1b1c1在坐标系中的位置可知，a1（0，2）；c1（2，0）。（3）旋转后的图形如图所示：由勾股定理可知，。线段b1c1旋转过程中扫过的面积为。【考点】作图（旋转和平移变换），扇形面积的计算。【分析】（1）根据图形平移的性质画出两次平移后的a1b1c1即可。（2）根据a1b1c1在坐标系中的位置写出a1、c1的坐标；（3）根据图形旋转的性质画出旋转后的a2b2c1，再根据勾股定理求出b1c1的长，由扇形的面积公式即可计算出线段b1c1旋转过程中扫过的面积。例3.（2012贵州六盘水10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形rtabc的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点a的坐标为（4，1），点b的坐标为（1，1）（1）先将rtabc向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到rta1b1c1试在图中画出图形rta1b1c1，并写出a1的坐标；（2）将rta1b1c1绕点a1顺时针旋转90后得到rta2b2c2，试在图中画出图形rta2b2c2并计算rta1b1c1在上述旋转过程中c1所经过的路程【答案】解：（1）如图所示，a1b1c1即为所求作的三角形。点a1的坐标为（1，0）。（2）如图所示，a2b2c2即为所求作的三角形。根据勾股定理，a1c1=，旋转过程中c1所经过的路程为。【考点】网格问题，作图（旋转和平移变换），勾股定理，弧长的计算。【分析】（1）根据网格结构找出点abc平移后的对应点a1、b1、c1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点a1的坐标即可。（2）根据网格结构找出点a1、b1、c1绕点a1顺时针旋转90后的对应点a2、b2、c2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理求出a1c1的长度，然后根据弧长公式列式计算即可得解。例4.（2012安徽省8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点abc（顶点是网格线的交点）和点a1.（1）画出一个格点a1b1c1，并使它与abc全等且a与a1是对应点；（2）画出点b关于直线ac的对称点d，并指出ad可以看作由ab绕a点经过怎样的旋转而得到的.【答案】解：（1）答案不唯一，如图，平移即可：(2)作图如上，ab=，ad=，bd=，ab2+ad2=bd2。abd是直角三角形。ad可以看作由ab绕a点逆时针旋转90得到的。【考点】作图（平移变换、轴对称变换），全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理。【分析】（1）利用abc三边长度，画出以a1为顶点的三角形三边长度即可，利用图象平移，可得出a1b1c1。（2）利用点b关于直线ac的对称点d，得出d点坐标，根据勾股定理和逆定理可得出ad与ab的位置关系。例5.（2012海南省8分）如图，在正方形网络中，abc的三个顶点都在格点上，点a、b、c的坐标分别为（2，4）、（2，0）、（4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出abc关于原点o对称的a1b1c1.（2）平移abc，使点a移动到点a2（0，2），画出平移后的a2b2c2并写出点b2、c2的坐标.（3）在abc、a1b1c1、a2b2c2中，a2b2c2与 成中心对称，其对称中心的坐标为 .【答案】解：（1）abc关于原点o对称的a1b1c1如图所示：（2）平移后的a2b2c2如图所示： 点b2、c2的坐标分别为（0，2），（2，1）。（3）a1b1c1；（1，1）。【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。【分析】（1）根据中心对称的性质，作出a、b、c三点关于原点的对称点a1、b1、c1，连接即可。 （2）根据平移的性质，点a（2，4）a2（0，2），横坐标加2，纵坐标减2，所以将b（2，0）、c（4，1）横坐标加2，纵坐标减2得到b2（0，2）、c2（2，1），连接即可。 （3）如图所示。例6.（2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，abc的顶点a、b、c在小正方形的顶点上，将abc向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到a1b1c1，然后将a1b1c1绕点a1顺时针旋转90得到a1b2c2（1）在网格中画出a1b1c1和a1b2c2；（2）计算线段ac在变换到a1c2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）【答案】解：（1）如图所示：（2）图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，。将abc向下平移4个单位ac所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积：42=8。再向右平移3个单位ac所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边形的面积：42=6。