数学建模09年全国二等奖其一.doc

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 北京理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李佳洪 2. 乔 琳 3. 郭 芬 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 李炳照 日期： 2009 年 9 月 11 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：眼科病床的合理安排摘 要本文通过建立不同规则下的病床分配模型解决了某眼科医院病床的合理分配问题。首先，为评价病床安排的优劣，本文提出了一个评价指标体系。在详细地定性分析了跟病人和医院有关的服务费用、等待费用、病床利用率、病床周转率等指标与病人平均等待时间的联系后，将各评价指标归一为易于量化的平均等待时间这一单一指标。应用该指标体系对医院原始FCFS策略进行评价后发现FCFS导致病人等待队列不断增长，于是本文提出了基于非强占式HOL（优先级队头服务）规则和基于时间效用队头服务规则的两项病床安排策略，利用仿真原理分别计算得到分别基于三种策略下的平均等待时间大小，通过三者之间相互比较得到了如下结论：当高优先级人群所占比例在（10%，90%）区间下最优策略为时间效用队头服务规则，高优先级人群所占比例在（0，10%）区间下最优策略为FCFS规则，高优先级人群所占比例在（90%，100%）区间下最优策略为非强占式HOL规则。并利用该规则针对医院经济目标确定了病人的安排方案。倘若住院部周六、周日不安排手术，本文分析了对不同类型病人产生的影响，从保证病人满意度不下降的角度建立了两个调整措施。其次，考虑到病人在门诊挂号时希望知道自己大致入院时间区间，以及病人的住院时间服从负指数分布，本文分别根据上述三种安排策略通过建立住院时间的期望值区间推出了病人入院大致时间区间，为病人查询入院时间提供了方案。以上病床安排方案均从医院或病人自身的利益来考虑，最后，本文从便于管理的角度出发，考虑按比例合理地分配各类病人占用的床位数，建立了以所有病人在系统内平均逗留时间最短为目标函数的整数规划模型，给出了确定病床分配比例的方法。关键词病床分配，评价指标，满意度，时间效用，整数规划一、 问题重述医院是一个复杂的服务系统，患者从挂号、就诊、划价、取药到注射要经历相应的服务部门，当某项服务的现有需求超过提供该项服务的现有能力时，排队现象就会发生。现实生活中，由于患者到达的时间和诊治患者所需时间的随机性，排队几乎是不可避免的。本题考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院的眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张，眼科手术主要有：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。白内障手术较简单且没有急症，医院目前每周一、三进行该手术，此类患者的准备时间只需1、2天。白内障患者中有60%做双眼手术，周一先做一只眼睛，周三再做另一只 。外伤疾病通常属于急症，病床有空位立即安排住院，入院后第二天便进行手术。其他眼科疾病比较复杂，大致住院后2-3内就可以接受手术，这类疾病手术时间一般不安排在周一、周三。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症患者是按照FCFS（First come，First serve）规则安排住院。但当床位不足时，常常出现等待住院患者队列越来越长、患者满意度下降的情况，因此，如何通过数学模型来帮助解决该住院部的病床合理安排问题以提高对医院资源的有效利用便成为了当务之急。