云南省巧家县第二中学高三数学专题复习 平面向量的概念及运算.doc

高三数学复习之平面向量的概念及运算1向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”（），表示abc的边bc的中线。向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），|表示a、b两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线长分别为|+|、|-|。是的重心。会用“模不等式”：|-|+|解决有关模的范围问题，关注等号成立的条件。 已知abc的三个顶点a、b、c及其所在平面内一点p，满足+=，则点p与abc的关系为： a. p在abc内部 b. p在abc外部 c. p在边ab所在的直线上 d. p是ac边的一个三等分点解析：由+=+=+=-2p与a、c共线且为线段ac的三等分点，选d。已知=（3，4）， =1，则|的取值范围是_解析：思路一：用“模不等式” |-|5-|1|。思路二：记=，=，则a（3，4），=|=1，即点b到定点a的距离为1，点b在以a为圆心，1为半径的圆周上，数形结合不难得到|，即|。 已知abc，若对任意tr，|，则aa=900 bb=900 cc=900 dd=900已知向量=（2，0），向量=（2，2），向量=（cos,sin），则向量与向量的夹角范围为：(a) (b) (c) (d) 2.在0时，(即、共线)存在实常数使=（特别地：当0时同向，当0表示bac的平分线。设、是两个起点相同且不共线的非零向量，则当实数t=_时，,t,(+)三向量的终点共线解析：记=，t=，(+)=，a、b、c三点共线即向量、共线存在实数，使得=即：t-=（-），、不共线（很重要！）t=且1= t=。注意：若、不共线的非零向量，且m+n=p+q则：m=n且p=q(m,n,p,q是实数)，读者可以思考一下为什么？非零向量=（sin,1）, =(0,cos),-所在的直线的倾角为，（1）若与共线，求的值；（2）当（0，）时，求证：=/2 。是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足：=+则p点的轨迹一定通过abc的的轨迹一定通过abc的（a）外心（b）内心（c）重心（d）垂心3向量的数量积：（符号运算）；其中可视为向量 在向量 上的射影。向量的数量积是数而不是向量，向量的射影是数而未必是正数。向量的数量积满足交换率、对加（减）法的分配率、不满足结合率，即（）（），一个等式的两边、一个分式的分子分母不能同乘以或同除以一个向量。若=（x1,y1）, =(x2,y2),则= x1 x2+y1 y2（坐标运算）;在使用向量数量积的公式时，要根据题目的条件和设问特点选择使用符号运算还是坐标运算。应用：（1）角度：且；可视为与、同向的两个单位向量的数量积；为锐角0且、不共线，为锐角0且、不共线；特别地：0x1 x2+y1 y2=0；o是abc的垂心=（请读者证明这个结论）。（2）长度： 即2=（）2（符号运算）；2=x12+y12 （坐标运算）。|-|=|+|（矩形），（-）（+）|=|（菱形），|-|2+|+|2=2（|2+|2）（即平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，对已知三角形三边长求中线长的问题用这个结论很快捷）。已知=（1，0），=（0，1），求使向量+k与向量+2k的夹角为锐角的k的取值范围。解析：+k=（1，k），+2k=（2k，1），向量+k与向量+2k的夹角为锐角（+k）（+2k）0,且+k与+2k不共线，即2k+k0且2k21得：k0,且k。已知向量（cos，sin），（cos，sin），且x，.求及|+|；（ii）求函数f(x)-的最小值。解析：（）= coscossinsin=cos2x （坐标运算）,= 2cosx（符号运算）； （）f(x)= cos2x +2cosx =2 cos2x+2cosx1=2（cosx+）2， cosx当cosx =0时f(x)取得最小值。已知与的夹角为60，如果，则m的值为（）a.b.c.d. 已知ofq的面积为s，且，(1)若s2,求向量与的夹角的取值范围； (2）设|=，s =，若以o为中心，f为焦点的椭圆经过点q，当|取得最小值时，求此椭圆的方程. 已知非零向量与满足且则为（ ）（a）等边三角形（b）直角三角形 （c）等腰非等边三角形 （d）三边均不相等的三角形4关注平面向量基本定理中的关键词：、不共线有且仅有一对实数、。 设同一平面内的两向量、不共线，是该平面内的任一向量，则关于x的方程x2+x+=的解的情况，下列叙述正确的是：（ ）a至少有一个实数解 b至多有一个实数解 c有且只有一个实数解 d可能有无数个解解析：此题不可用“判别式”，“判别式”只能判别实系数一元二次方程的根的情况，而本题中二次方程的系数是向量。原方程即： =- x2- x，、不共线，可视为“基底”，根据平面向量基本定理知，有且仅有一对实数、使得= - x2且= - x，即当= -2时方程有一解，否则方程无解，故选b。已知、分别是abc的边bc、ac上的中线，且=，=，则可以用向量、表示为 。oxy600如图，在平面斜坐标系中，=600，平面上任一点p关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若=x+y，其中、分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则p点的斜坐标为(x,y).（1）若点p的斜坐标为（2，-2），求p到o的距离|po|；（2）求以o为圆心、1为半径的圆在斜坐标系中的方程。简答1记：（b、c、c/共线），则=|即对直线bc上任意一点c/都有|a c/|ac|ac bc，故选c； |=，a点在以c为圆心，为半径的圆上，图示，选d， 2、（1），（2）-= （sin,1-cos）,tan=tan,(0,);记abc中bc边上的高为，则|sinb=|sinc=,=+(+),记bc的中点为m, =+2,选c；3、 c， （1）（2）以为x轴正向，o为原点建系，=（c,0),记q(x0,y0), =(x0-c,y0)