当a1b1c1绕点a1顺时针旋转90到a1b2c2时，a1c1所扫过的面积是以a1为圆心以以为半径，圆心角为90的扇形的面积，重叠部分是以a1为圆心，以为半径，圆心角为45的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为： 线段ac在变换到a1c2的过程中扫过区域的面积=86=14+。【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出a1b1c1及a1b2c2即可。 （2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。 例7.（2012甘肃白银3分）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是【 】 a b c d【答案】a。【考点】生活中的平移现象。【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小。观察各选项图形可知，a选项的图案可以通过平移得到。故选a。练习题：1. （2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xoy中，已知abc和def的顶点坐标分别为a（1，0）、b（3，0）、c（2，1）、d（4，3）、e（6，5）、f（4，7）。按下列要求画图：以点o为位似中心，将abc向y轴左侧按比例尺2：1放大得abc的位似图形a1b1c1，并解决下列问题：（1）顶点a1的坐标为 ，b1的坐标为 ，c1的坐标为 ；（2）请你利用旋转、平移两种变换，使a1b1c1通过变换后得到a2b2c2，且a2b2c2恰与def拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。3.（2012福建泉州9分）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数与直线的交点a、b均在格点上，根据所给的直角坐标系（点o是坐标原点），解答下列问题：（1）分别写出点a、b的坐标后，把直线ab向右平移平移5个单位，再在向上平移5个单位，画出平移后的直线ab.（2）若点c在函数的图像上，abc是以ab为底边的等腰三角形，请写出点c的坐标.4.（2012湖北武汉7分）如图，在平面直角坐标系中，点a、b的坐标分别为(1，3)、(4，1)，先将线段ab沿一确定方向平移得到线段a1b1，点a的对应点为a1，点b1的坐标为(0，2)，在将线段a1b1绕远点o顺时针旋转90得到线段a2b2，点a1的对应点为点a2(1)画出线段a1b1、a2b2；(2)直接写出在这两次变换过程中，点a经过a1到达a2的路径长5.（2012湖南张家界6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点abc向右平移4个单位得到a1b1c1，再将a1b1c1绕点c1点旋转180得到a2b2c26.（2012四川凉山6分）如图，梯形abcd是直角梯形（1）直接写出点a、b、c、d的坐标；（2）画出直角梯形abcd关于y轴的对称图形，使它与梯形abcd构成一个等腰梯形（3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形（不要求写作法）7.（2012辽宁丹东8分）已知：abc在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为a（0，3），b（3，4），c（2，2）.（正方形网格中， 每个小正方形的边长是1个单位长度）（1）画出abc向下平移4个单位得到的a1b1c1，并直接写出c1点的坐标；（2）以点b为位似中心，在网格中画出a2bc2，使a2bc2与abc位似，且位似比为21，并直接写出c2点的坐标及a2bc2的面积二、点的平移：典型例题：例1. （2012广东肇庆3分）点m（2，）向上平移2个单位长度得到的点的坐标是【 】a（2，0） b（2，1） c（2，2） d（2，）【答案】b。【考点】坐标平移。【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，点m（2，-1）向上平移2个单位长度，12=1。平移后的点坐标是（2，1）。故选b。例2. （2012辽宁鞍山3分）在平面直角坐标系中，将点p（1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点p1，则点p1的坐标为 【答案】（1，1）。【考点】坐标平移。【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，点p（1，4）向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，1+2=1，43=1。点p1的坐标为（1，1）。例2.（2012江苏泰州3分）如图，数轴上的点p表示的数是1，将点p向右移动3个单位长度得到点p，则点p表示的数是 【答案】2。【考点】数轴和数，平移的性质。【分析】如图，根据平移的性质，点p表示的数是2。例3.（2012安徽省4分）如图，a点在半径为2的o上，过线段oa上的一点p作直线，与o过a点的切线交于点b，且apb=60，设op= x，则pab的面积y关于x的函数图像大致是【 】 【答案】d。