以2008年7月13日至2008年9月11这段时间各类患者的情况为参考，我们需要解决以下问题：1. 分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。2. 针对该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院患者数来确定第二天入院患者的安排方案，并利用问题1中评价体系对所建模型作出评价。3. 设计合理方法，根据当时住院患者数及等待住院患者数的统计情况，使患者在门诊时能够查询到其大致入院时间区间。4. 若该住院部周六、周日不安排手术，重新考虑问题2，医院的手术时间安排是否应作出相应调整。5. 从便于管理的角度出发，一般情况下，医院病床安排可采取使各类患者占用病床的比例大致固定的方案，就此方案，建立使得所有患者在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二、 问题分析在医院这一复杂的服务系统中，排队是几乎不可避免的一个现象。该题中眼科病房实行的是FCFS（First come，First serve）住院规则，当床位不足时，会导致患者排队等待时间太长，对患者和医院都会造成一定的影响和损失。因此，如何合理科学地安排病房的床位，最大限度地满足患者的需求，使医院的资源得到有效利用是现代医院管理者必须面对的课题。本题研究的是医院服务系统的一个排队优化问题，对于该类问题，现在被广泛应用的排队策略有两种，一种是先到先服务（First Come,First Service;FCFS）,另一种是优先级队头服务（Head of Line;HOL）。前者即医院先行策略，是按照患者到达的先后顺序依次服务，体现了充分的公平性，适用于单一服务类型、单一服务质量要求的排队系统。后者是一种绝对优先的策略，但是当队列中高优先级的患者比较多的时候，低优先级顾客的平均等待时间会非常大。因此，这两种规则还存在较多不合理因素。针对该医院已有的排队策略FCFS，结合眼科医院病床安排的问题，首先，分别从患者和医院利益的角度出发，考虑服务费用、等待损失费用、病床利用率和病床周转次数，经过具体分析这些指标均可转化为患者的平均等待时间这一指标，这样就使得评价指标体系简化而且容易量化。其次，利用上述评价指标对FCFS规则进行评价后，我们提出了基于HOL策略和时间效用函数优先队头策略的两个评价规则，通过仿真试验，得到三种策略下的评价指标值并进行比较，最终得到最优策略。第三，为使患者能在门诊时查询入院时间区间，由于患者住院时间服从负指数分布，我们通过确定住院时间的期望区间，得到出院人数区间，进而由出院人数确定下患者的入院时间区间。第四，对周六、周日医院不安排手术的情况，为提高床位利用率，需要调整住院方案，根据调整后的住院方案确定第二天安排的入院人数 。前面若干问题基本都是从医院或患者的利益出发考虑病床的分配，最后从便于管理的角度，我们要求满足所有患者平均逗留时间最少的病床分配比例，这是一个典型的整数规划问题，目标函数即为所有患者平均逗留时间最少，约束条件为一周内对某一类患者提供的最大病床数和一天中出院人数，得到了分配病床比例的整数最优化模型。三、 模型假设1. 患者到达门诊数符合泊松分布、看病时间符合负指数分布。2. 患者住院时间服从负指数分布。3. 由于通过统计各种病情平均住院时间均超过7天，则该医院为患者分配病床是以一个星期为周期分配的，在这个星期内不考虑住院并出院的情况。4. 对于前三问和第五问，不考虑手术医生效率对平均等待时间的影响。5. 不考虑除题目中所给疾病外其它疾病造成的床位影响。6. 所用数据真实有效。四、 符号说明 平均到达间隔； 顾客的效益（满意度）； 最大插队位数； 单个顾客在系统内的平均逗留时间； 第天的出院人数； 一周内分给第类患者的病床数； 第类疾病周住院的患者数.