八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题课件 （新版）新人教版.ppt

第十三章轴对称 13 4课题学习最短路径问题 1 课堂讲解 运用 垂线段最短 解决最短路径问题运用 两点之间线段最短 解决最短路径问题 2 课时流程 逐点导讲练 课堂小结 作业提升 如图 要在燃气管道l上修建一个泵站 分别向a b两镇供气 泵站修在管道的什么地方 可使所用的输气管线最短 你能解答这个问题吗 知1 导 1 知识点 运用 垂线段最短 解决最短路径问题 例1 体育课上 老师测量小明跳远成绩的依据是 a 过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条b 两点之间 线段最短c 垂线段最短d 两点确定一条直线 c 知1 练 如图 l为河岸 视为直线 要想开一条沟将河里的水从a处引到田地里去 则应从河边l的何处开口才能使水沟最短 找出开口处的位置并说明理由 1 来自 典中点 知2 导 2 知识点 运用 两点之间线段最短 解决最短路径问题 如图13 4 1 牧马人从a地出发 到一条笔直的河边饮马 然后到b地 牧马人到河边的什么地方饮马 可使所走的路径最短 问题 一 知2 导 如果把河边l近似地看成一条直线 图13 4 2 c为直线l上的一个动点 那么 上面的问题可以转化为 当点c在l的什么位置时 ac与cb的和最小 由这个问题 我们可以联想到下面的问题 知2 导 如图13 4 3 点a b分别是直线l异侧的两个点 如何在l上找到一个点 使得这个点到点a 点b的距离的和最短 利用已经学过的知识 可以很容易地解决上面的问题 即 连接ab 与直线l相交于一点 根据 两点之间 线段最短 可知这个交点即为所求 图13 4 3 知2 导 现在 要解决的问题是 点a b分别是直线l同侧的两个点 如何在l上找到一个点 使得这个点到点a 点b的距离的和最短 如果我们能把点b移到l的另一侧b 处 同时对直线l上的任一点c 都保持cb与cb 的长度相等 就可以把问题转化为 图13 4 3 的情况 从而使新问题得到解决 你能利用轴对称的有关知识 找到符合条件的点b 吗 知2 导 如图13 4 4 作出点b关于l的对称点b 利用轴对称的性质 可以得到cb cb 这样 问题就转化为 当点c在l的什么位置时 ac与cb 的和最小 知2 导 如图13 4 5 在连接a b 两点的线中 线段ab 最短 因此 线段ab 与直线l的交点c的位置即为所求 为了证明点c的位置即为所求 我们不妨在直线上另外任取一点c 图13 4 5 连接ac bc b c 证明ac cb ac c b 你能完成这个证明吗 1 如图13 4 1 点a b分别是直线l异侧的两个点 连接ab 与直线l相交于点p 根据 两点之间 线段最短 可知点p为直线l上到点a 点b的距离之和最短的点 图13 4 1 知2 导 2 如图13 4 2 点a b是直线l同侧的两个点 作点a关于直线l的对称点a 连接a b交l于点p 则pa pb pa pb a b 由 两点之间 线段最短 可知 点p为直线l上到点a 点b的距离之和最短的点 图13 4 2 知2 导 3 在解决最短路径问题时 我们通常利用轴对称 平移等变换把问题转化为容易解决的问题 从而作出最短路径 知2 导 某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路 分支点为m 同时向新落成的a b两个居民小区送电 1 如果居民小区a b在主干线l的两旁 如图13 4 3 那么分支点m在什么地方时总线路最短 知2 讲 例2 图13 4 3 来自 点拨 知2 讲 2 如果居民小区a b在主干线l的同旁 如图13 4 4 那么分支点m在什么地方时总线路最短 图13 4 4 来自 点拨 1 连接ab 与l的交点即为所求分支点m 2 作点b关于l的对称点b1 连接ab1交l于点m 点m即为分支点 导引 1 如图13 4 3 连接ab 与l的交点即为所求分支点m 2 如图13 4 4 作点b关于l的对称点b1 连接ab1交l于点m 点m即为所求分支点 知2 讲 解 来自 点拨 图13 4 3 图13 4 4 解决 一线 两点 型最短路径问题的方法 当两点在直线异侧时 连接两点 与直线的交点即为所求作的点 当两点在直线同侧时 作其中某一点关于直线的对称点 对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点 知2 讲 知2 练 如图 a处是一名游泳者的位置 他要先游到岸边l上的点p处喝水 