§3-7 有理函数和三角函数有理式的积分法.doc

1413-7 阅读（有理函数和三角函数有理式的积分法）3-7 阅读(有理函数和三角函数有理式的积分法)在前面几节中，读者都已经遇到过许多有理函数的积分和三角函数有理式的积分.在那里，因为被积函数都很特殊，所以用“拼凑的方法”就求出了它们的积分.这一节讨论的是一般情形下，如何求它们的积分.当你遇到那些简单或特殊的情形时，当然不必用这里的一般方法，而仍用以前那种“拼凑方法”就行了.1.有理函数的积分法 有理函数的积分 其中和都是多项式总可以积出来，即可把它表示成初等函数.积分方法的要点是：第一，若有理函数中，分子的次数不低于分母的次数，则称它为假分式.在这种情形下，就用多项式除法（见下面例27），先把它变成一个多项式与一个真分式之和，即 其中分子的次数低于分母的次数于是，右端第一项是多项式的积分(用分项积分法可以积出来)，所以就变成求有理函数真分式的积分. 关于多项式除法，请看下面的例题.例27 例如求有理函数假分式的积分首先像做整数除法那样，做多项式除法：(余式)(被除式)（除式） （商式）由此可得其次再逐项积分，即这样就变成求(右端最后一个)有理函数真分式的积分.第二，对于真分式，先把分母上的多项式分解成一次因式或没有实根的二次因式的乘积(根据代数基本定理，这是可能的).然后用待定系数法(或拼凑方法)把化成不超出下面这些“最简分式”的和：(和为正整数)(分子比分母上的基因式低一次)这样，根据分项积分法，有理函数真分式的积分就化为最简分式的积分. 我们用例子来说明上述方法.分母为一次重因式的真分式的积分法例28 例如求，可令将右端通分，并比较两端分子，即，则得三元线性方程组， 解得于是得 因此，【注1】上面求待定系数的方法是比较两端的同次项系数，下面是求待定系数的另一个方法：根据，则第一步，让，得；第二步，在两端关于求导数，得. 再令，得；第三步，在两端关于求导数，则得，即.【注2】把真分式化成最简分式之和的另一个方法是依次用多项式除法:, (你看懂了吗?)分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法例如求，可令（和为待定系数）然后根据恒等式，求出待定系数和.于是，例29 求.解 设 (为待定常数)则得，即比较两端常数项和的系数，则得线性方程组 解得 (求的另一个方法见下注).因此，从而得【注】在式中，让，则得，所以；再让，则得，所以.分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法例如注意,分母没有实根，(套用积分公式)(套用前一题的结果).分母为二次重因式的真分式的积分法 例30 例如求积分.若用待定系数法，就令若不用待定系数法，可依次用多项式除法：第一步，；第二步，于是，其中右端第一个积分而第二个积分套积分公式分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法例如，求时，可令然后根据恒等式求出待定系数、和. 于是，(注意没有实根,即)2.三角函数有理式的积分法 所谓“三角函数有理式”，是指由常数和简单三角函数与经过有限次的有理运算(加、减、乘、除)得到的函数，记成.下面介绍的是形如积分的积分法.例如积分，等.实际上，我们在前面几节中曾多次遇到这种类型的积分.这里介绍的是一般方法.你在做题时，还是要具体问题具体分析，未必就一定要用这里介绍的方法（因为一般情形下，这里介绍的方法要麻烦一些）.令(称它为半角替换或万能替换)，则于是，这样，三角函数有理式的积分就变成有理函数的积分.在有些情形下，像前面做过的那样，不必用半角替换，而用其它三角替换会更简单.例如当时，令；当时，令；当时，令.习题1.求下面的原函数：；