【导与练】高考数学一轮总复习 第五篇 第4节 数列求和课时训练 文（含解析）新人教版(1).doc

第4节数列求和 【选题明细表】知识点、方法题号公式法求和1、2、8、12分组转化法求和3、9、14并项法求和4、7裂项相消法求和5、10、13、15错位相减法求和6、11、16一、选择题1.(2013山东省泰安市高三期中)在等差数列an中,a9=12a12+6,则数列an的前11项和s11等于(d)(a)24(b)48(c)66(d)132解析:法一设数列an的公差为d,首项为a1,则由题意得a1+8d=12(a1+11d)+6,整理得a1+5d=12,即a6=12,因此s11=11(a1+a11)2=11a6=132.故选d.法二由a9=12a12+6得a6+a122=12a12+6,所以a6=12,s11=11(a1+a11)2=11a6=32,故选d.2.(2013山东省实验中学第三次诊断性测试)在等差数列an中,a1=-2013,其前n项和为sn,若s1212-s1010=2,则s2013的值等于(b)(a)-2012(b)-2013(c)2012(d)2013解析:s12=12a1+12112d,s10=10a1+1092d,所以s1212=12a1+12112d12=a1+112d,s1010=a1+92d,所以s1212-s1010=d=2,所以s2013=2013a1+201320122d=2013(-2013+2012)=-2013,故选b.3.数列1+2n-1的前n项和为(c)(a)1+2n(b)2+2n(c)n+2n-1(d)n+2+2n解析:由题意得an=1+2n-1,所以sn=n+1-2n1-2=n+2n-1,故选c.4.(2012年高考福建卷)数列an的通项公式an=ncos n2,其前n项和为sn,则s2012等于(a)(a)1006(b)2012(c)503(d)0解析:an=ncos n2,当n为奇数时,an=0,当n为偶数时,an=n,n=4m,-n,n=4m-2,其中mn*,s2012=a1+a2+a3+a4+a5+a2012=a2+a4+a6+a8+a2012=-2+4-6+8-10+12-14+2012=(-2+4)+(-6+8)+(-2010+2012)=2503=1006.故选a.5.(2013辽宁省五校联考)已知幂函数f(x)=x的图象过点(4,2),令an=f(n+1)+f(n),nn*,记数列1an的前n项和为sn,则sn=10时,n的值是(b)(a)10(b)120(c)130(d)140解析:幂函数f(x)=x过点(4,2),4=2,=12,f(x)=x12,an=f(n+1)+f(n)=n+1+n,1an=1n+1+n=n+1-n.sn=(2-1)+(3-2)+(n+1-n)=n+1-1.又sn=10,n+1-1=10,n=120.故选b.6.sn=12+12+38+n2n等于(b)(a)2n-n-12n(b)2n+1-n-22n(c)2n-n+12n(d)2n+1-n+22n解析:法一由sn=12+222+323+n2n,得12sn=122+223+n-12n+n2n+1,-得,12sn=12+122+123+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1,sn=2n+1-n-22n.故选b.法二取n=1,s1=12,代入各选项验证可知选b.7.数列an的通项an=sin n3,前n项和为sn,则s2015等于(b)(a)12(b)0(c)1(d)-12解析:由an=sin n3,知数列an是以6为周期的数列,且a1+a2+a6=0,则s2015=(a1+a2+a6)+(a2005+a2010)+a2011+a2015=a1+a2+a5=0.故选b.二、填空题8.(2013北京市东城区联考)若数列an满足a1=1,an+1=2an(nn*),则a3=,前5项的和s5=.解析:由an+1=2an(nn*),得数列an是首项为1公比为2的等比数列,所以a3=a1q2=22=4,s5=1-251-2=31.答案:4319.数列32,94,258,6516,n2n+12n的前n项和为.解析:由于an=n2n+12n=n+12n,sn=1+121+2+122+3+123+n+12n=(1+2+3+n)+12+122+123+12n=(n+1)n2+121-12n1-12=n(n+1)2-12n+1.答案:n(n+1)2-12n+110.(2013温州高三质检)若已知数列的前四项是112+2、122+4、132+6、142+8,则数列前n项和为.解析:因为通项an=1n2+2n=121n-1n+2,所以此数列的前n项和sn=121-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-2n+32(n+1)(n+2).答案:34-2n+32(n+1)(n+2)11.已知数列an的前n项和为sn且an=n2n,则sn=.解析:sn=a1+a2+a3+an,sn=2+222+323+n2n,2sn=22+223+(n-1)2n+n2n+1,-得,-sn=2+22+23+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1=2n+1-n2n+1-2,sn=(n-1)2n+1+2.答案:(n-1)2n+1+212.(2013河南省平顶山二模)设数列an的通项为an=2n-10(nn*),则|a1|+|a2|+|a15|=.解析:an=2n-10,a1=-8,公差d=2.当1n5时,an0,当n5时,an0,则|a1|+|a2|+|a15|=-(a1+a2+a5)+(a6+a7+a15)=-s5+s15-s5=s15-2s5=-815+151422-2-85+5422=130.答案:13013.(2013甘肃省兰州第三次模拟)设曲线y=xn+1(nn*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+a99的值为.解析:因为y=xn+1(nn*),所以y=(n+1)xn(nn*),所以y|x=1=n+1,所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),即(n+1)x-y-n=0,当y=0时,x=nn+1,所以xn=nn+1,所以an=lg xn=lgnn+1=lg n-lg(n+1),所以a1+a2+a99=(lg 1-lg 2)+(lg 2-lg 3)+(lg 3-lg 4)+(lg 99-lg 100)=lg 1-lg 100=-2.答案:-2三、解答题14.(2013山东省青岛市高三期中考试)设an是公差大于零的等差数列,已知a1=2,a3=a22-10.(1)求an的通项公式;(2)设bn是以1为首项,以3为公比的等比数列,求数列an-bn的前n项和sn.解:(1)设an的公差为d,则a1=2,a1+2d=(a1+d)2-10,解得d=2或d=-4(舍),所以an=2+(n-1)2=2n.