【六种解法】【三扇门问题】羊、车【概率】【决胜21点】.doc

看了电影决胜21点的一个场景：参加一个游戏，有三扇门。一门后有一辆车，另两门后有羊，主持人让你随意挑。当你选择了一扇门后，主持人随后打开了一扇门后有羊的门。此时问你是否换到剩下的一扇门？是否换？为什么？概率多少？那个主人公的选择是换到第二扇门。似乎是应该换选择。但是很蹊跷。看了很多帖子。总结了一下。注：原问题的描述确实有一些含混不清的成分，如果加上下述条件可以使这个答案更准确： 1、参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有甚么。 2、主持人知道每扇门后面有什么。 3、主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。 4、主持人永远都会挑一扇有羊的门。 5、如果参赛者挑了一扇有羊的门，主持人必须挑另一扇有羊的门。 6、如果参赛者挑了一扇有车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有羊的门。 7、参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。 这样，问题的答案是：可以。当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。因为： 有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3) 参赛者挑一号羊，主持人挑二号羊。转换将赢得车。 参赛者挑二号羊，主持人挑一号羊。转换将赢得车。 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。 可以看出，这是一个概率论和人的直觉不太符合的例子，这告诉我们在做基于量化的判断的时候，要以事实和数据为依据，而不要凭主观来决定。否则，想当然的结果往往会在我们不自知的情况下，把我们引入歧途。如片中的老师所说：在校园里骑车可比骑头羊要酷多了。问题是你要做出正确的选择，而这需要以事实为依据详细解答：注：以下分两种条件情况讨论： 1、主持人知道汽车在哪扇门后边，他是故意打开羊的门给你看，也就是说不管玩多少次这个节目，每次他都是打开有羊的门。 2、主持人也不知道门汽车在哪扇门后边，他是随便打开了一扇门，结果后边恰好是羊。(这时才是1/2的概率)方法零：凭感觉想 1、假设选中的是A门，主持人打开的是C门，剩下是B门。当主持人去掉一个是羊的门之后，参赛者挑一号羊，主持人挑二号羊。转换将赢得车。 参赛者挑二号羊，主持人挑一号羊。转换将赢得车。 参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。 而开始选到车和选到羊概率分别是1/3和2/3，显然不换有1/3可能得车，换了有2/3可能得车。 为什么在主持人进行了一次选择之后A的概率不变而B的概率变化了呢？ 对于A门，因为其中是否有汽车都不会影响到“主持人在剩下的两个门中打开一个是羊的门”这一事件，后者是一定会发生的，它的概率是1。他们是两个完全不相关的事件，不存在原因和结果的关系。自然不会受到彼此的影响而改变各自原来的概率。 对于B门，因为可以把BC门看做一个整体，这个整体有车的概率就是2/3，主持人在其中选择，故意去掉了没有车的门，那么这2/3的可能性也就都到了B门。 有人认为主持人去掉了一个门，等于让观众在剩下的两个门里选一个，2选一，自然每个的概率都是1/2了。实际上这是错误的，并不是说只要2选1就一定都是1/2的概率。比方说明天可能下雨可能不下雨，2选1，都是1/2吗？统计1年里下雨天数多还是不下雨天数多呢？百米冠军和小朋友赛跑，可能百米冠军赢，也可能小朋友赢，2选1，也都是1/2吗？只有当2种情况发生的可能性完全相等时，他们的概率才都是1/2。 题目中A门是随机挑选出来的，B门是经过人为选择后剩下的，随机和人为选择的结果自然是不一样的。所以这两个门后有车的概率肯定不一样。比如一堆均匀的棋子有黑白两色各占一半，甲随便抓了一把，乙来把剩下的棋子中白的都拣走了，剩下的归丙，那甲和丙各自手中棋子黑白比例肯定不同。 