五、 模型建立与求解5.1 模型准备与数据处理5.1.1 本题服务系统描述以医院眼科病房为研究对象，它具有如下特征：输入过程：患者到达门诊的过程是相互独立的，相继到达的时间间隔是随机的；一定时间的到达服从Poisson分布。排队规则：先到先服务，且为等待制，即患者到达时若所有病床都没有空闲，他们就要排队等待。服务时间：患者住院时间是相互独立的，服从参数为的负指数分布。服务窗口：多服务台，即张病床并联排列，各服务台（即病床）独立工作。该眼科病房服务系统为M/M/S模型1系统，M/M/S模型即泊松输入、负指数分布服务、S个服务台、系统容量不受限制、顾客源无限的等待排队制模型。其过程如下图所示：图1 M/M/S 模型过程图在该排队模型中存在几个常用数量指标符号：单位时间内平均到达的顾客数，即平均到达速率；单位时间内受到服务的顾客平均数，即平均服务率；每位顾客的平均服务时间；服务台个数；每个服务台的服务强度（利用率），表示每个服务台在单位时间内的平均负荷；在统计平衡时，系统中具有个顾客的概率；其中，在的条件下，系统队长的稳态概率为： (公式1)为该系统的空闲系数。对于的系统，可知对一切成立，这表示如果将这一系统维持一段很长的时间，系统中的顾客队伍就会无限长。5.1.2 人流量分布规律根据附录中给出的第一部分数据进行统计，通过分布拟合的检验可得结论如下：分别统计四种疾病（白内障、青光眼、视网膜疾病、外伤）患者每天就诊人数、入院时间可知服从独立同分布泊松分布。分别统计四种疾病（白内障、青光眼、视网膜疾病、外伤）患者住院时间可知服从负指数分布。图 2 住院时间泊松分布检验5.1.3 优先权的分配结合HOL策略，我们需要对五种疾病赋予不同的优先权：白内障（双眼）患者，白内障（单眼）患者，青光眼患者、视网膜疾病患者和外伤患者。我们以平 均住院时间来衡量五种疾病的优先权，由于平均住院时间短的疾病，它对应的每一个患者占用医院病床资源少，平均住院时间短的疾病能够使病床的周转次数增大，提高病床的使用率。所以将平均住院时间短的疾病分配以较高的优先权。下表是五种疾病的平均住院时间。对应得到了优先权排序为白内障（单眼）外伤白内障（双眼）青光眼视网膜疾病。表1 各类型眼科病平均住院时间类型白内障(单眼)白内障（双眼）青光眼视网膜疾病外伤平均住院时间5.23618.475610.256412.47527.38185.2 问题1，病床安排的评价指标体系的建立本问将通过定性分析确定合理的指标评价体系，用以评价病床安排模型的优劣。以排队系统中的主要数量指标为参考，分别从患者和医院角度讨论指标体系的确定。5.2.1 患者角度的指标体系分析从患者角度考虑，主要的指标有：服务费用、等待损失费用1等。医院的服务费用即患者在医院接受治疗期间收取的费用（例如床位费）。对于某一个确定的患者，其患病情况已知，则该患者住院时间和费用都已确定，不会再随病床安排模型的变化而变化。 患者的等待损失费即患者从挂号到入院期间因等待而造成的损失。对于某一确定患者，其等待损失费为等待一个单位时间的费用与等待队长的期望值乘积。等待一个单位时间损失的费用为定值（比如可以用患者平均一天的工资来衡量），则患者的等待损失费与平均等待时间成正比，即患者的等待损失费可用平均等待时间来衡量。顾客的满意度可以通过顾客在服务系统花费的总费用来计算，即包含服务费用和患者的等待损失费，由于该费用可归为只与患者平均等待时间有关，因此通过平均等待时间的大小便可反映出患者满意度大小。5.2.2 医院角度的指标体系分析从医院利益的角度考虑，主要指标有：病床的利用率，病床的周转次数等。病床的利用率即一定时期内使用的病床数与开放的总病床数的比值，记为。病床的利用率越高，医院获得的服务费用就相应地越高，适当增加病床的利用率可为医院增加经济效益。