九年级数学相似三角形的性质　相似多边形及其性质一周强化冀教版.doc

相似三角形的性质相似多边形及其性质一周强化一、一周知识概述1、相似三角形的性质(1)相似三角形的周长的比等于相似比如图，其符号语言：2、相似三角形的性质(2)相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比其符号语言：如图ABCABC，ADBC，ADBC，ABCABC，BF=CF，BF=CF，ABCABC，BAE=CAE，BAE=CAE，性质定理(1)与(2)可简记为：相似三角形中一切对应线段及周长之比都等于相似比3、相似三角形的性质(3)相似三角形的面积的比等于相似比的平方4、相似多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做它们的相似比5、相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例性质：相似多边形周长的比等于它们的相似比；相似多边形面积的比等于它们相似比的平方例如：如图所示，已知四边形ABCD四边形ABCD，且则：(1)A=A，B=B，C=C，D=D；(3)四边形ABCD的周长四边形ABCD的周长=k；(4)S四边形ABCDS四边形ABCD=k2二、重难点知识归纳1、运用相似三角形、相似多边形性质时应注意以下几点：面积比=(相似比)2，当已知面积比求相似比时，要进行开方运算：相似比=；面积比=(2)相似多边形中，对应三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比；相似多边形中对应对角线的比等于相似比；相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方说明：除了“周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方”之外，相似多边形还有如下两条重要性质：相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比2、研究相似多边形的性质时遵从将复杂的问题转化为简单的问题的一般方法，即从三角形入手，将多边形问题转化为三角形问题来处理三、典型例题讲解例1、如图所示，D是BC上一点，ABCDBA，E，F分别是AC，AD的中点，且AB=28，BC=36，求BEBF解析：BE，BF分别是ABC，ABD中AC，AD边上的中线，而AC，AD又恰是相似三角形ABC和三角形DBA的一组对应边，因而考虑利用相似三角形对应中线的比等于相似比来解答因为ABCDBA，且BC=36，AB=28，所以相似比又因为BE，BF分别是ABC，ABD中AC，AD边上的中线，点拨：利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质解决问题时，注意把相似三角形的对应元素确定准确例2、如图所示，PNBC，ADBC，交PN于E，交BC于D分析：首先，先说明APN与ABC相似，再根据相似三角形的性质和比例的有关知识结合已知条件，就可求出这三个问题的结论解：(1)因为PNBC，所以可得APNABC又因为相似三角形面积比等于相似比的平方，因为SABC=18cm2，所以SAPN=2cm2小结：两个三角形相似，具有的性质包括：(1)周长比等于相似比；(2)对应高(中线、角平分线)的比等于相似比；(3)面积比等于相似比的平方本题的关键是由相似三角形面积的比等于相似比的平方这一性质建立比例式，列方程求解，体现了数形结合的思想例3、如图，ABC是一块直角三角形余料，C=90，AC=6cm，BC=8cm，现要把它加工成正方形零件，试说明哪种加工方法的利用率较高分析：此题实质上是比较两种图形中正方形的面积的大小，即比较这两个正方形的边长的大小解：(1)如图(1)，设正方形CDEF的边长为x cmEFAC，解之得(2)如图(2)，设正方形DEFG的边长为y cm作CNAB于N，交DG于M由勾股定理得AB=10cm由，得ACBC=ABCNDGAB，CDGCAB(相似三角形对应高的比等于相似比)即解之，得由于所以第(1)种加工方法的利用率较高反思：有关三角形的内接正方形、矩形的问题的解题方法，通常是利用三角形对应高之比等于相似比，当题目中无高时可考虑作适当的垂线段以帮助解题例4、已知如图，在梯形ABCD中，AB=5，CD=2，对角线AC、BD交于点O，求COD、AOD、AOB与BOC的面积比解析：COD与AOB是相似三角形，可利用面积比等于相似比的平方而AOD与COD是等高不同底的三角形，其面积比等于它们底的比解：CDAB，AOBCODSCODSAOB=CD2AB2=425又COOA=CDAB=25，SCODSAOD=25=410DOOB=CDAB=25SCODSBOC=25=410SCODSAODSAOBSBOC=4102510点拨：注意：(1)不是相似三角形的面积比不能用相似比的平方(2)将SCOD:SAOD的比25化为410，目的是与前面的比统一例5、某出版社一位编辑在设计一本书的封面时，想把封面划分为四个矩形，其中左上角矩形与右下角矩形相似(如图所示)，以给人一种和谐的感觉，那么这样的两个矩形是怎样设计出来的呢？分析：如图所示，在封面矩形ABCD中，我们先作出一条横向分割线EF，此时要作出纵向分割线GH，使矩形AEPG与矩形PHCF相似，关键要确定两条分割线的交点P当然，利用相似比可以算出或画出EP来，但是在设计时，两个相似矩形的大小会根据不同需要而改变，每次都计算显然很麻烦，能不能找到更好的方法呢？如果能找到P点位置的规律就更好了现在假设两个相似的矩形已经作出来了，如图所示，连接AP，PC，则(对应边成比例)，AEP=CFP=90(对应角相等)，于是AEPCFP，则有APE=CPF，这样A，P，C三点共线，即P点必在对角线AC上解：如图所示，连接AC，在AC上根据需要取一点P，过P作EFBC，GHAB则矩