可以这么说，人为干预的目的就是要改变事件原来发生的概率。 2、如果是主持人随机打开一扇门，发现恰好是羊，此时AB门后有车概率就是一样的了，都是1/2。此时“主持人在BC中随机打开一扇门是羊”这一事件就不是必然发生的了，它和A门或B门后是否有车都是有关联的，它们之间存在因果关系。它们都有可能造成“C门后是羊”这一结果。所以当这一结果变成事实时，C本来具有的1/3概率就应该按照比例分给A和B，而不应该只分给B门。其实这就相当于抓阄，观众先抓一个没看，主持人再抓看了没中，那么最后一个人和观众中的可能性肯定是一样的。 如果我我没有说清楚，那么下面就用具体的公式计算来看看这个概率到底是多少。其实许多时候我们的感觉似乎没问题但实际是错误的，所以人们才要发明尺子、天平、各种仪表来测量具体的数据。 - 方法一：古典概率模型定义 事件A的概率=事件A包含的所有可能性数目总的可能性数目 前提条件是每个可能性出现的概率必须相等。 这个方法现在的小学就学到了，只不过没提这个定义。比方计算掷骰子出现偶数点的概率，P（A）=36=1/2 具体到这个题目，我们可以把所有可能的情况都列出来，那么选某个门得到车的概率也就是用选这个门得到车的所有可能性数目总可能性数目。 1、假设选择了A门，主持人故意打开一个是羊的门情况时的各种情况 （1a）、车在A（1/3），主持人开B（1/2），不换得车，换不得。概率（1/3）（1/2）=1/6（1b）、车在A（1/3），主持人开C（1/2），不换得车，换不得。概率（1/3）（1/2）=1/6 （2）、车在B（1/3），主持人开C（1），换得车，不换不得。概率（1/3）1=1/3 （3）、车在C（1/3），主持人开B（1），换得车，不换不得。概率（1/3）1=1/3 在所有4种可能性中，前两个的概率和后两个不相等，因此不能直接用古典概率模型定义来计算。但是实际上我们可以把这两个合并成一种情况，即车在A（1/3），主持人开B或者C门（1），换得车，不换不得。可能性是（1/3）1=1/3。这样就只有3种发生概率相等的可能情况，一种不换得车，两种换得车，按公式算得不换得车概率1/3，换是2/3。 也可以不把前两种情况合并，按照各自的概率来计算。 所有不换得车情况的概率相加总概率=不换得车概率 不换得车概率=（1/6+1/6）（1/6+1/6+1/3+1/3）=1/3 换得到车概率=（1/3+1/3）（1/6+1/6+1/3+1/3）=2/3 2、如果观众选择A门后后主持人是随机打开一个门，恰好是羊，则会有以下几种情况： （1）、车在A（1/3），主持人打开B（1/2），是羊，不换得车，换不得。概率（1/3）（1/2）=1/6 （2）、车在A（1/3），主持人打开C（1/2），是羊，不换得车，换不得。概率（1/3）（1/2）=1/6 （3）、车在B（1/3），主持人打开B（1/2），是车，换不换都不得车。概率（1/3）（1/2）=1/6 （4）、车在B（1/3），主持人打开C（1/2），是羊，换得车，不换不得。概率（1/3）（1/2）=1/6 （5）、车在C（1/3），主持人打开B（1/2），是羊，换得车，不换不得。概率（1/3）（1/2）=1/6 （6）、车在C（1/3），主持人打开C（1/2），是车，换不换都不得车。概率（1/3）（1/2）=1/6 由于只有主持人打开是羊的门才是有效的，所以（3）和（6）两种情况应该去掉，只计算其他4种情况中得车概率。这4种情况发生概率相等，可以按照古典概率模型定义计算概率。换与不换都是各有两种情况会得到车，自然换不换得车的概率都是1/2。 - 方法二：加法原理和乘法原理 1、故意打开是羊的门时，把各种情况列在下边： （1）、车在A（1/3），主持人开B（1/2），不换得车（1），换得车（0）。 （2）、车在A（1/3），主持人开C（1/2），不换得车（1），换得车（0）。 （3）、车在B（1/3），主持人开C（1），不换得车（0），换得车（1）。 （4）、车在C（1/3），主持人开B（1），不换得车（0），换得车（1）。 