【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】利用ab与o相切，bap是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象： ab与o相切，bap=90，op=x，ap=2x，bpa=60，ab=，apb的面积，（0x2）。pab的面积y关于x的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0x2的部分。故选d。例4.（2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形abcd的边长为a，动点p从点a出发，沿折线abdca的路径运动，回到点a时运动停止设点p运动的路程长为长为x，ap长为y，则y关于x的函数图象大致是【 】abc d【答案】d。【考点】动点问题的函数图象。【分析】因为动点p按沿折线abdca的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为四部分：ab，bd，dc，ca。 当动点p在ab上时，函数y随x的增大而增大，且y=x，四个图象均正确。 当动点p在bd上时，函数y在动点p位于bd中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项b错误。 当动点p在dc上时，函数y随x的增大而增大，故选项a，c错误。 当动点p在ca上时，函数y随x的增大而减小。故选项d正确。故选d。例5.（2012浙江温州4分）如图，在abc中，c=90，m是ab的中点，动点p从点a出发，沿ac方向匀速运动到终点c,动点q从点c出发，沿cb方向匀速运动到终点b.已知p，q两点同时出发，并同时到达终点.连结mp，mq，pq.在整个运动过程中，mpq的面积大小变化情况是【 】a.一直增大 b.一直减小 c.先减小后增大 d.先增大后减小【答案】c。【考点】动点问题的函数图象。【分析】如图所示，连接cm，m是ab的中点，sacm=sbcm=sabc，开始时，smpq=sacm=sabc；由于p，q两点同时出发，并同时到达终点，从而点p到达ac的中点时，点q也到达bc的中点，此时，smpq=sabc；结束时，smpq=sbcm=sabc。mpq的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选c。例6.（2012湖北黄石3分）如图所示，已知a，b为反比例函数图像上的两点，动点p在x正半轴上运动，当线段ap与线段bp之差达到最大时，点p的坐标是【 】a. b. c. d. 【答案】d。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。【分析】把a，b分别代入反比例函数 得：y1=2，y2= ，a（ ，2），b（2， ）。在abp中，由三角形的三边关系定理得：|apbp|ab，延长ab交x轴于p，当p在p点时，papb=ab，即此时线段ap与线段bp之差达到最大。设直线ab的解析式是y=kx+b，把a、b的坐标代入得： ，解得：。直线ab的解析式是。当y=0时，x= ，即p（ ，0）。故选d。例7.（2012辽宁大连3分）如图，一条抛物线与x轴相交于a、b两点，其顶点p在折线cde上移动，若点c、d、e的坐标分别为（1，4）、（3，4）、（3，1），点b的横坐标的最小值为1，则点a的横坐标的最大值为【 】a.1 b.2 c.3 d.4【答案】b。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质。【分析】抛物线的点p在折线cde上移动，且点b的横坐标的最小值为1， 观察可知，当点b的横坐标的最小时，点p与点c重合。 c（1，4），设当点b的横坐标的最小时抛物线的解析式为。 b（1，0），解得a=1。 当点b的横坐标的最小时抛物线的解析式为。 观察可知，当点a的横坐标的最大时，点p与点e重合，e（3，1）， 当点a的横坐标的最大时抛物线的解析式为。 令，即，解得或。 点a在点b的左侧，此时点a横坐标为2。故选b。 点a的横坐标的最大值为2。例8（2012北京市5分）操作与探究： （1）对数轴上的点p进行如下操作：先把点p表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点p的对应点p. 点a，b在数轴上，对线段ab上的每个点进行上述操作后得到线段ab，其中点a，b的对应点分别为a，b如图1，若点a表示的数是，则点a表示的数是 ；若点b表示的数是2，则点b表示的数是 ；已知线段ab上的点e经过上述操作后得到的对应点e与点e重合，则点e表示的数是 ； （2）如图2，在平面直角坐标系xoy中，对正方形abcd及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m0,n0），得到正方形abcd及其内部的点，其中点a,b的对应点分别为a,b。已知正方形abcd内部的一个点f经过上述操作后得到的对应点f与点f重合，求点f的坐标。【答案】解：（1）0；3；。（2）根据题意得， ，解得.设点f的坐标为（x，y），对应点f与点f重合，解得。点f的坐标为（1，4）。【考点】坐标与图形的平移变化，数轴，正方形的性质，平移的性质。