三角开门；八面玲珑.doc

或数学破题36计第28计 三角开门 八面玲珑计名释义三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：1.公式多，变换多，技巧多；2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.典例示范【例1】 设a,bR，a2+2b2=6，则a+b的最小值是 （ ）A.-2 B. C.-3 D.【解答】 a2+2b2=6=1. 设(0，2)，则a+b=cos+sin=3cos(-)，其中cos=，sin=，a+b-3，选C.【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.【例2】 已知正数x,y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是 .【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见；由条件y2=3x-x2.x2+y2=x2+x2+3x=(x-3)2+.当且仅当x=3时，（x2+y2）max =.你能发现这种解法有什么毛病吗？先检验一下，如x=3,会有什么情况发生，将x=3代入已知条件，得：39+2y2=18. 2y2=-9.显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围，正确的解法是:y2=3x-x20，x2-2x0. 得x0,2，而x2+y2=(x-3)2+.令z=(x-3)2+，则当x3时，z为增函数，已求x0,2，故当x=2时，zmax =(2-3)2+= 4，即(x2+y2)max= 4.【评注】 本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：(x-1)2+y2=1.设，则x2+y2=(1+cos)2+sin2=cos2+2cos+(cos-2)2+.由于cos-1,1,故当cos=1时，(x2+y2)max =+=4.此时，x=2，y=0.【例3】 设抛物线y2=4px(p0)的准线交x轴于点M，过M作直线l交抛物线于A、B两点，求AB中点的轨迹方程.【解答】 抛物线y2=4px的准线为x= -p，交x轴于M(-p,0),设过M的直线参数方程为：(t为参数)代入y2=4px：t2sin2-4ptcos+4p2=0 (1)方程(1)有相异二实根的条件是：1,设方程(1)之二根为t1，t2，则t1+t2=设AB之中点为Q(x,y)， t=.，消去得：y2=2p(x+p),|cot|1，|y|2p，即所求AB中点的轨迹方程为：y2=2p(x+p)(|y|2p).【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便.但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：其中P(x0，y0)为定点，是直线的倾斜角:参数t表示动点M(x,y)与定点P(x0，y0)所连有向线段的数量，若M在P上方则t0，反之tu）,要使运输矿石的时间最短，火车站C、D应建在什么地方？【分析】 求的是C、D建的地方，为了将问题简化，暂不考虑车站D，设法求出从A经过C到B所需最短时间.【解答】 AC=AC=mtanA,CB=AB-AC=l-mtanA从A经过C到B所需时间为 例5题图t=由于，为常数，问题转化为求y=的最小值.y=，令y=0,得时，sinA1.sinA时，y时，y0.故函数y，从而函数t当sinA=时，取得极小值：sinA=，AC=mtanA=，即车站C距A为千米，它与l的长短无关.同理，站D距B为千米.【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.对应训练1已知方程x2+xsin2- sincot=0()之二根为,，求使等比数列1,，前100项之和为零的值.2设实数对(x,y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0，求的最小值.3已知圆的方程是x2+y2=1，四边形PABQ为该圆内接梯形，底边AB为圆的直径且在x轴上，当梯形ABCD的周长l最大时，求P点的坐标及这个最大的周长.4ABC中，已知三内角满足关系式y=2+cos Ccos (A-B)- cos2C.()证明任意交换A、B、C位置y的值不变；（）求y的最大值.5.一条河宽1km，相距4km(直线距离)的两座城市A与B分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A与B. 已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?参考答案1由条件：,，即等比数列的公比q=2sin，S100=.已知S100=0，(2sin)100=1且2sin1,于是2sin= -1,sin=,(，), =.2圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求的最小值，先求的最大值.如图，表示圆上的点(x,y)与定点P(-1,0)连线的斜率,PA，PB为圆C的切线，则，连PC,设BPC=APC=，则tan=, 第2题解图tanBPA=tan2=, 即，从而.3如图所示，有A(1,0),B(-1,0),方程为x2+y2=1，设P(cos，sin)为圆上一点，不妨设P在第一象限，则有Q(-cos,sin).|PQ|=2cos,RtPAB中PBA=,|BQ|=|PA|=|AB| sin=2sin，l=2+2cos+4sin=2+2(1-2sin2)+4sin=5-4(sin)2, 第3题解图当且仅当sin=，即=60(若在四象限则为300)时，lmax=5，此时点P的坐标为.4()y=2+cos Ccos (A-B) - cosC=2+cos Ccos (A-B)+cos (A+B)=2+2cos Acos Bcos C此为关于A、B、C的对称轮换式，故任意交换A、B、C的位置，y的值不变.