病床的周转次数即一定时间内平均每张病床收治的患者数，记为。病床的周转次数越大，说明患者平均住院天数越小2，使得等待队列中患者入院的概率增大，这就为医院增加收入。现讨论病床的利用率与周转次数跟平均等待时间的关系：假定到达率为的患者流来到具有张病床的服务系统。当一个患者来到时，如果有一个以上的病床空闲，则患者就被随机地指派给任何一个有空的病床进行服务；若所有服务台均在服务，则患者排成一个队伍等待服务。患者服务时间与患者到达间隔时间相互独立，分别遵从参数为负指数分布。根据Markov生灭过程3,4的思想，当，对充分小的，有 （公式2）换言之，在时间内来一个患者的概率为；在时间内一个服务台（病床）服务完一个患者的概率为。由于与成反比（对于固定的），当降低时，会升高，即时间内一张病床服务完一个患者的概率增大，这样就使得等待队列中患者住院的概率加大，队列的长度减小，相应地，患者的平均等待时间降低，因此，病床利用率可以通过患者的平均等待时间来衡量。同理，病床的周转次数越大，说明患者平均住院天数越小，则等待队列中患者入院的可能性越大，队列长度减小，患者平均等待时间减小。综上所述，不论是患者角度考虑的指标还是医院角度考虑的指标，归根结底都可以用患者的平均等待天数来衡量，并且，平均等待天数越小，患者利益越大，医院利益也越大。因此，我们选择患者的等待天数作为评价病床安排方案优劣性的指标体系，该指标最大的优点就是易于量化，可以通过数据明显地比较出各种安排方案的优劣。6.3 问题2，病床安排模型的建立与仿真试验评价当前该住院部对全体非急症患者是按照FCFS（First come, First serve）规则建立病床安排模型进行安排患者住院，但存在等待住院患者队列越来越长，等待住院时间也越来越长的现象。针对这一现象，我们分析了该现象产生的内在机理。根据5.1模型准备和数据处理中分析的结果可知，按照FCFS（First come, First serve）规则建立病床安排模型是M/M/S模型。通过数据代入可估计出和的值，并计算得出病床使用率，根据排队论知识可知，对于的系统，知对一切值成立，这表明系统若维持一段时间后，等候队列长度将趋近于无穷大。该住院部对全体非急症患者若应用FCFS原则后，肯定会造成等待患者队列越来越长的情况。5.3.1 不同策略下病床安排模型的建立针对上述问题，我们分别建立了基于HOL策略和时间效应的优先级排队策略的两个模型，以使等待队列长度尽量减小。由于HOL策略和FCFS策略均为常用的策略，在这里就不作介绍。下面简要介绍基于时间效用优先级排队策略5的病床安排模型。为研究方便，针对时间效用问题作如下假设：患者在达到候诊队列后，一直等到接受完服务后才离开。候诊队列存在一个最大的长度，也就是最多可容纳人数，如果队列已满，新到患者不会等待便离开，这时，排在队尾的人离开或者继续等待其效用都是0。该假设是保证顾客效应值在有限时间变化内能够收敛。患者在不插队和不被插队的情况下按顺序等待接受服务，时间效用曲线为一直线。在排队系统中顾客优先级的体现是通过插队来体现。并且插队现象只发生在高优先级顾客（即本题中的急症患者）刚进入排队系统时，被插队发生在已经在队列中的低优先级顾客身上。设为排队系统最大队长，根据上述第二个假设，此时。无插队发生时，此时的效用值线性增加，被视为顾客排队等候应得的利益，无效用的损失与额外收益。 （公式3）其中为患者在等候入院队列中的位置。对的线性部分取次方得到： （公式4）其中是患者插队后在等候入院队列中的位置。对的线性部分取次方得到： （公式5）其中，是顾客被插队后在等候入院队列中的位置。称为患者对突然的受益或损失的敏感度系数。从插队和被插队的角度讲，FCFS（First come，First serve）是没有插队的策略，HOL(Head of Line)是高优先顾客无条件插队的策略。