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第九章平面解析几何第4课时圆 的 方 程1. 已知一圆的圆心为点(2,3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是_答案:(x2)2(y3)213解析:由题意可知一条直径的两个端点分别为(4,0)和(0,6),则直径长为2,所以所求圆的方程为(x2)2(y3)213.2. 圆心在直线2xy70上的圆c与y轴交于a(0,4)、b(0,2)两点,则圆c的方程为_答案:(x2)2(y3)25解析:圆心既在线段ab的垂直平分线即y3上,又在2xy70上,即圆心坐标为(2,3),r.3. 已知点a是rtabc的直角顶点,且a(a,2),b(4,a),c(a1,1),则abc的外接圆的方程是_答案:(x2)2y25解析:kab,kac1. abac, kabkac(1)1,解得a1. abc的外接圆是以b(4,1),c(0,1)为直径的圆, 所求圆的方程是(x2)2y25.4. 若圆c的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x3y0和x轴都相切,则该圆的标准方程是_答案:(x2)2(y1)21解析:依题意设圆心c(a,1)(a0),由圆c与直线4x3y0相切,得1,解得a2,则圆c的标准方程是(x2)2(y1)21.5. 如果三角形三个顶点分别是o(0,0),a(0,15),b(8,0),则它的内切圆方程为_答案:(x3)2(y3)29解析:因为aob是直角三角形,所以内切圆半径为r3,圆心坐标为(3,3),故内切圆方程为(x3)2(y3)29.6. 已知x、y满足x2y21,则的最小值为_答案:解析:表示圆上的点p(x,y)与点q(1,2)连线的斜率,所以的最小值是直线pq与圆相切时的斜率设直线pq的方程为y2k(x1)即kxy2k0.由1得k,结合图形可知,故最小值为.7. 由直线yx2上的点p向圆c:(x4)2(y2)21引切线pt(t为切点),当pt最小时,点p的坐标是_答案:(0,2)解析:根据切线长、圆的半径和圆心到点p的距离的关系,可知pt,故pt最小时,即pc最小,此时pc垂直于直线yx2,则直线pc的方程为y2(x4),即yx2,联立方程解得点p的坐标为(0,2)8. 在圆x2y22x6y0内,过点e(0,1)的最长弦和最短弦分别为ac和bd,则四边形abcd的面积为_答案:10解析:由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3),半径是,且点e(0,1)位于该圆内,故过点e(0,1)的最短弦长bd22(注:过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点e(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即ac2,且acbd,因此四边形abcd的面积为acbd2210.9. 已知以点p为圆心的圆经过点a(1,0)和b(3,4),线段ab的垂直平分线交圆p于点c和d,且cd4.(1) 求直线cd的方程;(2) 求圆p的方程解:(1) 直线ab的斜率k1,ab的中点坐标为(1,2)则直线cd的方程为y2(x1),即xy30.(2) 设圆心p(a,b),则由p在cd上得ab30.又 直径cd4, pa2, (a1)2b240.由解得或 圆心p(3,6)或p(5,2) 圆p的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.10. 已知圆x2y24上一定点a(2,0),b(1,1)为圆内一点,p、q为圆上的动点(1) 求线段ap中点的轨迹方程;(2) 若pbq90,求线段pq中点的轨迹方程解:(1) 设ap的中点为m(x,y),由中点坐标公式可知,p点坐标为(2x2,2y)因为p点在圆x2y24上,所以(2x2)2(2y)24.故线段ap中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2) 设pq的中点为n(x,y),在rtpbq中,pnbn,设o为坐标原点,连接on,则onpq,所以op2on2pn2on2bn2,所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段pq中点的轨迹方程为x2y2xy10.11. 已知以点c(tr,t0)为圆心的圆与x轴交于o、a两点,与y轴交于o、b两点,其中o为原点(1) 求证:oab的面积为定值;(2) 设直线y2x4与圆c交于点m、n,若omon,求圆c的方程(1) 证明:圆c过原点o,oc2t2.设圆c的方程是(xt)22t2 .令x0,得y10,y2;令y0,得x10,x22t,soaboaob|2t|4,即oab的面积为定值(2) 解:omon,cmcn,oc垂直平分线段是mn.kmn2,koc,直线oc的
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