【志鸿全优设计】高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质目标导学 新人教A版选修11.doc

2.2.2双曲线的简单几何性质问题导学一、双曲线几何性质的应用活动与探究1(1)设双曲线的一个焦点为f，虚轴的一个端点为b，如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是()a b c d(2)设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为()ayx by2xcyx dyx迁移与应用求双曲线4x2y24的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程(1)已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化为标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2a2b2得到c的值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质(2)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即可得渐近线方程，这样就不至于记错了二、由双曲线的几何性质求标准方程活动与探究2求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线过点(3,9)，离心率e(2)双曲线c的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(3)与双曲线x22y22有共同的渐近线，且经过点(2，2)(4)过点p(2，1)，渐近线方程是y3x迁移与应用1中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()a1b1或1c1d1或12已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，渐近线方程为2x3y0，则双曲线的标准方程为()a1 b1c1 d1(1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线的标准方程；二是采用待定系数法首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止遗漏为了避免讨论，也可设方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求解(2)若是根据双曲线的渐近线求标准方程，设法为：若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线方程可表示为(0)；与双曲线1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可表示为(a0，b00)；与双曲线1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可表示为(a0，b0，0)三、与双曲线离心率有关的问题活动与探究3(1)设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为()a bc2 d3(2)双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，求双曲线的离心率e的取值范围迁移与应用1已知双曲线1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()a bc d2已知f1，f2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，pq是经过f1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果pf2q90，求双曲线的离心率(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，如果含有b，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e求离心率(2)双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，常与直线、三角形、向量等平面几何知识综合考查，求双曲线离心率(或离心率的取值范围)的关键是由条件寻找a，c所满足的等式(或不等式)四、直线与双曲线的位置关系活动与探究4(1)已知双曲线方程为x21，过p(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()a4 b3 c2 d1(2)过点p(8,1)的直线与双曲线x24y24相交于a，b两点，且点p是线段ab的中点，求直线ab的方程迁移与应用已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，试讨论实数k的取值范围(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况另外，设而不求、根与系数的关系、消参也是常用的方法在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度答案：课前预习导学【预习导引】1f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)2cxa或xaya或ya关于x轴，y轴，(0,0)对称a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)2a2b(1，)yxyx预习交流1(1)提示：离心率e，所以离心率e越大，双曲线的开口越大；离心率e越小，即越接近于1，开口便越小当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线斜率为，则所以，e越大，越大，渐近线的斜率的绝对值越大；e越小，越小，渐近线的斜率的绝对值越小当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线斜率为，则所以，e越大，越小，渐近线的斜率的绝对值越小；e越小，越大，渐近线的斜率的绝对值越大(2)提示：68(0，5)和(0,5)(0，3)和(0,3)yxe2实轴