【分析】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点a，设点b表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点b表示的数，设点e表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解： 点a：3+1=1+1=0。设点b表示的数为a，则a+1=2，解得a=3。设点e表示的数为b，则a+1=b，解得b=。（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点f的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可。例9. （2012江苏常州9分）已知，在矩形abcd中，ab=4，bc=2，点m为边bc的中点，点p为边cd上的动点（点p异于c、d两点）。连接pm，过点p作pm的垂线与射线da相交于点e（如图）。设cp=x，de=y。（1）写出y与x之间的函数关系式 ；（2）若点e与点a重合，则x的值为 ；（3）是否存在点p，使得点d关于直线pe的对称点d落在边ab上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）y=x24x。 （2）或。 （3）存在。 过点p作phab于点h。则 点d关于直线pe的对称点d落在边ab上， p d=pd=4x，e d=ed= y=x24x，ea=aded= x24x2，p de=d=900。 在rtdp h中，ph=2， dp =dp=4x，dh=。 e da=1800900p dh=900p dh=dp h，p de=p hd =900， e dadp h。，即， 即，两边平方并整理得，2x24x1=0。解得。当时，y=，此时，点e已在边da延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。当时，y=，此时，点e在边ad上，符合题意。当时，点d关于直线pe的对称点d落在边ab上。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。【分析】（1）cm=1，cp=x，de=y，dp=4x，且mcppde， ，即。y=x24x。（2）当点e与点a重合时，y=2，即2=x24x，x24x2=0。 解得。（3）过点p作phab于点h，则由点d关于直线pe的对称点d落在边ab上，可得e da与dp h相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。例10. （2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的o与直线l相切于点a，点p是直径ab左侧半圆上的动点，过点p作直线l的垂线，垂足为c，pc与o交于点d，连接pa、pb，设pc的长为. 当 时，求弦pa、pb的长度；当x为何值时，的值最大？最大值是多少？【答案】解：（1）o与直线l相切于点a，ab为o的直径，abl。又pcl，abpc. cpa=pab。ab为o的直径，apb=90。pca=apb.pcaapb。，即pa2=pcpd。pc=，ab=4，。在rtapb中，由勾股定理得：。（2）过o作oepd，垂足为e。 pd是o的弦，ofpd，pf=fd。 在矩形oeca中，ce=oa=2，pe=ed=x2。 cd=pcpd= x2（x2）=4x 。当时，有最大值，最大值是2。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）由直线l与圆相切于点a，且ab为圆的直径，根据切线的性质得到ab垂直于直线l，又pc垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到ab与pc平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出pca与pab相似，由相似得比例，将pc及直径ab的长代入求出pa的长，在rtapb中，由ab及pa的长，利用勾股定理即可求出pb的长。（2）过o作oe垂直于pd，与pd交于点e，由垂径定理得到e为pd的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到oace为矩形，根据矩形的对边相等，可得出ec=oa=2，用pc-ec的长表示出pe，根据pd=2pe表示出pd，再由pc-pd表示出cd，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值练习题：1. （2012山东东营3分）将点a（2，1）向左平移2个单位长度得到点a，则点a的坐标是【 】 a(2，3) b（2，）c（4，1）d. （0，1）2.（2012广西来宾3分）在平面直角坐标系中，将点m（1，2）向左平移2个长度单位后得到点n，则点n的坐标是【 】a（1，2） b（3，2） c（1，4） d（1，0）3.（2012广西玉林、防城港3分）在平面直角坐标系中，一青蛙从点a(1，0)处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点a处，则点a的坐标为 .4.（2012四川攀枝花3分）如图，直角梯形aocd的边oc在x轴上，o为坐标原点，cd垂直于x轴，d（5，4），ad=2若动点e、f同时从点o出发，e点沿折线oaaddc运动，到达c点时停止；f点沿oc运动，到达c点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度设e运动秒x时，eof的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为【 】abcd5.