教与学 新教案九年级数学下册 28.2.2 仰角、俯角与解直角三角形（第1课时）素材 （新版）新人教版.doc

锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第1课时仰角、俯角与解直角三角形素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入肖颖的教室在教学楼的二楼，一天，她站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在二楼上可以利用解直角三角形测得旗杆的高吗？她望着旗杆顶端和旗杆底部，可以测得视线与水平视线之间的夹角各一个，但是，这两个角怎样命名区别呢？如图28225，cae，dae在测量中各叫什么角呢？图28225说明与建议 说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活，并服务生活，诱发学生对新知识的渴求建议：两个学生一组，一个学生观察物体，另一个学生根据他观察的视线画出示意图，教师选择合适的时机引出仰角和俯角的概念悬念激趣一棵树ac在地面上的影子bc为10米，如图28226，在树影一端b处测得树顶a的仰角为 45，则树高是多少米？如图，若一只小鸟从树顶a看树影bc的顶端b的俯角为 60，则树高是多少米？(精确到1米)图28226说明与建议 说明：通过仰角和俯角进一步说明，观察点的位置不同，得到的数据不同，观察的方向不同，得到的数据也可能不同建议：教师让学生根据上述的两个图形，求出树高，进一步理解俯角和仰角的概念素材二教材母题挖掘教材母题第75页例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)?图28227【模型建立】根据俯角和仰角的意义，把角转化到相应的直角三角形中，通过解直角三角形解决实际问题. 在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构建直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题常构造的基本图形有如下几种：不同地点看同一点，如图28228.同一地点看不同点，如图28228.利用反射构造相似，如图28228.图28228【变式变形】1襄阳中考如图28229，在建筑平台cd的顶部c处，顶部a的仰角为45.底部b的俯角为30.已知平台cd的高度为5 m，则大树的高度为_(5_5)_ m(结果保留根号) 图28229 图282302潍坊中考如图28230，某水平地面上建筑物的高度为ab，在点d和点f处分别竖立高是2米的标杆cd和ef，两标杆相隔52米，并且建筑物ab、标杆cd和ef在同一竖直平面内从标杆cd后退2米到点g处，在g处测得建筑物顶端a和标杆顶端c在同一条直线上；从标杆ef后退4米到点h处，在h处测得建筑物顶端a和标杆顶端e在同一直线上，则建筑物的高是_54_米3自贡中考如图28231，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的a处自点b看塑像头顶d的仰角为45，看塑像底部c的仰角为30，求塑像cd的高度(最后结果精确到0.1米，参考数据：1.7)答案：塑像cd的高度约为1.2米图282314台州中考如图28232，某翼装飞行运动员从离水平地面高ac500 m的点a处出发，沿着俯角为15的方向，直线滑行1600 m到达点d，然后打开降落伞以75的俯角降落到地面上的点b.求他飞行的水平距离(结果精确到1 m)图28232解：如图28233，过点d作deac，作dfbc，垂足分别为e，f.acbc，四边形ecfd是矩形， ecdf.在rtade中，ade15，ad1600，aeadsinade1600sin15，deadcosade1600cos15. ecacae，dfec5001600sin15.在rtdbf中，bfdftanfdbectan15，bccfbf1600cos15(5001600sin15)tan151575(m). 答：运动员飞行的水平距离约为1575 m.图282335绍兴中考九(1)班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量(1)如图28234，第一小组用一根木条cd斜靠在护墙上，使得db与cb的长度相等，如果测量得到cdb38，求护墙与地面的倾斜角的度数；(2)如图，第二小组用皮尺量得ef为16 m(e为护墙的上端点)，ef的中点离地面fb的高度为1.9米，请求出点e离地面fb的高度；(3)如图，第三小组利用第一、二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度在点p测得旗杆顶端a的仰角为45，向前走4米到达点q，测得旗杆顶端a的仰角为60，求旗杆ae的高度(精确到0.1米)备用数据：tan601.732，tan300.577，1.732，1.414.图28234解：(1)dbcb，bdcbcd.cdb38，bdcbcd76.即护墙与地面的倾斜角的度数为76.(2)如图28235，设ef的中点为m，过点m作mnfb，垂足为n，过点e作egbf，垂足为g. egfb，mnfb，egmn.又m是线段ef的中点，n是线段fg的中点，mn是efg的中位线，eg2mn21.93.8(m)即点e离地面fb的高度为3.8 m.