不换得车概率=1/31/21+1/31/21+1/310+1/310=1/6+1/6+0+0=1/3 换得车概率=1/31/20+1/31/20+1/311+1/311=0+0+1/3+1/3=2/3 2、随机打开是羊的门的情况，把各种情况列在下边： （1）、车在A（1/3），主持人开B（1/2），不换得车（1），换得车（0）。 （2）、车在A（1/3），主持人开C（1/2），不换得车（1），换得车（0）。 （3）、车在B（1/3），主持人开C（1/2），不换得车（0），换得车（1）。 （4）、车在C（1/3），主持人开B（1/2），不换得车（0），换得车（1）。 （5）、车在B（1/3），主持人开B（1/2），不换得车（0），换得车（0）。 （6）、车在C（1/3），主持人开C（1/2），不换得车（0），换得车（0）。 由于只有主持人打开是羊的门才是有效的，所以后两种情况舍去。只需要用前4种情况来计算概率： 不换得车概率=1/31/21+1/31/21+1/31/20+1/31/20=1/6+1/6+0+0=1/3 换得到车概率=1/31/20+1/31/20+1/31/21+1/31/21=0+0+1/6+1/6=1/3 两种情况概率确实相等，但为什么算出来都是1/3不是1/2呢？ 这是因为我们去掉了后边的两种可能，但是计算用到的1/3和1/2等概率还是按照6种情况时的概率值，因此此时算出来的概率实际上是6种可能性下的概率。当总可能有6个变成4个，也就是变成原来的2/3时，相应的概率应该除以2/3得到的才是最后的概率值。 所以换与不换得到车的实际概率都=1/32/3=1/2 - 方法三：条件概率公式 P（AC）=P（AC）P（C） P（AC）表示事件C发生的情况下事件A发生的概率，P（AC）表示事件A和C同时发生的概率，P（C）表示无任何条件下事件C发生的概率。 1、用A表示选中的A门有汽车这一事件，用C表示观众选择后主持人故意打开一扇有羊的门这一事件，计算在此条件下的P（AC），也就是不换选中车的概率。由于C是必然事件，所以P（C）=1。又因为C是必然事件，只要A发生了，C就一定会发生，因此A和C同时发生的概率也就是A发生的概率。P（AC）=P（A）=1/3。 代入公式得 P（AC）=P（AC）P（C）=1/31=1/3 再用B表示B门中有车这一事件，则P（BC）=P（BC）P（C），其中关键是要知道P（BC），即事件B和C同时发生的概率，也就是要主持人打开一扇是羊的门同时剩下的门里是车，只要B门和C门满足共有一羊一车就可以，显然只有当A门是羊的话这种可能才会发生，所以B和C同时发生的概率就等于A门是羊的概率，即P（BC）=2/3，代入公式得 P（BC）=P（BC）P（C）=2/31=2/3 2、用A表示选中的A门有车这一事件，C表示主持人随机选了一扇门发现是羊这一事件，B表示主持人选择后剩下的门是车这一事件。P（AC）和P（BC）分别是在主持人选择的条件下AB两门有车的概率，需要知道P（AC）、P（BC）和P（C）。P（AC）也就是A门有车且主持人选到羊两事件同时发生的概率，因为当A门有车的时候主持人一定会选到羊，就是说只要事件A发生了，则AC就一定发生。所以P（AC）也就等于A门有车的概率即1/3。P（BC）也就是主持人选了一个是羊的门且剩下的门是车的概率，显然只要B门是车，则主持人选的C门一定是羊，即P（BC）就等于B门是车的概率1/3，P（C）也就是主持人选中C发现是羊的概率，为2/3。代入公式计算得到概率 P（AC）=P（AC）P（C）=1/32/3=1/2 P（BC）=P（BC）P（C）=1/32/3=1/2 - 方法四：全概率公式 P（B）=P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）+P（A3）P（BA3）+.+P（An）P（BAn） P（B）表示事件B发生的概率，P（A1）表示事件A1发生的概率，P（BA1）表示在事件A1发生的情况下事件B发生的概率。A1到An必须包含所有可能的互不相容的情况。 1、主持人故意打开是羊的门的情况，用B表示不换选择得到车的概率，A1、A2和A3分别表示车在A门、B门和C门后这三个事件。 