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卷六一 填空题（每小题4分，共40分。请将答案写在答题纸上）1已知， 则的系数为 。2设A为四阶方阵，且。若将A按列分块为，则 。3设， 。4设，是中元素的代数余子式，则 。5设都是n阶方阵，且，则 。6设矩阵，则 。7已知向量组的秩为2，则 。8设线性方程组有惟一解，则应满足的条件为 。9设4阶矩阵B与A相似，且A的特征值为，则 。10设矩阵的秩，则 。二（10分）已知，问a为何值时，可由向量组唯一地线性表出，并写出该表出式。三（10分）设矩阵满足关系式，其中，E为3阶单位矩阵，为A的伴随矩阵，求矩阵B。四（10分）已知三阶矩阵A的特征值为，且，求B的矩阵多项式的行列式。五（12分）问当取何值时，线性方程组有惟一解、无解、无穷多解、并在方程组有无穷多解时求出其通解。六（10分）已知实对称矩阵，求一个正交矩阵P，使为对角矩阵。七、（8分）设，其中E是n阶单位方阵，是n维非零列向量，证明（1）的充分必要条件是；（2）当时，A是不可逆矩阵。参考答案一 填空题（每小题4分，共40分。请将答案写在答题纸上）1已知， 则的系数为 。2设A为四阶方阵，且。若将A按列分块为，则 。3设， 。4设，是中元素的代数余子式，则 0。5设都是n阶方阵，且，则 。6设矩阵，则 。7已知向量组的秩为2，则 3 。8设线性方程组有惟一解，则应满足的条件为。9设4阶矩阵B与A相似，且A的特征值为，则 。10设矩阵的秩，则 。二（10分）已知，问a为何值时，可由向量组唯一地线性表出，并写出该表出式。解 当即时，可由向量组惟一地线性表出。这时有 于是 三（10分）设矩阵满足关系式，其中，E为3阶单位矩阵，为A的伴随矩阵，求矩阵B。解 由，及。可得。 又由，推知。 而故 四（10分）已知三阶矩阵A的特征值为，且，求B的矩阵多项式的行列式。解 B的特征值为 由于，有，故的特征值为： 故 五（12分）问当取何值时，线性方程组有惟一解、无解、无穷多解、并在方程组有无穷多解时求出其通解。解 方程组的系数行列式为： 当且时， 由克拉默法则知方程组有惟一解； 当时，方程组的增广矩阵为，因为，所以方程组无解；当时，方程组的增广矩阵为，因为，所以方程组为无穷多解，其同解方程组为，通解为为任意常数。六（10分）已知实对称矩阵，求一个正交矩阵P，使为对角矩阵。解 矩阵A特征值为：当时，由解得特征向量为；当时，由解得特征向量为。将正交化得：；， 再将单位化得，令，则P是正交矩阵，且满足七、（8分）设，其中E是n阶单位方阵，是n维非零列向量，证明（1）的充分必要条件是；（2）当时，A是不可逆矩阵。 证明 （1）由于因此，若，则，即，反之，若，
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