图28235(3)如图28235，延长ae交pb于点h.在rtaqh中，由tanaqh，得qh，同理，phah.pq4，ahah4，解得ah9.46 m，aeaheh9.463.85.7(m)故旗杆ae的高度约为5.7 m.素材三考情考向分析命题角度1 利用仰角解决实际问题利用仰角，画出示意图，解直角三角形，直接求塔高树高等例株洲中考孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20(不考虑身高因素)，则此塔的高约为_182_米(结果保留整数，参考数据：sin200.3420，sin700.9397，tan200.3640，tan702.7475)命题角度2 利用俯角解决实际问题根据题意和俯角的位置，构建直角三角形，设出相应的线段，通过解直角三角形构建一次方程，解此方程，回答相应的问题例河南中考如图28236，在中俄“海上联合2014”反潜演习中，我军舰a测得潜艇c的俯角为30，位于军舰a正上方1000米的反潜直升机b测得潜艇c的俯角为68.试根据以上数据求出潜艇c离开海平面的下潜深度(结果保留整数，参考数据：sin680.9，cos680.4，tan682.5，1.7)答案：潜艇c离开海平面的下潜深度约为308米图28236命题角度3 综合俯角、仰角解决实际问题通过仰角和俯角添加辅助线，构建直角三角形，解直角三角形，解决实际问题如本课素材二变式变形第1题素材四图书增值练习当堂检测1. （2013山西）如图，某地修建高速公路，要从b地向c地修一座隧道（b、c在同一水平面上）为了测量b、c两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从c地出发，垂直上升100 m到达a处，在a处观察b地的俯角为30，则b、c两地之间的距离为（ ）a m b m c m d m 2. （2013衢州）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度她站在b处仰望树顶，测得仰角为30，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60，已知小敏同学身高（ab）为1.6 m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1 m， 1.73）a3.5 m b3.6 m c4.3 m d5.1 m3. （2013德阳）如图，热气球的探测器显示，从热气球a看一栋高楼顶部b的仰角为30，看这栋高楼底部c的俯角为60，热气球a与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼bc的高度为（ ）a m b mc m d m4. （2013十堰）如图，在小山的东侧a点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75角的方向飞行，25分钟后到达c处，此时热气球上的人测得小山西侧b点的俯角为30，则小山东西两侧a、b两点间的距离为 米5. 小明在楼顶点a处测得对面大楼楼顶点c处的仰角为60，楼底点d处的俯角为30若两座楼ab与cd相距60米，求楼cd的高度为多少米？参考答案1a2d3d45解：过点a作aecd于e在rtace中，ce=60tan60=(米)，在rtade中，de=60tan30=60=(米)，cd=ce+de=+=(米)素材五数学素养提升直角三角形中七个的“是否”学习了直角三角形后，我们被其有趣而且丰富的知识所感染。其中的“七个”是否，就颇有兴趣。1是否有触礁危险判断货船有无触礁危险的标准为：1）计算出货船向正东方向航行时，小岛c距正东航向的垂直距离；2）比较垂直距离与暗礁半径的大小：当垂直距离暗礁半径时，货船无触礁危险；当垂直距离暗礁半径时，货船有触礁危险；当垂直距离暗礁半径时，货船有触礁危险。例1、如图1，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从a处运往正东方向的m处，在点a处测得某岛c在北偏东的方向上该货船航行分钟后到达b处，此时再测得该岛在北偏东的方向上，已知在c岛周围海里的区域内有暗礁若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由解：过点c作cdam，垂足d，根据题意，得：ab=240.5=12，cab=30，cbd=60，cdb=90，因为，cbd是三角形abc的一个外角，所以，cbd=cab+acb，因为，cab=30，cbd=60，所以，acb=30，所以，acb=cab，所以，ab=bc=12，在直角三角形cbd中，cd=bcsin60=12=6，又因为，=1.5，32.25，所以，1.5，所以，661.569，因为，在c岛周围海里的区域内有暗礁，所以，继续向正东方向航行，该货船无触礁危险。2、是否超速例2、某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h（即m/s）。