()y=2-cos Ccos (A-B)2 +cos2(A-B),为求y的最大值必须cosCcos (A-B)2取得最小而cos2(A-B)取得最大.cosCcos (A-B) 20，且cos+(A-B)当且仅当时以上两条同时成立.ymax =，此时故ABC为正三角形.5.解法一:如图所示，设OM=x km，则AM=-x，BM=. 总修建费S=2（-x）+4=2+x+3(-x)=2+（+x）+2+2由+x=,得当x=时，S取最小值2+2，此时，AM3.3，BM1.2.故当先沿岸铺设3.3 km地下电缆，再铺设1.2 km水下电缆连通A与B时， 第5题解图总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元.解法二：如图所示，设OBM=(00，得t， S2+2将t=代入sin+tcos=2，解得= 0arccos AM=-3.3，BM=1.2故Smin =2.数学破题36计第29计 向量开门 数形与共计名释义非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表.向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.典例示范【例1】 ,为锐角，且sin-sin=,cos-cos=，求tan(-)之值.【解答】 如图，设A(cos,sin),B(cos,sin)为单位圆上两点，由条件知：0.那么：=（cos- cos,sin- sin）=.|=，|=|=1. 例1题解图OAB中,由余弦定理：cos(-)= cos (-) =.sin(-)=,tan(-)=.【点评】 如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例.【例2】 设a,b,c,dR，证明：ac+bd【解答】 设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|n|=mn=|m|ncos（m,n）|m|n|. ac+bd.【点评】 难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几何中又能起作用吗?【例3】 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60，则对角线AC1之长为 .【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC1与平面ABCD所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60的菱形吗？利用向量岂不更为省事?向量的数量积公式可以保驾护航.对！走向量法解题的道路.【解答】 如图所示，=1+1+1+2(cos60+ cos60+ cos60)=6|=. 例2题解图【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是|2=的运用奇妙.注意：与所成角等于与所成角，是60而不是120.对应训练1如图,在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是AB、AC上的动点，满足AE=BF.()求证：；()当三棱锥BBEF的体积取得最大值时，求二面角BEFB的大小(结果用反三角函数表示). 第1题图2已知a,bR+，且ab，求证：(a3+b3)2(a2+b2)(a4+b4).3在双曲线xy=1上任取不同三点A,B,C,证明ABC的垂心也在该双曲线上.参考答案1.(1)如图，以B为原点，直线BC,BA,BB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，并设=x,则有:A(0,a,a),C(a,0,a). E(0,a-x,0)，F(x,0,0),=(x,-a,-a)，=(-a,a-x,-a).=(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0，.(2)VBBEF=SEEF|=(a-x)xa=a(a-x)xa，当且仅当a-x=a，即x=时,(VBBEF)max =，此时E、F分别为AB,BC的中点,必EFBD.设垂足为M，连BM,BB平面ABCD, 第1题图由三垂线定理知BMEF,BMB是二面角BEFB的平面角,设为,|= tan=.即=arctan2，则二面角BEFB的大小为arctan2.2设m=(a,b)，n=(a2,b2), mn|m|n|.a3+b3，即是(a3+b3)2(a2+b2)(a4+b4).3如图,设A(x1,)，B(x2,),C(x3，)，ABC的垂心为H(x0，y0),则, 第3题解图,(x0-x3)(x2-x1)+(y0-.x1x2，x0-x3.x0+ (1)同理：x0+.x2-x1=y0.x1x2，y0=-x1x2x3，代入 (1)：x0-=x3=0,x0y0=1，即H(x0，y0)在双曲线xy=1上.数学破题36计第30计 统计开门 存异求同计名释义甲问：什么是“可能一统”？乙答：就是“可能性”完成大一统.甲：此话怎讲？乙：排列、组合讲的是“可能状态”，概率讲的是“可能比值”，而统计则是对“各种可能”的计算，故称“可能一统”.甲：这有什么意义呢？乙：现实意义，实际意义，应用意义.你不知道吗，如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.甲：不错！以往的高考应用题，多在函数、方程、不等式上打主意，自从新课标普及以来，应用题转到概率和统计上了.