本文中，高优先级顾客插多少位是合理的才是我们要解决的问题。我们要求插队后等待入院队列整体效用不降低，即使得： (公式6)其中表示插队给排队系统带来的总效用的增加量，表示插队给排队系统带来的总效用的减少量。通过该约束条件可以解得敏感系数及最大插队量，用顾客在系统中的效益描述顾客的满意度。1. 按照FCFS策略进行病床安排若按FCFS策略，则这5种类型患者是有同样概率被安排住院，因此此时医院安排的任意类型患者的人数只跟该类型患者到达人数占到达总人数的比例有关。也就是说，已知当天可利用病床数为M，则医院对于第i类患者安排的病床数期望满足。此时病床安排模型相当于席位安排模型。要保证公平性，则仿照席位安排模型的相关做法，利用Q值法，建立第i类患者的Q值，然后比较5类患者的Q值，把病床位分给Q值最大的一方，然后再重新比较Q值，再次把病床位分给此时Q值最大的一方，以此类推，直到把病床位分配完为止。2. 按照HOL策略进行病床安排若按照HOL策略，则此时分配病床要先给优先权最大的患者，分配完之后，若无剩余，则停止分配，若病床数还有剩余，再分给优先权次大的患者，以此类推，直到病床数无剩余或等待患者人数为0为止。3. 按照时间效应的优先级排队策略进行病床安排若按照时间效应的优先级排队策略，则首先要针对不同低优先级队长情况下对高优先级患者最大插队位数进行计算。它的原理是让患者总体满意度不下降，而尽量降低高优先级患者等待时间。如下表格所示，不同队长情况下高优先级患者最大插队位数已经给出，我们只需给出各低优先级患者队长即可。设患者到达总人数为X，则第i类患者队长。针对如下表格对高优先级患者进行插队，插队后位置为。则位于以前的低优先级患者可认为与高优先级患者的优先级相同，也就是说此时（-1）个低优先级患者与（）个高优先级患者按FCFS策略进行排序，仿照席位分配模型即可作出。表2 不同队长的最大插队位数队长181716151312985421最大插队位数765432105.3.2存在不允许分配情况的床位分配考虑考虑到白内障患者只能在周一和周三做手术，有一定的周期性。一个合理的病房配置方案必须要考虑到这一特点，例如一个合理的配置方案可以将白内障（双眼）患者在星期六住院，其他时间住院只会让白内障（双眼）患者无故增加住院时间，使得病床的周转次数下降，因此我们基于最短等待时间的考虑，认为白内障但双眼患者在某一段时间内不分配床位。白内障病这只能在周一、周三做手术，这个特点是一个星期为周期表现的。所以这里以一个星期为一个周期，讨论不同类型患者在一个星期内的安排住院人数。根据各种病手术进行时间和手术准备时间的特点分析如下：白内障双眼患者手术时间安排在星期一和星期三，则住院时间只能安排在星期六和星期日，白内障单眼患者手术时间安排在星期一或星期三，则住院时间只能安排在星期一、二、六、日。据此构造出如下安排患者住院的表格。表3 一星期内各类型病床位分配情况类型星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日白内障（双眼）白内障（单眼）青光眼视网膜疾病外伤出院人数其中表格中的数据表示了不同类型患者在每周住院的安排情况，例如表示在周一安排青光眼住院的人数。因为白内障（双眼）患者在周一、周三做手术，手术要准备一、二天。所以白内障（双眼）患者应当在星期六、星期日安排住院，其他时间安排住院是浪费病房资源，而且占用了病床，减少了其他患者可使用的病床数目，会让他后面的患者等待时间变长，患者平均等待时间会增大。所以不考虑在星期一至星期五给白内障（双眼）患者安排住院。这样，让患者从住院到手术的时间刚好等于手术准备期时住院，对整个医院来说，缩短了每个患者使用病床的时间，提高了病床周转次数和使用率。