山东省高考数学一轮复习 试题选编20 数列的综合问题 理 新人教A版.doc

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编20：数列的综合问题一、选择题 （山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知定义在r上的函数f(x),g(x)满足,且(x)g(x),若有穷数列的前n项和等于126,则n等于（）a4b5c6d7【答案】c （山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知函数f(x)=,把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（）ab cd【答案】b 若0x1,则1x10,得f(x)=f(x1)+1=2x1, 若1x2,则0x11,得f(x)=f(x1)+1=2x2+1 若2x3,则1x12,得f(x)=f(x1)+1=2x3+2 若3x4,则2x13,得f(x)=f(x1)+1=2x4+3 以此类推,若nxn+1(其中nn),则f(x)=f(x1)+1=2xn1+n, 下面分析函数f(x)=2x的图象与直线y=x+1的交点 很显然,它们有两个交点(0,1)和(1,2), 由于指数函数f(x)=2x为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. 然后将函数f(x)=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位即得到函数f(x)=2x1和y=x的图象, 取x0的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0). 即当x0时,方程f(x)x=0有且仅有一个根x=0. 取中函数f(x)=2x1和y=x图象1x0的部分,再同时向上和向右各平移一个单位, 即得f(x)=2x1和y=x在0x1上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(1,1). 即当0x1时,方程f(x)x=0有且仅有一个根x=1. 取中函数f(x)=2x1和y=x在0x1上的图象,继续按照上述步骤进行, 即得到f(x)=2x2+1和y=x在1x2上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(2,2). 即当1x2时,方程f(x)x=0有且仅有一个根x=2. 以此类推,函数y=f(x)与y=x在(2,3,(3,4,(n,n+1上的交点依次为(3,3),(4,4),(n+1,n+1). 即方程f(x)x=0在(2,3,(3,4,(n,n+1上的根依次为3,4,n+1. 综上所述方程f(x)x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为 0.,1,2,3,4, 其通项公式为,选b 二、填空题 （山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）根据下面一组等式 可得 _.【答案】 【 解析】;,由归纳推理可知. （山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）对大于l的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:23,仿此,若m3的“分裂数”中有一个是59,则m的值为_.【答案】8 即13=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,m增加1,累加的奇数个数便多1,我们不难计算59是第30个奇数,若它是m的分解,则1至m-1的分解中,累加的奇数一定不能超过30个,故可列出不等式,进行求解,由且,解得. （山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式:22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+723=3+5 33=7+9+1124=7+9此规律,54的分解式中的第三个数为 _【答案】125 【解析】由题意可知,所以54的分解式中的第三个数为. （山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则的前n项和是_.【答案】 【解析】曲线,曲线导数为,所以切线效率为,切点为,所以切线方程为,令得,即,所以,所以,是以2为首项,为公比的等比数列,所以. （山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）如图,一个类似杨辉三角的数阵,请写出第行的第2个数为_.【答案】 每行的第二个数构成一个数列,由题意知,所以 ,等式两边同时相加得 , 所以. （2011年高考（山东理）设函数,观察:,根据以上事实,由归纳推理可得:当且时,_.【答案】解析:, ,以此类推可得. 答案应填: 三、解答题 （山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）(本小题满分】2分)某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%(i)设第n年该生产线的维护费用为,求的表达式;()若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前n年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?【答案】 （2011年高考（山东理）等比数列中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足:,求数列的前项和.【答案】解析:()由题意可知,公比, 通项公式为; () 当时, 当时 故 另解:令,即 则 故 . （山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知函数f(x)=ax的图象过点(1,),且点(n-1,)(nn*)在函数f(x)=ax的图象上.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=an+1-an,若数列bn的前n项和为sn,求证:sn5.【答案】(1)函数f(x)=ax的图象过点(1,), a=,f(x)=()x. 又点(n-1,)(nn*)在函数f(x)=ax的图象上,从而=,即an=. (2)证明:由bn=-=得, (3)sn=+, 则sn=+, 两式相减得:sn=+2(+)-, sn=5-, sn5 （2013年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知数列的前n项和满足,设.