《垂直于弦的直径》导学案、课外练习.doc

垂直于弦的直径导学案【学习目标】通过观察实验，理解圆的轴对称性；掌握垂径定理及其推论，能运用它们解决有关证明、计算和作图问题重点：垂径定理、推论及其应用. 难点：发现并证明垂径定理，利用垂径定理解决一些实际问题.一、【创设情景明确目标】问题：你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？二、【自主探究、归纳新知】8-8页（一）活动1: 1.阅读教材8183页，将重点内容标划并识记。2.每个小组利用课余时间剪切一个圆，将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？圆是 对称图形，其对称轴是任意一条过 的直线 （二）活动1请同学按下面要求完成下题：如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为M（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 相等的线段： 相等的弧： 这样，我们就得到垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条 表达式：垂径定理的条件和结论分别是什么？过圆心，垂直于弦.平分弦，平分弦所对的劣弧，平分弦所对的优弧. 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD、弦AB且CDAB垂足为M 求证：AM=BM，弧AC=BC，弧AD=BD. 分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM( ) AM= 点 和点 关于CD对称 O关于CD对称 当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，弧AC与BC重合，AD与CD重合 ， ， 进一步，我们还可以得到结论：平分弦（ ）的直径垂直于 ，并且平分弦所对的两条 表达式： （三）、归纳总结： 1圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴2垂径定理 推论 三 、【巩固新知 应用新知】CABDOEABOEABOEDABOED1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？OABE2、如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。来源:Zxxk.Com变式：在O中，弦AB的长为8cm，OEAB，垂足为E，EC长为2cm，求O的半径。 ODACR3、你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？四、【总结反思、升华提高】1、圆是轴对称图形，经过圆心的 都是它的对称轴。由此可得出垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧。平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧。如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备 经过圆心， 垂直于弦， 平分弦（不是直径），平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。在圆的有关计算和证明中，常作圆心到 的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。3.实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可，这样把垂径定理和勾股定理结合起来，构造直角三角形，可得到圆的半径R，圆心到弦的距离d，弦长a之间的关系R=（）A定理的三种基本图形如图、。B 计算中三个量的关系如图，。C证明中常用的辅助线作弦心距。 构造Rt的“七字口诀”：半径半弦弦心距（图） （图） （图） （图）五、【巩固练习,测评反馈】填空：1、如图：已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_，则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）2、如图：已知AB是O的弦，OB=4cm，ABO=300，则O到AB的距离是_cm，AB=_cm. 3、如图，两圆都以点O为圆心，求证AC=BD4、如图，在O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形。OBACED六、课外分层训练：A组：1、填空：在O中（1）若CDAB，AB为直径，则 、 、 （2）若CM=DM，AB为直径，不是直径，则 、 、 （3）若ABCD，CM=DM，则 、 、 （4）若=，AB为直径，则 、 、 2、如图O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）A4 B6 C7 D8第3题第4题第2题第1题3、如图已知O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（ ） A1mm B2mm C3mm D4mm4、如图所示，已知AB为O的直径，且ABCD，垂足为M，CD8，AM2，OM=_5 判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧 （ ）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧 （ ）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦 （ ） （4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 （ ）（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 （ ）（6）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （ ）B组： 1、O的半径是5，P是圆内一点，且OP3，过点P最短弦、最长弦的长为 .2、如右图2所示，已知AB为O的直径，且ABCD，垂足为M，CD8，AM2，则OM .3、O的半径为5，弦AB的长为6，则AB的弦心距长为 .4、已知一段弧AB，请作出弧AB所在圆的圆心。5、问题1：如图1，AB是两个以O为圆心的同心圆中大圆的直径，AB交小圆交于C、D两点，求证：AC=BD 问题2：把圆中直径AB向下平移，变成非直径的弦AB，如图2，是否仍有AC=BD呢？ 问题3：在圆2中连结OC，OD，将小圆隐去，得图4，设OC=OD，求证：AC=BD问题4：在图2中，连结OA、OB，将大圆隐去，得图5，设AO=BO，求证：AC=BD6如图，已知AB是O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求O的半径的长。7、的半径为5，弦，弦，且.求两弦之间的距离。 C组： 选作题1.如图24-11，AB为O的直径，CD为弦，过C、D分别作CNCD、DMCD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由2.如图所示，CD是O的直径，过弦AB两端分别作FAAB，EBAB，交CD所在直线于F、E.