5.3.3 模型求解拟出院人数的确定：由于该题提供了三种类型的数据，第一类型为住院并出院，第二类型为住院并接受手术但未出院，第三类型为尚未住院。对于第一类型数据，可以很直观的统计出每天的出院人数，而对于第二类型数据，就需要建模分析出院患者数。下面分析对于第二类数据来说出院患者数的求解。因为对于患有一种已知类型的患者，它接受手术时间到出院时间之间的时间间隔t满足一个特定的统计分布，该统计分布仅与该患者所患病的情况以及医院的手术情况有关。若假设不考虑各个患者自身体质的差异，而且医院对任意患者的进行手术的手术效果相同，则对于同一类型患者来说，此时理想状态下时间间隔t就可认为都是定值T。理想值T可用原统计分布下期望近似估计。于是我统计本题中给出的数据可计算出时间间隔t的期望值的估计值 。这样T就可用来估计。这样我们就可以通过统计第i类患者进行手术的人数计算得出出院患者数。具体做法如下，设第i类患者接受手术时间到出院时间之间的时间间隔期望的估计值已通过计算得出，为。则第i类患者在第t天出院人数与接受手术人数之间关系为。即第天出院人数就是第天接受手术人数。根据这种关系，则第t天总出院人数计算公式如下：根据上述思想，就可以对数据中第二部分数据（患者已住院并进行手术但未出院）确定各自出院时间，然后可再统计出第t天内总出院人数。把第一类数据和第二类数据中统计的第t天内总出院人数相加，即可作为已知的第t天内拟出院患者数。安排人数的确定：由于前面提到基于最短等待时间的考虑，白内障单、双眼患者一段时间内不允许分配病床，因此，我们分别选取2008-9-1号星期一，2008-9-4号星期四、2008-9-6号星期六不同时间点分析安排人数的情况。这三个时间分别对应3种情况，其中星期六所有患者均允许住院，星期一白内障双眼患者不允许住院，星期四白内障单双眼患者都不允许住院。星期一患者安排住院模型：首先从第一类和第二类数据中算出2008-9-1号出院病人数为6人。患病类型从1-5分别为白内障单眼、白内障双眼、青光眼、视网膜疾病以及外伤。然后已知各个类型病人该天到达人数为1、3、1、5、0，总共10人，由于（1+1+5）6，需要利用不同准则进行安排。各个类型病人该天到达人数期望为1.64、2.18、1.03、2.78、1.04。由于星期一不安排白内障双眼的住院人数，因此安排模型中白内障双眼的当日住院人数为0。外伤先入队。按照FCFS规则，则由席位分配法则分配方案对应患者患病类型从1-5为1、0、1、4、0人。按照HOL规则，则由席位分配法则分配方案对应患者患病类型从1-5为1、0、1、4、0人。按照时间效应的优先级排队规则，则分配方案对应患者患病类型从1-5为1、0、0、5、0人。星期三患者安排模型：首先从第一类和第二类数据中算出2008-9-4号出院病人数为9人。患病类型从1-5分别为白内障单眼、白内障双眼、青光眼、视网膜疾病以及外伤。由于星期三不安排白内障单眼、白内障双眼的住院人数，因此安排模型中白内障单双眼的当日住院人数为0。然后已知各个类型病人该天到达人数为1、3、4、5、0，总共13人，由于（4+5）=9，不同准则安排结果一样。各个类型病人该天到达人数期望为1.64、2.18、1.03、2.78、1.04。外伤先入队。按照FCFS规则，则由席位分配法则分配方案对应患者患病类型从1-5为0、0、4、5、0人。按照HOL规则，则由席位分配法则分配方案对应患者患病类型从1-5为0、0、4、5、0人。按照时间效应的优先级排队规则，则分配方案对应患者患病类型从1-5为0、0、4、5、0人。星期六患者安排模型：首先从第一类和第二类数据中算出2008-9-6号出院病人数为17人。患病类型从1-5分别为白内障单眼、白内障双眼、青光眼、视网膜疾病以及外伤。星期六对安排无限制。然后已知各个类型病人该天到达人数为0、2、1、1、0，总共4人，由于4时间效用HOL，低优先级患者平均等待时间是HOL时间效用FCFS.