(i)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;(ii)按以下规律构造数列,具体方法如下:,第n项bn由相应的中2n-1项的和组成,求数列的通项.【答案】 （山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知数列的各项排成如图所示的三角形数阵,数阵中每一行的第一个数构成等差数列,是的前n项和,且( i )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公比相等,已知,求的值;()设,当时,对任意,不等式恒成立,求t的取值范围.【答案】解:()为等差数列,设公差为 设从第3行起,每行的公比都是,且, 1+2+3+9=45,故是数阵中第10行第5个数, 而 () 令, 当时上为减函数, 为递减数列,的最大值为 不等式变为恒成立,设 则,解得 （山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数的图象是曲线,点是曲线上的一系列点,曲线在点处的切线与轴交于点. 若数列是公差为的等差数列,且.()分别求出数列与数列的通项公式;()设为坐标原点,表示的面积,求数列的前项和.【答案】解:(), 曲线在点处的切线方程: 令, 该切线与轴交于点, （山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知数列an的首项为a1=5,前n项和为sn,且.(1)证明数列是等比数列;(2)令是函数的导函数,令,求数列 的通项公式;(3)若成立,试求n的最大值.【答案】 （山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知数列的前项和为,且满足,数列为等差数列,且,.(1)求数列与的通项公式;(2)若,求的值.【答案】【解析】(1)由题意得, 当时, 又,所以 设等差数列的公差为.由, 可得,解得. 所以,所以. (2)由(1)得,当时,当时, 所以当时,; 当时, . 记, , -得, 故, 则. 因为,所以. （2013山东高考数学（理）设等差数列的前n项和为,且,.()求数列的通项公式;()设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.【答案】解:()设等差数列的首项为,公差为, 由,得 , 解得, 因此 ()由题意知: 所以时, 故, 所以, 则 两式相减得 整理得 所以数列数列的前n项和 （山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知,数列满足,数列满足;又知数列中,且对任意正整数,.()求数列和数列的通项公式;()将数列中的第项,第项,第项,第项,删去后,剩余的项按从小到大的顺序排成新数列,求数列的前项和.【答案】解:, 又由题知:令 ,则, 若,则,所以恒成立 若,当,不成立,所以 ()由题知将数列中的第3项、第6项、第9项删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列,首项分别是,公比均是 （山东省济宁市2013届高三4月联考理科数学）已知数列中,(1)求数列的通项公式(2)若数列满足数列的前项和为若不等式对一切恒成立,求的取值范围.【答案】 （山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）各项均为正数的等比数列an中,已知a1=2,a5=512,tn是数列log2an的前n项和.(i)求数列an的通项公式;()求tn;()求满足的最大正整数n的值.【答案】 所以数列是以为首项,公比为4的等比数列 （山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）等比数列满足的前n项和为,且(i)求;(ii)数列的前n项和,是否存在正整数m,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.【答案】(本小题满分12分) 解: (),所以公比 得 所以 ()由()知 于是 假设存在正整数,使得成等比数列,则 , 可得, 所以 从而有, 由,得 此时. 当且仅当,时,成等比数列 （山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）某产品在不做广告宣传且每千克获利元的前提下,可卖出千克.若做广告宣传,广告费为()千元时比广告费为()千元时多卖出千克.()当广告费分别为1千元和2千元时,用表示销售量;()试写出销售量与的函数关系式;()当时,要使厂家获利最大,销售量和广告费分别应为多少?【答案】 （山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知公差大于零的等差数列an的前n项和sn,且满足:a2a4=65,a1+a5=18.(1)若1i21,a1,ai,a21是某等比数列的连续三项,求i的值;(2)设,是否存在一个最小的常数m使得b1+b2+bnm对于任意的正整数n均成立,若存在,求出常数m;若不存在,请说明理由.【答案】 （2009高考(山东理)）等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值； （11）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立【答案】解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则,所以下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立. （山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）已知数列满足(为常数),成等差数列.()求p的值及数列的通项公式;()设数列满足,证明:.【答案】解:()由 得 成等差数列, 即得 依题意知, 当时, 相加得 又适合上式, 故 ()证明: 若则 即当时,有 又因为 故 ()法二:要证 只要证 下面用数学归纳法证明: 当时,左边=12,右边=9,不等式成立; 当时,左边=36,右边=36,不等式成立. 假设当时,成立. 则当时,左边=43k+1=343k39k2, 要证39k29(k+1)2 , 只要正3k2(k+1)2 , 即证2k2-2k-10. 而当k即且时,上述不等式成立. 由可知,对任意,所证不等式成立. （山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）已知当时,二次函数取得最小值,等差数列的前n项和,.()求数列的通项公式;()数列的前n项和为且,证明.【答案】()当时, 当时, 又适合上式,得 . 由已知 解方程组得 . (), -得 , . 则, , , 当时, , 综上,得. （2011年高考（山东理） 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.