不过，这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢？乙：大概命题人也想到这点，因此近年的概统应用题，似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!典例示范【例1】 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：x23456y2238556570若由资料可知y对x呈线性相关关系.试求：（1）线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【分析】 本题告诉了y与x间呈线性相关关系，倘若记住了公式，便可以迅速解答出此题.注：设所求的直线方程为=bx+a，其中a、b是待定系数相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.解：（1）列表如下：i12345xi23456yi2.238556570xiyi44114220325420x49162536于是b=，a=0.08. 线性回归方程为：=bx+a=1.23x+0.08.（2）当x=10时，=1.2310+0.08=12.38（万元）即估计使用10年时维修费用是12.38万元.【点评】 本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.【例2】 某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求：（1）3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率；（2）3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.【思考】 本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次（事件A是“灯泡的使用时数在1000小时以上”）；（2）中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A发生2次和发生3次，可用独立重复试验的方法求解.【解答】 设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A，则P（A）=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次.P3(2) =C(0.7)2(1-0.7)3-2=30.490.3=0.441.(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P3（2）+P3(3)=0.441+C0.73=0.784.【点评】 用独立重复试验的概率公式Pn(k)=CPk(1-p)n-k来求概率的步骤：首先判断是不是独立重复试验；求一次试验中事件A发生的概率P；利用公式计算在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.【例3】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.(1)求甲答对试题数的概率分布及数学期望;(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.【思考】 本题主要考查概率统计的基础知识，离散变量的概念，数学期望的定义；首先要弄清的取值范围,=0,1,2,3,然后再求概率.【解答】 （1）依题意，甲答对试题数的概率分布如下：0123P甲答对试题数的数学期望.E=0+1+2+3=(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)= P(B)=因为事件A、B相互独立,方法一：甲、乙两人考试均不合格的概率为甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P=1-P（）=1-方法二：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=P(A)+P（B）+P(AB)=P(A)P()+P()P(B)+P(A)P(B)=+=【点评】 要分清对立事件与互斥事件的关系，独立事件、互斥事件的相互区别.在数学中必须强调随机变量的概念，分布列的定义与求法，熟悉常用的分布列：01分布、二项分布，数学期望与方差的计算等.对应训练1.在袋里装30个小球，其彩球中有n(n2)个红球，5个蓝球，10个黄球，其余为白球.若从袋里取出3个都是相同颜色的彩球（无白色）的概率是，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.2.某突发事件，在不采取任何预防措施情况下发生的概率为0.3,一旦发生，将造成400万元的损失.现在甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件突不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)3.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高N（173，72）（cm），问车门应设计多高？4.为考虑广告费用x与销售额y之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：广告费用（千元）104060100140销售额 （千元）190440400520530现要使销售额达到6万元，则需广告费用为 （保留两位有效数字）.参考答案1.取3个小球的方法数为C=4060.