（2012四川内江3分）如图，正abc的边长为3cm,动点p从点a出发，以每秒1cm的速度，沿的方向运动，到达点c时停止，设运动时间为x（秒），,则y关于x的函数的图像大致为【 】 a. b. c. d. 6.（2012江苏无锡10分）如图，菱形abcd的边长为2cm，dab=60点p从a点出发，以cm/s的速度，沿ac向c作匀速运动；与此同时，点q也从a点出发，以1cm/s的速度，沿射线ab作匀速运动当p运动到c点时，p、q都停止运动设点p运动的时间为ts（1）当p异于ac时，请说明pqbc；（2）以p为圆心、pq长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，p与边bc分别有1个公共点和2个公共点？7. （2012广东河源9分）如图，矩形oabc中，a(6，0)、c(0，2)、d(0，3)，射线l过点d且与x轴平行，点p、q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足pqo60(1)点b的坐标是 ，cao ，当点q与点a重合时，点p的坐标为 ；(2)设点p的横坐标为x，opq与矩形oabc重叠部分的面积为s，试求s与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围8. （2012福建南平14分）如图，在abc中，点d、e分别在边bc、ac上，连接ad、de，且1=b=c（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一： ；结论二： ；结论三： （2）若b=45，bc=2，当点d在bc上运动时（点d不与b、c重合），求ce的最大值；若ade是等腰三角形，求此时bd的长（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）9. （2012福建漳州14分）如图，在oabc中，点a在x轴上，aoc=60o，oc=4cmoa=8cm动点p从点o出发，以1cms的速度沿线段oaab运动；动点q同时从点o出发，以acms的速度沿线段occb运动，其中一点先到达终点b时，另一点也随之停止运动 设运动时间为t秒 (1)填空：点c的坐标是(_，_)，对角线ob的长度是_cm；(2)当a=1时，设opq的面积为s，求s与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，s的值最大? (3)当点p在oa边上，点q在cb边上时，线段pq与对角线ob交于点m.若以o、m、p为顶点的三角形与oab相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围10. （2012福建福州13分）如图，在rtabc中，c90，ac6，bc8，动点p从点a开始沿边ac向点c以每秒1个单位长度的速度运动，动点q从点c开始沿边cb向点b以每秒2个单位长度的速度运动，过点p作pdbc，交ab于点d，连接pq点p、q分别从点a、c同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t0)(1) 直接用含t的代数式分别表示：qb_，pd_(2) 是否存在t的值，使四边形pdbq为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由并探究如何改变点q的速度(匀速运动)，使四边形pdbq在某一时刻为菱形，求点q的速度；(3) 如图，在整个运动过程中，求出线段pq中点m所经过的路径长11.（2011湖北黄石3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为，如果调整后的座位为，则称该生作了平移,并称为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当取最小值时，的最大值为 .三、直线（线段）的平移：典型例题：例1. （2012湖南娄底3分）对于一次函数y=2x+4，下列结论错误的是【 】a函数值随自变量的增大而减小b函数的图象不经过第三象限c函数的图象向下平移4个单位长度得y=2x的图象d函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）例2.（2012福建南平3分）将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是 【答案】y=2x1。【考点】一次函数图象与平移变换，待定系数法，直线上点的坐标理性认识各式的关系。【分析】直线y=2x经过点（0，0），向上平移1个单位后对应点的坐标为（0，1），平移前后直线解析式的k值不变，设平移后的直线为y=2xb。则20+b=1，解得b=1。所得到的直线是y=2x1。例3. （2012湖南娄底4分）如图，ab的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段ab平移到至a1b1，a1、b1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b= 【答案】2。【考点】坐标与图形平移变化。