八年级数学下册 17.2 一元二次方程的解法（第2课时）导学案 （新版）沪科版.doc

一元二次方程的解法1一元二次方程的求根公式及推导(1)求根公式的定义一般地，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b24ac0时，它的根是x.这个式子称为一元二次方程的求根公式(2)求根公式的推导一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式ax2bxc0(a0)的过程具体推导过程如下：由于a0，在方程两边同除以a，得x2x0.移项，得x2x.方程两边同加上()2，得x2x()2()2，即(x)2.由于4a20，所以当b24ac0时，可得x.所以x.(1)配方法是推导求根公式的基础(2)由于4a20，所以只有当b24ac0时，式子才是非负常数，方程才能开方(3)由此可见，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根【例1】方程3x287x化为一般形式是_，其中a_，b_，c_，方程的根为_解析：将方程移项可化为3x27x80.其中a3，b7，c8.因为b24ac4943(8)1450，代入求根公式可得x.答案：3x27x803782公式法解一元二次方程(1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(2)公式法是解一元二次方程的一般方法，对于任何一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤：将方程化为一般形式ax2bxc0(a0)，确定a，b，c的值计算b24ac的值，从而确定原方程是否有实数根若b24ac0，则把a，b，c及b24ac的值代入求根公式，求出x1，x2；若b24ac0，则方程没有实数根(1)此求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有确认方程是一元二次方程时，方可使用(2)“b24ac0”是一元二次方程求根公式的重要组成部分，是公式成立的前提条件，当b24ac0时，方程没有实数根(3)用公式法解一元二次方程时，一定先将方程化为一般形式，再确定a，b，c的值，并注意它们的符号(4)当b24ac0时，应把方程的根写成x1x2，从而说明一元二次方程有两个相等的实数根，而不是一个根【例2】用公式法解下列方程：(1)2x(x)10；(2)x24x1108x.分析：用公式法解一元二次方程时，先将一元二次方程写成ax2bxc0(a0)的形式，然后判断b24ac的值是大于等于0，还是小于0.若b24ac0，把a，b，c的值代入求根公式求解；若b24ac0，则原方程没有实数根解：(1)原方程可化为2x22x10.因为a2，b2，c1，所以b24ac(2)24210.所以x.所以x1x2.(2)将原方程化为一般形式，得x24x110.因为a1，b4，c11，所以b24ac(4)241(11)164460.所以x.所以x12，x22.点拨：用公式法解一元二次方程时，必须满足b24ac0，才能将a，b及b24ac的值代入求根公式求解当b24ac0时，原方程没有实数根3因式分解法(1)定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法(2)因式分解法的理论依据：若ab0，则a0或b0.(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：将方程的右边化为0；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解用因式分解法解一元二次方程的关键：一是要将方程右边化为0；二是方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积【例3】解下列方程：(1)x3x(x3)；(2)(x2)2(2x3)2；(3)x22x3.分析：移项右边为0左边能提取公因式(x3)移项左边能用平方差公式进行分解移项左边正好是一个完全平方式解：(1)原方程可化为(x3)x(x3)0.(x3)(1x)0.x30，或1x0.x13，x21.(2)原方程可化为(x2)2(2x3)20.(x2)(2x3)(x2)(2x3)0，即(3x1)(x5)0.3x10，或x50.x1，x25.(3)原方程可化为x22x30，即x22x()20.(x)20.x1x2.4因式分解法的两种类型一元二次方程右边化为0后，左边在因式分解时，可分为两种类型：(1)有公因式可提：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式例如，解方程x3x(x3)0，可通过提公因式(x3)，原方程变形为(x3)(1x)0.(2)能运用公式平方差公式：a2b2(ab)(ab)；完全平方公式：a22abb2(ab)2.运用完全平方公式解一元二次方程，实质上与用配方法是一致的，是配方法的特殊形式.例如，解方程x240，利用平方差公式变形为(x2)(x2)0；解方程x24x40，利用完全平方公式变形为(x2)20.在利用提公因式法、完全平方公式及平方差公式分解因式时，公因式可能是多项式，公式中的字母也可能代表多项式，因此，要注意从整体上观察，切不可盲目地去化简整理【例4】解下列方程：(1)4(x3)225(x2)20；(2)(2x1)24(2x1)40；(3)(x3)(x1)4x4.