设“3个小球全是红球”为事件A，“3个小球全是蓝球”为事件B，“3个小球全是黄球”为事件C，则P(B)=，P(C)=.A、B、C为互斥事件，P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).即=P(A)+P(A)=0.红球的个数2，又n2，故n=2.记“3个小球至少有一个是红球”为事件D，则为“3个小球没有一个红球”.P(D)=1-P()=1.2.不采取任何预防措施时，总费用即损失期望值为4000.3=120(万元);若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为4000.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85（万元）.若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为4000.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90（万元）若联合采取甲、乙两种措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为（1-0.9）(1-0.85)=0.015，损失期望值为4000.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元)综合、，比较其总费用可知，应选择甲、乙两种预防措施联合采用，可使总费用最少.3.设公共汽车门的设计高度为x cm，由题意，需使P（x）1%.N（173，72），P（x）=（）0.99.查表得2.33，x189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.点评：本题将正态分布的计算带入实际生活中，但本质上仍然是考查对正态分布的掌握.4.类似于例1，根据公式，先求出回归方程=bx+a，令=6，得x=1.5万元.答案：1.5万元点评：仍然是运用公式求回归直线的例子，只要掌握了例4中提到有关回归直线的公式，便可迅速解答并且最终求出结果.数学破题36计第31计 解几开门 轨迹遥控计名释义求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.典例示范【例1】 动椭圆过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率e=. (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值.【思考】 如M（1，2）为右顶点，则左顶点为P（1-2a,2）.椭圆中心为(1-a,2)，左准线为y轴.-a=0，而e=. =2，有-3a+1=0，a=. 得点P1(,2)；如M（1，2）为左顶点，有P2（1，2），P1P2中点为（，2）.由以上可以预见,所求轨迹是中心为O(,2)的椭圆.【解答】 （1）设椭圆左顶点为M(x,y)，则左焦点为F（x0，y0）=F(x+a-c，y)，e=，且左准线为y轴, =0,得a=x，c=，有：F，由椭圆第二定义：= e=. ，化简得： (2)椭圆的长半轴a=，-x-，得x.原椭圆长半轴为a=x，2a=2x.故原椭圆长轴最大值为2，最小值为.【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，其中F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A（-1，2），B（3，2）在双曲线上，（1）求点F2的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，不存在，说明理由.【思考】 F1（1，0）为定点，|AF1|=2=|BF1|为定值，设F2(x，y)，则|F2A|-2=(F2B-2).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4，知动点F2的轨迹为直线AB的垂直平分线或以A、B为焦点的椭圆.【解答】 （1）点F2的轨迹方程为直线l：x=1或椭圆.(不含短轴两端，即不含（1，0），（1，4）解法略).（2）如图，当椭圆与直线y=x+m相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与直线x=1的交点），其他情况下，若直线y=x+m过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0.此方程应有相等二实根，=(4m-10)2-12(2m2-8m+1)=0.化简得：m2-2m-11=0,m=12.【小结】 探求轨迹，一要注意其完备性也就是充分性：只要符合条件的点都适合轨迹方程；二要注意其纯粹性也就是必要性：只要适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图以例2为例：若忽视了直线x=1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（4，0）则又不纯粹.对应训练1.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6,0），另一个焦点F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程;(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.2.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，OQP为正三角形（按逆时针方向转），求点P的轨迹方程.3.