对于FCFS它的平均等待时间高的优先级的用户一样，不随高优先级患者比例变化而变化。对于HOL，随着高优先级患者的比例增加，高优先级和低优先级患者的平均等待时间都增加了，且增长速度很快，同时会使患者满意度迅速下降，所以在高比例的高优先级的患者的情况下，不宜采用HOL策略决定住院人选。对于时间效用模型随着高优先级患者的比例增加，高优先级和低优先级患者的平均等待时间都增加了，但是增加速度比HOL慢，患者满意都下降缓慢，所以当高优先级的患者比例很大时采用时间效用模型。具体而言，在（10%，90%）区间下最优策略为时间效用规则，高优先级人群所占比例在（0，10%）区间下最优策略为FCFS规则，高优先级人群所占比例在（90%，100%）区间下最优策略为非强占式HOL规则。在本题中，高优先级比例比较高，适合采用时间效用模型。5.4 问题3，等待入院患者入院时间区间的查询问题2建立了一种病床的合理安排模型，本问从等待入院患者的心理需求出发，提出了一种查询入院时间区间的方法，即根据当时住院患者及等待住院患者的统计数据情况，在门诊时即可知道自己大致入院时间区间。5.4.1 各类患者住院时间期望区间的判断本问仍将患者分为：白内障（双眼）患者，：白内障（单眼）患者，：青光眼患者，：视网膜疾病患者，：外伤患者五大类。由于各类疾病患者的住院时间服从参数为（）的负指数分布，我们假设各类疾病患者的住院时间是一定值，均采用期望来估计，即，（）。以视网膜疾病为例，统计住院时间和其相应的频数，并计算相应的频率，得到以下频率分布表如下：表4 视网膜频率分布表住院时间789101112频数227111314频率0.01980.01980.06930.10890.12870.1386住院时间131415161718频数18128932频率0.17820.11880.07920.08910.02970.0198对于视网膜疾病，由最大似然估计得到它的住院时间的期望。得到。根据大数定律，在统计量很大的情况下可以将频率近似为概率，我们绘制得到其概率分布直方图如下：图3 视网膜疾病住院时间频率分布图由上图可以看出，视网膜疾病住院时间近似地满足负指数分布。为了求得某天医院视网膜疾病患者出院人数的区间，这里采用前面拟出出院人数的方法，通过向前视网膜疾病住院时间天的入院人数得到了该天视网膜疾病患者出院人数。这里将各类病对应的负指数分布的95%的置信区间作为该类并的住院时间区间，利用以上方法得到的各类住院时间的区间如下表：表5 各类型病的住院时间区间病种类白内障（双眼）白内障（单眼）青光眼视网膜疾病外伤住院时间区间（3，8）（6，12）(7,14)(9,17)(5,17)5.4.2 入院时间区间查询分析假设查询A患者的入院时间区间，A的入院时间的时间区间主要受两方面因素影响：一是患者住院时间，二是队列（由患者的门诊先后顺序形成的队列）中A后面高优先级患者人数。患者住院时间的长短是通过影响出院人数，影响医院可提供的病床数来影响患者的入院时间。因为队列中高优先级患者人数可以插在A之前住院，所以患者入院时间将会受到队列中A后高优先级患者人数的影响，插在A患者之前的患者越多，A入院时间越晚。由于不可能获得队列中A后高优先级患者的人数，这里考虑比较短的一段时间内入院时间的查询分析，在比较短的一段时间，存在高优先级患者插入已经能够形成好的队列中概率比较低，所以这里我们通过统计分析患者住院时间的区间来获得每天医院出院人数的区间，来进行患者入院时间的查询分析。本文针对前面提到的FCFS、HOL策略和我们自己建立的模型，分别进行了入院时间区间的查询分析。我们通过在visual C+的环境下，分析A前面已经在等待入院患者的信息和已经住院并已经做完手术的即将出院的人的信息得到A的入院时间区间。相比与FCFS、HOL策略规则，我们建立的模型算法稍微复杂点，其算法流程可见图（4）（程序见附件）。