分析：解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法(1)右边为0左边可整体利用平方差公式分解因式(2)右边为0将2x1作为一个整体，左边可利用完全平方公式进行因式分解(3)移项后把右边化为0变形后能提公因式(x1)解：(1)原方程可变形为2(x3)25(x2)20，即(2x6)2(5x10)20.(2x65x10)(2x65x10)0，即(7x16)(3x4)0.7x160，或3x40.x1，x2.(2)原方程可变形为(2x12)20，即(2x3)20.2x30.x1x2.(3)原方程可变形为(x3)(x1)4(x1)0.(x1)20.x1x21.5利用因式分解法解一元二次方程的误区应用因式分解法解方程时，常有以下误区：(1)对因式分解法的基本思想不理解，没有将方程化为ab0的形式就急于求解对此要认真审题，看方程的一边是否是0，若不是0，应先化为0.(2)产生丢根现象对于丢根现象，往往是因为在解方程过程中，出现方程两边不属于同解变形的步骤避免这一错误的方法主要是注意方程两边不能同除以含有未知数的项【例5】解方程：(1)(x2)(x3)6.(2)2x(x1)3(x1)解：解答顾问点评(1)错解x20，或x30，得x12，x23.用因式分解法时，右边必须是0，而本题中右边不是0正解整理，得x25x0，x(x5)0.x0，或x50.x10，x25.先整理成一般形式，再选择适当的方法(2)错解方程两边同时除以(x1)，得2x3，解得x.出现两边同除以(x1)的错误正解移项，得2x(x1)3(x1)0，(x1)(2x3)0.x10，或2x30.解得x11，x2.移项后可提公因式(x1)6选择适当的方法解一元二次方程(1)一元二次方程一般有四种解法，四种解法对照如下：解法适合类型注意事项直接开平方法(xm)2nn0时，有解；n0时，无解配方法x2pxq0二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方公式法ax2bxc0(a0)先化为一般形式再用公式b24ac0时，方程有解；b24ac0时，方程无解因式分解法方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式(2)选择的原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，接着考虑配方法，最后考虑公式法因式分解法和直接开平方法虽然简便，但并非所有的方程都适用；配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦；公式法是在配方法的基础上，利用其导出的求根公式直接求解因此，在解一元二次方程时，为了提高解题速度和准确率，应先观察方程特点，灵活选择适当的方法进行解题_【例61】选择适当的方法解下列方程：(1)3x(x1)1x；(2)x22x110；(3)2x25x10.分析：(1)将方程右边的“1x”移到方程左边，则变为“x1”，此时有公因式“x1”可提.因式分解法(2)仔细观察不难发现二次项系数与一次项系数的特点，“x22x”易于配方，可选用配方法求解.配方法(3)公式法适用于任何一元二次方程，此题是一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，就可以直接代入公式求解.公式法解：(1)原方程可化为3x(x1)(x1)0，(x1)(3x1)0.x10，或3x10.x11，x2.(2)移项，得x22x11，配方，得x22x1111，即(x1)212.x12，即x21.x121，x221.(3)a2，b5，c1，b24ac(5)242(1)330，x.x1，x2.【例62】用适当的方法解下列方程：(1)9(x2)216；(2)(x1)2(x1)60；(3)4x24x10；(4)(3x4)29x12.分析：(1)题利用直接开平方法解较好(2)题利用因式分解法解较好(3)题利用求根公式法解较好(4)题利用因式分解法解较好解：(1)原方程变形为(x2)2，所以x2，即x2.所以x1，x2.(2)原方程变形为(x12)(x13)0，即(x1)(x4)0，所以x10或x40.所以x11，x24.(3)因为a4，b4，c1，所以b24ac(4)244116.所以x.所以x1，x2.(4)原方程变形为(3x4)23(3x4)，即(3x4)23(3x4)0，分解因式，得(3x4)(3x4)30，即(3x4)(3x7)0，所以3x40或3x70.所以x1，x2.7用十字相乘法解一元二次方程十字相乘法能把某些二次三项式ax2bxc(a0)因式分解这种方法的关键是把二次项的系数a分解成两个因数a1，a2的积a1a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1c2，并使a1c2a2c1正好是一次项系数b，那么可以直接写出结果：ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)当二次项系数为1时，上述公式变为x2bxc(xc1)(xc2)此时解决问题的关键是将常数项分解为两个数的积，且其和等于一次项系数例如，分解因式2x27x3，利用上述方法将二次项系数与常数项分解为12与(1)(3)，则交叉相乘再相加，得1(1)2(3)7，结果正好等于一次项系数7，于是二次三项式2x27x3可分解为(x3)(2x1)【例7】用十字相乘法解下列方程：(1)x22