【分析】a（1，0）转化为a1（2，a）横坐标增加了1，b（0，2）转化为b1（b，3）纵坐标增加了1，a=0+1=1，b=0+1=1。a+b=1+1=2。例4.（2012江西南昌3分）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线【 】aa户最长bb户最长cc户最长d三户一样长【答案】d。【考点】生活中的平移现象，平移的性质。【分析】根据平移的性质，对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行平移，便可直观观察到都是相等的。因此a b c三线长度相等。故选d。例5.（2012广西河池12分）如图，在等腰三角形abc中，ab=ac，以底边bc的垂直平分线和bc所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过a、b两点.（1）写出点a、点b的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段oa、ca和抛物线于点e、m和点p，连结pa、pb.设直线l移动的时间为t（0t4）秒，求四边形pbca的面积s（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形pbca的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点p，使得pam是直角三角形？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）a（8，0），b（0，4）。 （2）ab=ac，ob=oc。c（0，4）。 设直线ac：，由a（8，0），c（0，4）得 ，解得。直线ac：。 直线l移动的速度为2，时间为t，oe=2t。设p， 在中，令x=2t，得，m（2t，）。 bc=8，pm=，oe=2t，ea=， 。 四边形pbca的面积s与t的函数关系式为（0t4）。 ， 四边形pbca的最大面积为41个平方单位。（3）存在。由（2），在0t4，即0t8时，amp和apm不可能为直角。 若pam为直角，则paca，aocpea。 设p，则oc=4，oa=8，ea=8p，ep=， ，整理得，解得（舍去）。 当时，。p（3，10）。 当p（3，10）时，pam是直角三角形。【考点】二次函数综合题，动直线问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。【分析】（1）在中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=1或x=8。 a（8，0），b（0，4）。 （2）由ab=ac，根据等腰三角形三线合一的性质可得点c的坐标，从而用待定系数法求出直线ac的解析式，得到点m关于t的表达式，根据求出四边形pbca的面积s与t的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形pbca的最大面积。 （3）存在。易知，amp和apm不可能为直角。当pam为直角时，aocpea，根据比例关系列出方程求解即可。例6.（2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c（1）求点a、b的坐标；（2）设d为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当acd的面积等于acb的面积时，求点d的坐标；（3）若直线l过点e（4，0），m为直线l上的动点，当以a、b、m为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=4，x2=2。 点a在点b的左侧，a、b点的坐标为a（4，0）、b（2，0）。 （2）由得，对称轴为x=1。 在中，令x=0，得y=3。 oc=3，ab=6，。在rtaoc中，。设acd中ac边上的高为h，则有ach=9，解得h=。如图1，在坐标平面内作直线平行于ac，且到ac的距离=h=，这样的直线有2条，分别是l1和l2，则直线与对称轴x=1的两个交点即为所求的点d。设l1交y轴于e，过c作cfl1于f，则cf=h=，。设直线ac的解析式为y=kx+b，将a（4，0），b（0，3）坐标代入，得，解得。来源:21直线ac解析式为。直线l1可以看做直线ac向下平移ce长度单位（个长度单位）而形成的，直线l1的解析式为。则d1的纵坐标为。d1（4，）。同理，直线ac向上平移个长度单位得到l2，可求得d2（1，）。综上所述，d点坐标为：d1（4，），d2（1，）。（3）如图2，以ab为直径作f，圆心为f过e点作f的切线，这样的切线有2条连接fm，过m作mnx轴于点n。a（4，0），b（2，0），f（1，0），f半径fm=fb=3。又fe=5，则在rtmef中，-me=，sinmfe=，cosmfe=。在rtfmn中，mn=mnsinmfe=3，fn=mncosmfe=3。则on=。m点坐标为（，）。直线l过m（，），e（4，0），设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。直线l的解析式为y=x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x3。综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x3。