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6，0），另一个焦点F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程.4.已知抛物线C：y2=4x，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程；（2）若M（m,0）是x轴上的一个定点，Q是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ|的最小值.参考答案1.设F2(x0，y0), O(0,0)在双曲线上,|OF2| - |OF1| =2，|OF1|=6,|OF2|=62，如|OF2|=8，则x20+y20=64 如|OF2|=4，则x20+y20=16 当O、F1、F2共线时，F1、F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）设双曲线中心为M（x，y）,则 代入：(2x-6)2+(2y)2=64， 即(x-3)2+y2=16(x7)代入：（2x-62+(2y)2=16， 即(x-3)2+y2=4(x5)(2)a=1，e= c，且c=|MF1|=,如M的轨迹为(x-3)2+y2=16， 则c=-4x-34，-1x7当x=-1时，cmax=7.如M的轨迹为(x-3)2+y2=4，则-2x-32，1x5，当x=1时，cmax=5,于是取c=7，a=1，b2=48，又当x=-1时，由（x-3）2+y2=16，得y=0,即双曲线中心为(-1,0),一个焦点为F1(6,0),故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)2-=1.2.如图作OAl于A，以直线OA为x轴，过O且垂直于OA的直线为y轴建立如图的直角坐标系，设A（a,0），则有直线l：x=a，设|OQ|=|OP|=dAOQ=，则AOP=+设P(x,y)，d=，x= d cos (+)=(cos-sin) 第2题解图=(1-tan),y=dsin(+)=(sin+cos)= (tan+).于是得点P的参数方程：（为参数） 消去参数得：x+y=2a.3.(1)设F2(x0，y0)，O (0,0)在双曲线上，|OF2| - |OF1|=2，|OF1|=6，|OF2|=62，如|OF2|=8，则x20+y20=64 ；如|OF2|=4，则x20+y20=16 ，当O，F1，F2共线时，F1，F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）.设双曲线中心为O(x，y)，则 代入：(2x-6)2+(2y)2=64, 即 (x-3)2+y2=16 (x7).代入：(2x-6)2+(2y)2=16, 即 (x-3)2+y2=4 (x5).(2)a=1，e= c，且c=|MF1|=,如M的轨迹为（x-3）2+y2=16,则c=.-4x-34, -1x7,当x= -1时，cmax =7.如M的轨迹为(x-3)2+y2=4，则c=.-2x-32，1x1时，以M（m,0）为圆心，R为半径的圆的方程为：(x-m)2+y2=R2.(*)由x2+(1-2m)x+m2-1-R2=0.命0，即（1-2m）2-4(m2-1-R2)=0, R2. (1)当m时，R min=， 即|MQ|的最小值为.当1m1，即m时，|MQ| min=.笔者以为不妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正.数学破题36计第32计 立几开门 平面来风计名释义空间型试题感到困难怎么办？退到平面去，平面是立体几何的基础，“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展开图，把空间展到平面；（2）三视图，从不同的角度看平面；（3）射影图，把一个平面放到另一个平面去；（4）截面图，把我们关心的平面进行特写.如此等等，可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”.典例示范【例1】 “神舟六号”飞船上使用一种非常精密的滚球轴承，如图所示，该滚球轴承的内外圆的半径分别为1mm、3mm，则这个轴承里最多可放滚珠 个. 例1题图【解答】 6如图，设两滚球P，Q相切于点T，轴承中心为O，连接OT，设滚球半径为d，内、外圆半径分别为r、R，则R=3，d=r=1.在RtOTP中，POT=，OP=2，PT=1,则有sin=，得=2=，即在圆心角为的轨道内， 例1题解图可放一个滚珠，故圆心角为周角（2弧度）时可放的滚珠为=6个.【点评】 本题考查了球体知识的相切问题，把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解决.【例2】 在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD边长为3，高为4，在棱C1B1，C1D，CC上分别取一点M、N、L使C1MC1N1，C1L.(1)求证：对角线AC1面MNL； （2）求四面体DMNL的体积；（3）求AM和平面MNL所成夹角的正弦值.【思考】 (1)本题并不难，但其手法还是“退”，由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性，只需证AC1与LM、LN之一垂直即可;(2)四面体DMNL的体积不好求，可退而求四面体C1MNL的体积，这两个四面体等底不等高，再退而求四面体对应高之比，然后将所求四面体C1MNL的体积适当扩大即可；（3）AM与面MAC1夹角的正弦不好求，可退而求AM、AC1夹角的余弦.【解答】 （1）如图所示，以D1为原点，直线D1A1，D1C1，D1D分别为x,y，z轴建立空间坐标系，则有：A（3，0，4），C1（0，3，0）=(-3,3,-4)；L，N(0,2,0),=0+3-3=0,根据图形对称性，同理有，故AC1平面MNL. 