交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点a，在如图3，所示的坐标系中，点a位于y轴上，测速路段bc在x轴上，点b在点a的北偏西60方向上，点c在点a的北偏东45方向上（1）请在图3中画出表示北偏东45方向的射线ac，并标出点c的位置；（2）点b坐标为 ，点c坐标为 ；（3）一辆汽车从点b行驶到点c所用的时间为15s，请通过计算，判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问中）判断汽车是否超速的标准为：1）计算出笔直的限速公路bc的距离；2）计算出汽车在笔直的限速公路bc的速度；3）比较汽车在笔直的限速公路bc的速度与最高行驶速度的大小：当汽车在笔直的限速公路bc的速度最高行驶速度时，超速；当汽车在笔直的限速公路bc的速度最高行驶速度时，超速；当汽车在笔直的限速公路bc的速度最高行驶速度时，不超速；解：（1）北偏东45方向的射线ac，如图4所示，（2）在直角三角形aob中，oa=100，oab=60，所以，ob=oatan60=100，点b坐标为（-100，0）；又因为，cao=45，coa=90，所以，aco=45，所以，oa=oc=100，所以，点c的坐标为（100，0）；3）由1）、2）知道，从点b到点c的距离为：（100+100）米；并且汽车从点b行驶到点c所用的时间为15s，所以，汽车的速度为：（100+100）1518m/s，而最高速度为：50/317m/s，因为，18m/s17m/s，所以，该汽车在限速公路上超速行驶。3、是否通过汽车恰好能通过的标准是：轴心距所在的直线恰好在点p处相切。例3、如图5，是一个路障的纵截面和汽车越过路障时的底盘示意图，o1，o2分别是车轮的轴心，m是线段o1o2的中点（轴心距的中点），两车轮的半径相等经验告诉人们，只要中点m不被p点托住（俗称托底盘，对汽车很有危害！），线段o1o2上的其它点就不会被p点托住，汽车就可顺利通过否则，就要通过其他方式通过（1）若某种汽车的车轮半径为50cm, 轴心距o1o2为400cm. 通过计算说明,当apb等于多少度时，汽车恰好能通过斜坡？（精确到0.1，参考数据sin14.480.25，cos14.480.97）（2）当apb=120时，通过计算说明要使汽车安全通过，车轮半径与轴心距o1o2的比应符合什么条件？。解：1）如图6，汽车恰好能通过斜坡时，点、m、p、q恰好在一条直线上，连接c，则cpa，所以，在直角三角形pc中，m=200，c=50，所以，sinmc=0.25，又因为，sin14.480.25，所以，mc =14.48，所以，apb=180-14.48-14.48=151.04 151 ；（2）当apb=120时，要使汽车安全通过，则有mc =30，所以，= sin30=，所以，m=2c，所以，o1o2=4c，即=，所以，当apb=120时，要使汽车安全通过，车轮半径与轴心距o1o2的比应至少为1：4。4、是否穿过判断是否穿过文物保护区的标准为：1）计算出c距直线mn的垂直距离；2）比较垂直距离与文物保护区范围的大小：当垂直距离文物保护区范围时，不会穿过文物保护区；当垂直距离文物保护区范围时，穿过文物保护区；当垂直距离文物保护区范围时，恰好穿过文物保护区；例4、2007年5月17日我市荣获“国家卫生城市称号”如图7,在“创卫”过程中，要在东西方向两地之间修建一条道路已知：如图点周围180m范围内为文物保护区，在上点处测得在的北偏东方向上，从向东走500m到达处，测得在的北偏西方向上是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：）:解：如图8,所示,过c作chab于点h，设ch=xm，则，所以，不会穿过保护区。5、是否最近判断轮船继续向东航行多少海里，距离小岛c最近的标准为：1）作出c到直线ab的垂直距离，找到距离小岛最近的点的位置，垂足处；2）求出点b与垂足之间的距离，就是所要求的答案。例5、一艘轮船自西向东航行，在a处测得东偏北21.3方向有一座小岛c，继续向东航行60海里到达b处，测得小岛c此时在轮船的东偏北63.5方向上之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛c最近？（参考数据：sin21.3，tan21.3， sin63.5，tan63.52）解：过c作ab的垂线，交直线ab于点d，得到rtacd与rtbcd设bdx海里，在rtbcd中，tancbd，所以,cdx tan63.5；在rtacd中，adabbd(60x)海里，tana，所以，cd( 60x ) tan21.3；所以，xtan63.5(60x)tan21.3，即，解得，x15。答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛c最近。6、是否最快判断最快的标准为：1）计算出三人各自行驶的路程；2）计算出三人各自行驶的路程所用的时间；3）所时间最少的人，就是最快的。例6、如图11，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的a点处发现海中的b点有人求救，便立即派三名救生员前去营救1号救生员从a点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到c点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑30o米到离b点最近的d点，再跳人海中救生员在岸上跑的速度都是6米秒，在水中游泳的速度都是2米秒若bad=45，bcd=60，三名救生员同时从a点出发，请说明谁先到达营救地点b。(参考数据21.4，31.7)解：在三角形abd中，因为，ad=300，bad=45，bda=90，所以，bd=300