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）a、b点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。（2）根据题意求出acd中ac边上的高，设为h在坐标平面内，作ac的平行线，平行线之间的距离等于h根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的d点从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线ac向上或向下平移而形成因此先求出直线ac的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得d点坐标。这样的平行线有两条。（3）本问关键是理解“以a、b、m为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义因为过a、b点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与a、b点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以ab为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与a、b点构成直角三角形从而问题得解。这样的切线有两条。例7.（2012广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线：y=2xb (b0)的位置随b的不同取值而变化 (1)已知m的圆心坐标为(4，2)，半径为2 当b=时，直线：y=2xb (b0)经过圆心m： 当b=时，直线：y=2xb(b0)与om相切： (2)若把m换成矩形abcd，其三个顶点坐标分别为：a(2，0)、b（6，0）、c(6，2). 设直线扫过矩形abcd的面积为s，当b由小到大变化时，请求出s与b的函数关系式，【答案】解：（1）10；。（2）由a(2，0)、b（6，0）、c(6，2)，根据矩形的性质，得d（2，2）。如图，当直线经过a(2，0)时，b=4；当直线经过d（2，2）时，b=6；当直线经过b（6，0）时，b=12；当直线经过c(6，2)时，b=14。当0b4时，直线扫过矩形abcd的面积s为0。当4b6时，直线扫过矩形abcd的面积s为efa的面积（如图1），在 y=2xb中，令x=2，得y=4b，则e（2，4b），令y=0，即2xb=0，解得x=，则f（，0）。af=，ae=4b。s=。当6b12时，直线扫过矩形abcd的面积s为直角梯形dhga的面积（如图2），在 y=2xb中，令y=0，得x=，则g（，0），令y=2，即2xb=2，解得x=，则h（，2）。dh=，ag=。ad=2s=。当12b14时，直线扫过矩形abcd的面积s为五边形dmnba的面积=矩形abcd的面积cmn的面积（如图3）在 y=2xb中，令y=2，即2xb=2，解得x=，则m（，0），令x=6，得y=12b，则n（6，12b）。mc=，nc=14b。s=。当b14时，直线扫过矩形abcd的面积s为矩形abcd的面积，面积为民8。综上所述。s与b的函数关系式为：。【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。【分析】（1）直线y=2xb (b0)经过圆心m(4，2)， 2=24b，解得b=10。如图，作点m垂直于直线y=2xb于点p，过点p作phx轴，过点m作mhph，二者交于点h。设直线y=2xb与x，y轴分别交于点a，b。 则由oabhmp，得。 可设直线mp的解析式为。 由m(4，2)，得，解得。直线mp的解析式为。 联立y=2xb和，解得。 p（）。 由pm=2，勾股定理得，化简得。 解得。（2）求出直线经过点a、b、c、d四点时b的值，从而分0b4，4b6，6b12，12b14，b14五种情况分别讨论即可。例8.（2012广东珠海9分）如图，在等腰梯形abcd中，abdc，ab=3，dc=，高ce=2，对角线ac、bd交于h，平行于线段bd的两条直线mn、rq同时从点a出发沿ac方向向点c匀速平移，分别交等腰梯形abcd的边于m、n和r、q，分别交对角线ac于f、g；当直线rq到达点c时，两直线同时停止移动记等腰梯形abcd被直线mn扫过的图形面积为s1、被直线rq扫过的图形面积为s2，若直线mn平移的速度为1单位/秒，直线rq平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒（1）填空：ahb= ；ac= ；（2）若s2=3s1，求x；（3）设s2=ms1，求m的变化范围【答案】解：（1）90；4。（2）直线移动有两种情况：0x及x2。当0x时，mnbd，amnarq。直线mn平移的速度为1单位/秒，直线rq平移的速度为2单位/秒，amn和arq的相似比为1：2。s2=4s1，与题设s2=3s1矛盾。当0x时，不存在x使s2=3s1。当x2时， abcd，abhcdh。ch：ah=cd：ab=dh：bh=1：3。ch=dh=ac=1，ahbh=41=3。cg=42x，acbd，sbcd=41=2rqbd，crqcdb。又，mnbd，amnadb。，s1=x2，s2=88（2x）2。s2=3s1，88（2x）2=3x2