由题意知bn=3n-1,所以an-bn=2n-3n-1,故sn=(2-30)+(4-31)+(2n-3n-1)=(2+2n)n2-1-3n1-3=n2+n+12-123n.15.(2013年高考新课标全国卷)已知等差数列an的前n项和sn满足s3=0,s5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列1a2n-1a2n+1的前n项和.解:(1)设数列an的公差为d,由已知可得3a1+3d=0,5a1+10d=-5.解得a1=1,d=-1.故an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=1(3-2n)(1-2n)=1212n-3-12n-1,从而数列1a2n-1a2n+1的前n项和为121-1-11+11-13+12n-3-12n-1=n1-2n.16.(2013山东师大附中第三次模拟)已知等差数列an的首项为a,公差为d,且方程ax2-3x+2=0的解为1,d.(1)求an的通项公式及前n项和公式sn;(2)求数列3n-1an的前n项和tn.解:(1)由方程ax2-3x+2=0的两根为1,d.可得1+d=3a,d=2a,解得a=1,d=2.由此知an=1+2(n-1)=2n-1,sn=n2.(2)令bn=3n-1an=(2n-1)3n-1,则tn=b1+b2+b3+bn=11+33+532+(2n-1)3n-1,3tn=13+332+533+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n,两式相减,得-2tn=1+23+232+23n-1-(2n-1)3n=1+6(1-3n-1)1-3-(2n-1)3n=-2-2(n-1)3n,tn=1+(n-1)3n.大题冲关集训 1.(2012年高考重庆卷)已知 an为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12.(1)求数列an的通项公式;(2)记an的前n项和为sn,若a1,ak,sk+2成等比数列,求正整数k的值.解:(1)设数列an 的公差为d,由题意知2a1+2d=8,2a1+4d=12,解得a1=2,d=2.所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)可得sn=(a1+an)n2=(2+2n)n2=n(1+n),因a1,ak,sk+2 成等比数列,所以ak2=a1sk+2.从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即k2-5k-6=0.解得k=6 或k=-1(舍去),因此k=6.2.(2013年高考福建卷)已知等差数列an的公差d=1,前n项和为sn.(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;(2)若s5a1a9,求a1的取值范围.解:(1)因为数列an的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列, 所以a12=1(a1+2), 即a12-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2. (2)因为数列an的公差d=1,且s5a1a9, 所以5a1+10a12+8a1, 即a12+3a1-100,解得-5a12. 3.(2013山师大附中高三期中测试)等比数列an的前n项和为sn,已知s1,s3,s2成等差数列.(1)求an的公比q;(2)若a1-a3=3,求sn.解:(1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a10,故2q2+q=0,又q0,从而q=-12.(2)由已知可得a1-a1-122=3,故a1=4,从而sn=41-(-12)n1-(-12)=831-(-12)n.4.(2013泰安二模)已知等差数列an的首项a1=3,且公差d0,其前n项和为sn,且a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4项.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)证明:131s1+1s2+1sn34.(1)解:设等比数列的公比为q,a1,a4,a13分别是等比数列bn的b2,b3,b4,(a1+3d)2=a1(a1+12d).又a1=3,d2-2d=0,d=2或d=0(舍去).an=3+2(n-1)=2n+1.等比数列bn的公比为b3b2=a4a1=3,b1=b2q=1.bn=3n-1.(2)证明:由(1)知sn=n2+2n,1sn=1n(n+2)=121n-1n+2,1s1+1s2+1sn=12(1-13)+(12-14)+(1n-1n+2)=121+12-1n+1-1n+2=34-121n+1+1n+234.1n+1+1n+212+13=56,34-121n+1+1n+213,131s1+1s2+1sn0,解得2k-23x2k+23(kz),令f(x)0,解得2k+23x2k+43(kz),因此,当x=2k-23(kz)时,f(x)取极小值,即xn=2n-23(nn*).(2)由(1)xn=2n-23(nn*).得sn=x1+x2+x3+xn=2(1+2+3+n)-2n3=n(n+1)-2n3.当n=3m(mn*)时,sin sn=sin(-2m)=0,当n=3m-1(mn*)时,sin sn=sin23=32,当n=3m-2(mn*)时,sin sn=sin43=-32,综上所述,sin sn=0,n=3m(mn*),32,n=3m-1(mn*),-32,n=3m-2(mn*).6.(2013北京市东城区高三联考)已知数列an的前n项和为sn,且满足sn=2an-n(nn*).(1)求a1,a2的值;(2)求数列an的通项公式;(3)若数列bn的前n项和为tn,且满足bn=nan(nn*),求数列bn的前n项和tn.解:(1)sn=2an-n,令n=1,解得a1=1;令n=2,解得a2=3.(2)sn=2an-n,所以sn-1=2an-1-(n-1),(n2,nn*).两式相减得an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),(n2,nn*).又因为a1+1=2,所以数列an+1是首项为2,公比为2的等比数列.所以an+1=2n,即通项公式an=2n-1(nn*).(3)因为bn=nan,所以bn=n(2n-1)=n2n-n,所以tn=(121-1)+(222-2)+(323-3)+(n2n-n)=(121+222+323+n2n)-(1+2+3+n).令sn=121+222+323+n2n,2sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,-得-sn=21+22+23+2n-n2n+1=2(1-2n)1-2-n2n+1.sn=2(1-2n)+n2n+1=2+(n-1)2n+1,所以tn=2+(n-