虚轴yxx2y2(0)预习交流2提示：c预习交流3提示：由得(1k2)x22kx20由题意有k且k1实数k的取值范围是(，1)(1,1)(1，)课堂合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：根据已知条件，利用坐标表示垂直，求出a，b，c的关系，消去b，进而求得的值d解析：不妨设双曲线的方程为1(a0，b0)，取虚轴的一个端点为b(0，b)，一个焦点为f(c,0)，则直线fb与渐近线yx垂直，1b2ac0又c2a2b2，c2aca20e2e10，解得e或e(舍去)(2)思路分析：由已知求出b，c，然后利用平方关系求出a，最后根据方程写出渐近线c解析：由已知2b2,2c2，b1，ca2c2b22由双曲线的焦点在x轴上，双曲线的渐近线方程为yxx迁移与应用解：将4x2y24变形为x21，即1，a1，b2，c，顶点a1(1,0)，a2(1,0)，焦点f1(，0)，f2(，0)，实半轴长是a1，虚半轴长是b2，离心率e渐近线方程为yx2x活动与探究2思路分析：(1)(2)可用待定系数法求出a，b，c后求方程；(3)(4)可以利用渐近线的方程进行假设解：(1)e2，得，设a29k(k0)，则c210k，b2c2a2k于是，设所求双曲线方程为1或1把(3,9)代入，得k161与k0矛盾，无解；把(3,9)代入，得k9，故所求双曲线方程为1(2)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得a，c2，再由a2b2c2，得b21故双曲线c的方程为y21(3)设所求双曲线方程为x22y2k由于双曲线过点(2，2)，将(2，2)代入，得k222(2)24故所求双曲线方程为x22y24，即1(4)方法一：首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点p(2，1)在渐近线y3x的上方还是下方如图所示，x2与y3x交点为q(2，6)，p(2，1)在q(2，6)的上方，所以焦点在x轴上设双曲线方程为1(a0，b0)依题意，得解得所求双曲线方程为1方法二：由渐近线方程3xy0，可设所求双曲线方程为y2(0)(*)将点p(2，1)的坐标代入(*)，得35，所求的双曲线方程为1迁移与应用1b解析：由已知a5，b3当焦点在x轴上时，方程为1；当焦点在y轴上时，方程为12b解析：设双曲线方程为4x29y2(0)，即1(0)双曲线的焦点坐标为(，0)，36双曲线的标准方程为1活动与探究3(1)思路分析：设出双曲线的标准方程，将|ab|用参数a，b表示，然后根据“|ab|为c的实轴长的2倍”，列关于a，b的等式，由此求离心率b解析：设双曲线的两焦点分别为f1，f2，由题意可知|f1f2|2c，|ab|2|af1|4a，在rtaf1f2中，|af1|2a，|f1f2|2c，|af2|，|af2|af1|2a2a，即3a2c2，e(2)思路分析：写出直线l的方程写出点(1,0)到直线l的距离写出点(1,0)到直线l的距离依题意列出不等式求出e的范围解：直线l的方程为1，即bxayab0点(1,0)到直线l的距离d1，点(1,0)到直线l的距离d2，sd1d2，由sc，得c，即5a2c2，于是得52e2，即4e425e2250，得e25由于e10，所以e的取值范围是e迁移与应用1c解析：由双曲线的右焦点为(3,0)知c3，即c29，又c2a2b2，9a25，即a24，a2故所求离心率e2解：设f1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，则y由|pf2|qf2|，pf2q90，知|pf1|f1f2|，2c，b22acc22aca20，2210即e22e10e1或e1(舍去)所求双曲线的离心率为1活动与探究4(1)思路分析：注意点p(1,0)恰好是双曲线的右顶点，从而利用数形结合就可确定直线条数b解析：由已知点p(1,0)是双曲线的右顶点，故过点p(1,0)且与x轴垂直的直线与双曲线相切，它们只有一个公共点另外过点p(1,0)且与其中一条渐近线平行的直线与双曲线相交，它们只有一个公共点所以满足条件的直线l有三条(2)思路分析：若设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x216，y1y22，可把a，b两点代入双曲线方程，通过作差法求得k即可解：设a(x1，y1)，b(x2，y2)(8,1)是弦ab的中点，x1x216，y1y22把a，b两点坐标代入x24y24，得x4y4，x4y4，得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)02，即直线ab的斜率为2所求的直线方程为y12(x8)，即2xy150经验证该直线符合题意迁移与应用解：由消去y，得(1k2)x22k2xk240(*)当1k20，即k1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程(*)化为2x5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点当1k20，即k1时，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)即k，且k1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点即k时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有一个公共点即k或k时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点综上所述，(1)当k1，或1k1，或1k时，直线与双曲线有两个公共点；(2)当k1，或k时，直线与双曲线有且只有一个公共点；(3)当k，或k时，直线与双曲线没有公共点当堂检测1双曲线4y29x236的渐近线方程为()a bc d答案：a解析：方程可化为，焦点在y轴上，渐近线方程为2已知双曲线c：的焦距为10，点p(2,1)在c的渐近线上，则c的方程为()a bc d答案：a解析：2c10，c5点p(2,1)在直线上，又a2b225，a220，b25故c的方程为3双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()a b4c4 d答案：a解析：由双曲线方程mx2y21，知m0，则双曲线方程可化为，则a21，a1，又虚轴长是实轴长的2倍，b2，b24，故选a4已知