例2题解图(2)四面体DMNL与C1MNL同底不等高，设其高分别为h1，h2，连C1D交NL于E.D(0,0,4),=(0,-3,4),且=(0,-3,4)=0.，知L、E、D、C在同一个圆上，|=|,即4=|5.|=，从而|=5-=.h1h2=.易求VC1MNLC1MC1NC1L=11，VD-MNL=(立方单位).(3)设AM与平面AC1成角，已证AC1平面MNL，MAC1=90-.M(1,3,0),=(-2,3,-4), =(-2,3,-4)(-3,3,-4)=6+9+16=31.又=,= .cos (90-)=.从而sin=，即AM与平面MNL所成角的正弦值为.【评注】 本题第（2)问另一解法：VD-MNL=VM-DNL，而SDNL易求，且MC1面DNL，从而VD-MNL =SDNLMC1也不失为另一有效解法.【例3】 （04全国卷）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60.()求四棱锥PABCD的体积；（）求证：PABD.【分析】 1.题目没有讲是“正”四棱锥，不要粗心地乱加条件“按正棱锥”解题，否则是“瞎子点灯”白费蜡，因此，顶点在底面的射影不一定是底面的中心. 例3题图2.图中的三角因素很多，证垂直的最好办法是利用向量.因而制定三角加向量的解题策略.【解答】 （）设O为P在底面的射影，作OEAD于E，连PE，则PEO是二面角PADO的平面角，有PEO=60.已知PAD为正三角形，且边长为4.|PE|=4sin60=6，PO=6sin60=3.VPABCD=SABCDPO=843=96(立方单位).()以O为原点，平行于AD的直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，垂线OP所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系.则有P(0,0,3)，A(2,-3,0)，B(2,5,0),D(-2,-3,0),=(2,-3,-3),=(-4,-8,0),=-24+24+0=0. .对应训练1.如图所示，ABCD是边长为2a的正方形，PB平面ABCD，MAPB，且PB=2MA=2a，E是PD的中点(1)求证：ME平面ABCD;(2)求点B到平面PMD的距离;(3)求平面PMD与平面ABCD所成二面角的余弦值 第1题图2.在正三棱锥SABC中，底面是边长为a的正三角形，点O为ABC的中心，点M为边BC的中点，AM=2SO，点N在棱SA上，且SA=25SN.()求面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（）证明：SA平面NBC.3.如图,边长为2的正方形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，AB=AD，ABAD，AC=3，ACBD，垂足为M，N为BF的中点.(1)求证：MN平面ADEF；（2）求异面直线BD与CF所成角的大小；（3）求二面角A-CF-D的大小. 第3题图参考答案1.(1)延长PM、BA交于F，连接FD，FD、BC延长交于G，连接PG，MAPB=a，M为PF中点，又E为PD中点，ME为PFD中位线，MEFD，而FD平面ABCD,ME平面ABCD.(2)MAPB时，A为FB的中点.四边形ABCD是正方形，ADBC，DCAB，D、C分别为FG、BG的中点. 第1题解图AB=BC=2a. BF=BG=4a. BDFG，PB平面ABCD，PBFG，故FG平面PBD. 作BHPD于H，必FGBH，故BH平面PFG，BH之长是点B到平面PFG(也就是平面PMD)的距离.RtPBD中，PB=2a，BD=2a.PD=2a，BH=a，即所求距离为a.(3)由(2)知FGDB，FGDP. PDB是二面角P-FG-B的平面角，且cosPDB=，即所求二面角的余弦值为.点评： (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化，一是不规则图形规则化.本解中“规则化”的手段是补形，最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体，以下的分析计算也就方便了.(2)将正方体截下一个角，所得四面体由于有三条侧棱两两垂直，我们称这样的四面体为直角四面体，直角四面体有许多重要性质，其中最重要的有3条：若用S，S1，S2，S3分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么：S2=S 21+S 22+S 23若直角四面体的三条侧棱之长依次为a，b，c，则其底面积：S=若直角四面体的三条侧棱之长，依次为a，b，c，且直角顶点到底面的距离为h，那么h=.根据公式本题第2问可轻而易举地解决：图中BPFG为直角四面体，且BP=2a，BF=BG=4aBH=2.(1)如图，正ABC边长为a时，AM=a，OM=AM=a.SO=AM=a.SMA是二面角SBCA的平面角，设为，则tan=.面SBC与面ABC成arctan的角. 第2题解图(2)以O为原点，直线AM、OS分别为x,z轴，过O且平行于BC的直线为y轴建立如图的空间直角坐标系，则有B(a,0)，M(a，0,0)，C (a,0)，S (0,0, a).a，有A(-a，0，0).=(-a，0，-a)，=（0，a，0）， =0,.又=，故有N(a，0，a). =a，0，-a).故=（- a,0,- a）（a,0,-a）= -a2 +0+a2 =0.，从而SA平面NBC.3.方法一：（1）AB=AD，ACBD，垂足为M，M为BD的中点，N为BF中点，MNDFMN面ADEF，DF面ADEF，MN平面ADEF. (2)平面ADEF平面ABCD，又FAAD，FA面A