显然P（A1）=P（A2）=P（A3）=1/3，P（BA1）=1，P（BA2）=P（BA3）=0，代入公式得到不换选择时得车的概率 P（B）=P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）+P（A3）P（BA3）=1/31+1/30+1/30=1/3 再用B表示换选择得到车的概率，此时P（A1）=P（A2）=P（A3）=1/3，P（BA1）=0，P（BA2）=P（BA3）=1。代入公式得到换选择时得车概率 P（B）=P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）+P（A3）P（BA3）=1/30+1/31+1/31=2/3 2、主持人随机打开一个门发现是羊的情况下，用B和B分别表示不换与换得到车的事件，A1、A2和A3分别表示车在A门、B门和C门后的事件。显然P（A1）=P（A2）=P（A3）=1/3，P（BA1）=1， P（BA2）=P（BA3）=0；P（BA1）=0，P（BA2）=P（BA3）=1/2。把以上数据代入公式得到不换后得车的概率 P（B）=P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）+P（A3）P（BA3）=1/31+1/30+1/30=1/3 换后得车的概率为 P（B）=P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）+P（A3）P（BA3）=1/30+1/31/2+1/31/2=1/3 此时求得的是无条件下的概率，也就是把主持人选到车的情况也算是有效的，然后计算在主持人选到羊这一条件下换与不换各自的概率应该是多少。用C表示主持人选到羊这一事件。则P（BC）=P（BC）P（C），其中P（BC）表示选A门得到车这一事件与主持人选到羊这一事件同时发生的概率，也就等于选A门选到车的概率1/3，P（C）表示主持人选到羊的概率，即2/3。代入公式得到在主持人打开一扇门发现是羊的情况不换的概率分别是 P（BC）=P（BC）P（C）=1/32/3=1/2 类似的可以得到换选得车的概率 P（BC）=P（BC）P（C）=1/32/3=1/2 通过比较发现方才所用到的加法原理和乘法原理实际上就是利用的全概率公式。 - 方法五：贝耶斯公式 公式的求和符号不知道怎么打出来，具体到本题，公式可以写成如下的形式： P（A1B）=P（A1）P（BA1）/P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2） A1表示观众选中的门中有车这一事件，A2表示观众选中的门中没有车这一事件，B表示主持人打开一扇门发现是羊这一事件。P（A1B）即为主持人打开门后发现是羊的情况下观众不换得到车的概率，P（A1）表示选中的门中是车的概率，P（A2）表示选中的门中是羊的概率，P（BA1）表示观众选中车的情况下主持人打开门发现是羊的概率，P（BA2）表示观众选中羊的情况下主持人打开门发现是羊的概率。 1、主持人故意打开是羊的门的情况下，P（A1）=1/3，P（A2）=2/3，由于主持人打开的门一定是羊，所以P（BA1）=P（BA2）=1，代入公式计算得到不换得到车的概率 P（A1B）=P（A1）P（BA1）/P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）=（1/31）（1/31+2/31）=1/3 不换车的情况下，等于重新进行一次选择，由于这次选择发生在主持人的选择之后，因此它不是“主持人打开一扇门发现是羊这一事件”的原因而是结果，因此换选择得到车的概率不能直接用贝耶斯公式计算，但是既然上面已经计算出不换的概率是1/3，在只剩两个门的情况下换了肯定就是2/3。 2、主持人随机打开一个门发现是羊的情况下，P（A1）=1/3，P（A2）=2/3，如果选中的是车，那么主持人打开一扇门则必然是羊，即P（BA1）=1，如果选中的羊，那么车就在剩下的两个门中，主持人随机打开一个，只有1/2的几率会打开是羊的门，即P（BA2）=1/2，把这些数据代入公式得到不换得到车的概率为 P（A1B）=P（A1）P（BA1）/P（A1）P（BA1）+P（A2）P（BA2）=（1/31）（1/31+2/31/2）=1/2 基于与第一种情况