再游到b处 但要使游泳的路程最短 试在图中画出点p的位置 1 来自 点拨 知2 练 来自 典中点 2015 黔南州 如图 直线l外不重合的两点a b 在直线l上求作一点c 使得ac bc的长度最短 作法为 作点b关于直线l的对称点b 连接ab 与直线l相交于点c 则点c为所求作的点 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是 a 转化思想b 三角形的两边之和大于第三边c 两点之间 线段最短d 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 2 知2 练 来自 典中点 如图 直线l表示一条河 p q两地相距10km p q两地到l的距离分别为2km 8km 欲在l上的某点m处修建一个水泵站 向p q两地供水 现有如下四种铺设方案 图中实线表示铺设的管道 则铺设的管道最短的是 3 知2 练 来自 典中点 如图 在平面直角坐标系中 点a 2 4 b 4 2 在x轴上取一点p 使点p到点a和点b的距离之和最小 则点p的坐标是 a 2 0 b 4 0 c 2 0 d 0 0 4 知2 讲 造桥选址问题 如图13 4 6 a和b两地在一条河的两岸 现要在河上造一座桥mn 桥造在何处可使从a到b的路径amnb最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 问题 二 我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b 图13 4 7 n为直线b上的一个动点 mn垂直于直线b 交直线a于点m 这样 上面的问题可以转化为下面的问题 当点n在直线b的什么位置时 am mn nb最小 知2 讲 知2 讲 由于河岸宽度是固定的 因此当am nb最小时 am mn nb最小 这样 问题就进一步转化为 当点n在直线b的什么位置时 am nb最小 能否通过图形的变化 轴对称 平移等 把 图13 4 7 的情况转化为 图13 4 3 的情况 如图13 4 8 将am沿与河岸垂直的方向平移 点m移动到点n 点a移动到点a 则aa mn am nb a n nb 这样 问题就转化为 当点n在直线b的什么位置时 a n nb最小 知2 讲 如图13 4 9 在连接a b两点的线中 线段a b最短 因此线段a b与直线b的交点n的位置即为所求 即在点n处造桥mn 所得路径amnb是最短的 知2 讲 为了证明点n的位置即为所求 我们不妨在直线b上另外任意取一点n 过点n 作n m a 垂足为m 连接am a n n b 证明am mn nb am m n n b 你能完成这个证明吗 在解决最短路径问题时 我们通常利用轴对称 平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题 从而作出最短路径的选择 如图13 4 5 牧马营地在点p处 每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草 再到河边b饮水 最后回到营地 请你设计一条放牧路线 使其所走的总路程最短 知2 讲 例3 来自 点拨 图13 4 5 要使其所走的总路程最短 可联想到 两点之间 线段最短 因此需将三条线段转化到一条线段上 为此作点p关于直线a的对称点p1 作点p关于直线b的对称点p2 连接p1p2 分别交直线a b于点a b 连接pa pb 即得放牧所走的最短路线 知2 讲 来自 点拨 导引 如图13 4 5 作点p关于直线a的对称点p1 关于直线b的对称点p2 连接p1p2 分别交直线a b于点a b 连接pa pb 由轴对称的性质知 pa p1a pb p2b 所以先到点a处吃草 再到点b处饮水 最后回到营地 按这样的路线放牧所走的总路程最短 知2 讲 解 来自 点拨 解决 两线 一点 型最短路径问题 要作两次轴对称 从而构造出最短路径 知2 讲 知2 练 来自 点拨 1 为庆祝教师节 阳光中学八年级 2 班举行了一次文艺晚会 桌子摆成两条线 如图中的oa ob aob 90 桌子oa上摆满了苹果 桌子ob上摆满了橘子 坐在c处的小华想先拿苹果再拿橘子 然后回到座位c处 请你帮助小华设计一条行走路线 使小华所走路程最短 要求 作出路线图 并用字母表示出所走路线 知2 练 来自 典中点 2 茅坪民族中学八 2 班举行文艺晚会 桌子摆成如图所示两直排 图中的ao bo ao桌面上摆满了橘子 ob桌面上摆满了糖果 站在c处的学生小明先拿橘子再拿糖果 然后到d处座位上 请你帮助他设计一条行走路线 使其