程序通过求每一天最少入院人数和最大入院人数得到，所求区间的上限和下限，因为如果每一天都取最少入院人数住院，那么三种策略下A入院时间都对应着入院时间的最大值，同时如果每一天都取最大入院人数住院，那么三种策略下A入院的时间都对应着A可能入院时间的最小值。图 4流程图以下表格中列了几组程序求解出来的解。从表中可以看出：对于外伤这类 急症，三种模型下都对应着相同的入院时间区间,即第二天立即入院。对于其他的如白内障（双眼）、视网膜疾病和青光眼，在我们的模型下进行住院安排得出来的入院时间区间比其他两种策略好。表6 某些患者入院时间区间门诊时间类型FCFSHOL我们的模型2008-9-5白内障（双眼）（11，22）（10，20）（12，17）2008-9-5视网膜疾病（15，23）（16，24）（11，20）2008-9-4青光眼（13，20）（14，22）（12，19）2008-9-11外伤（1，1）（1，1）（1，1）5.5 问题4，对问题2的再考虑本问考虑若住院部周六、日不安排手术，问题2中手术时间安排的调整问题。5.5.1 模型分析从定性的角度分析，由于白内障单双眼患者只在周一和周三接受手术，因此周六周日不安排手术这个限制条件不对这两类患者造成影响。又由于对于外伤患者而言，他当天住院，第二天就需要接受手术，因此当外伤患者周五周六来看病时，即使安排住院也不能及时进行手术。因此对于这部分外伤患者而言，医院只能采取安排转院措施，不为他们提供服务。对于非紧急患者而言，由于手术前的准备时间只有两三天，倘若住院部周六、周日不安排手术，就势必导致原本可以安排在周六或周日的手术推迟到周一甚至周二，无形之中就多占用了两天病床位，使得排队的病人等待时间增加，满意度降低。因此，为保证这部分病人的满意度不变，必须调整手术时间安排。调整措施有：多排手术医生在周一和周三，使这部分非紧急患者可以在周一、周三接受手术。原来由于手术医生的限制，在周一、周三原则上不安排除白内障以外的其他手术。但现在为了弥补由于周六、周日不安排手术导致的满意度下降，就需要使这部分患者的手术时间在周一和周三都可以安排。虽然这部分患者手术时间减少了周六、周日两天，但我通过这个措施又增加了周一、周三两天，满意度可认为保持不变。增大周一到周五可提供手术量，争取缩短该类患者从住院到手术所花费的时间。原先由于手术医生的限制，某个顾客等待手术准备时间很长，但实际准备时间很短。这是因为虽然手术条件满足了，但由于手术医生缺乏，手术依然无法进行。因此，可以通过增大手术医生每天工作效率来提高周一到周五可提供手术量，从而降低由于手术医生限制而额外增加的住院时间，当住院时间减少，由前几问分析结果可知，此时患者平均等待时间会减少，患者的满意度提高。5.6 问题5，患者平均逗留时间最短的病床比例分配模型本问是一个典型的整数规划问题，将解决假设各类患者占用病床比例大致固定的情况下，解决患者在系统内平均逗留时间最短的病床比例分配问题。模型假设1：由于通过统计各种病情平均住院时间均超过7天，则该医院为患者分配病床是以一个星期为周期分配的，在这个星期内不考虑住院并出院的情况。模型假设2：在一个周期内，各种病安排的总住院人数成比例，并且比例就是医院所确定的固定比例，这样各种病情的比例就固定下来了，不会因为住院人数新增而导致比例发生变化。模型假设3：在一个周期内，若各种病安排的病床数比例固定，则可以认为此时系统达到稳态，平均等待时间达到稳定值。5.6.1 目标函数的确定本题题目中明确给出了模型的目标,即所有患者在系统内平均逗留时间最短。首先考虑一个患者在系统内平均逗留时间。患者从到达门诊时刻起，到他出院为止这段时间为逗留时间，即等待时间加住院时间。平均逗留时间=平均等待时间+每位患者的平均住院时间，由模型假设（3）可知，此时系统已经达到稳态，因此即可用稳态值表示