静电场的边值问题.doc

1 静电场的边值问题1镜象法的理论依据是（ ）。基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（ ）。2根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。以便以简单的形式表达边界条件。将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（ ）3将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（ ），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。4（ ）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。5用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ）。A镜像电荷是否对称 B电位所满足的方程是否未改变 C边界条件是否保持不变 D同时选择B和C 6.微分形式的安培环路定律表达式为，其中的（ ）。A是自由电流密度B是束缚电流密度C是自由电流和束缚电流密度D若在真空中则是自由电流密度；在介质中则为束缚电流密度7.在边界形状完全相同的两个区域内的静电场，满足相同的边界条件，则两个区域中的场分布（ ）。A一定相同 B一定不相同 C不能断定相同或不相同8.两相交并接地导体平板夹角为，则两板之间区域的静电场（ ）。A总可用镜象法求出。B不能用镜象法求出。C当 且n为正整数时，可以用镜象法求出。D当 且n为正整数时，可以用镜象法求出。orQ (1,/6)Q3 Q1 Q2 9.将一无穷大导体平板折成如图的90角，一点电荷Q位于图中（1, /6）点处，求所有镜像电荷的大小和位置并在图中标出。10. 两个平行于 XOY 面的极大的金属平板，两平板间的距离为 d ，电位差为 。求两板间的电位及电场分布11. 两块彼此平行的半无限大接地金属板，板间距离为b，两平行板的一端另有一块电位为 的极长的金属条，它们之间缝隙极小，但彼此绝缘。求两板间的电位分布。12四块彼此绝缘（相隔极小的缝隙）的无限长金属板构成一个矩形空管，管子截面为 ，上下两块板电位为零（接地），右侧板电位为 ，左侧板上电位的法向导数为零，即 。求管内的电位分布规律。13求导体槽内的电位。槽的宽度在x和z方向都为无穷大，槽由两块T形的导体构成，两块间有一狭缝，外加恒定电压 。14一根半径为a，介电常数为 的无限长介质圆柱体置于均匀外电场 中，且与 相垂直。设外电场方向为 轴方向，圆柱轴与z轴相合，求圆柱内、外的电位函数。15同心金属球，内外导体半径分别为a和b，内导体电位为 ，外导体电位为 ，空气介质填充，求该球形电容器的电容C16均匀电场中置一半径为a的介质球。介质球的介电常数为，球外空气为。球介质球内外的电位分布规律17均匀电场中的金属球，一孤立导体金属球，半径为a，置于均匀电场中。金属球为等位体，球内电场等于零。求外电场则为感应电荷的电场与原均匀电场之和，试求球外的电位及电场18一个半径为a的导体球壳，沿赤道平面切割出一窄缝，在两半球壳上外加电压。并且使下半球壳的电位为零（接地），上半球壳的电位为。计算球内的电位19求单导线的对地电容。一根极长的单导线与地面平行。导线半径为a，离地高度为h，求单位长度单导线地对地电容20两根无限长平行圆柱，半径均为a，轴线距离位D。求两圆柱间单位长度上的电容21一长方形界面的导体槽，槽可以视为无限长，其上有一块与相绝缘的盖板，槽的电位为零，盖板的电位为，求槽内的电位函数22两平行的无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄由y=d到y=b()。上板和薄片保持电位，下板保持零电位求板间电位的解。设在薄片平面上，从y=0到y=d，电位线性变化，。 提示：应用叠加原理。把场分解成两个场相叠加：一是薄片不存在，两平行板(加电压)的场；一是薄片和两个电位为零的平板间的场。注意两个场叠加后满足题给的边界条件。23导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解24一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持为零电位，体积内填充密度为的电荷。球体积内的。 提示：假设可以用三维傅里叶级数表示为，并将展成相似的三维傅里叶级数，把和的展式代入泊松方程：决定系数。25一对无限大接地平行导体板。板间有一与z轴平行的线电荷，其位置为(0，d)，求板间的电位函数。 26矩形槽电位为零，槽中有一与槽平行的直线电荷。求槽内的电位函数27在均匀电场中垂直于电场方向放置一导体圆柱，圆柱半径为a。求圆柱外的电位函数和导体表面的感应电荷密度。28考虑一介电常数为的无限大的介质，在介质中沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向加一均匀电场，求空腔内和空腔外的电位29一个半径为b，无限长的薄导体圆柱面被分割成四分之一圆柱面。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位和。求圆柱内部的电位分布30一无限长介质圆柱，在距离轴线处，有一与圆柱平行的线电荷。计算空间各部分的电位31一无限长导体圆柱，在距离轴线处，有一与圆柱平行的线电荷。计算空间各部分的电位32在均匀电场E中放入半径为a导体球，设(1)导体充电至；(2)导体上充电荷量Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。33无限大介质中外加均匀电场，在介质中有一半径为a的球形空腔，求空腔中的和空腔表面的极化电荷密度(介质的介电常数为)34空心导体球壳内、外半径分别为，球中心放置一偶极子，球壳上的电量为Q。试计算球内外的电位分布和球壳上的电荷分布35欲在一半径为a的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕(即求绕线密度)？(提示：计算表面电流密度。)36一半径R的介质球带有均允极化强度。(1)证明：球内的电场强度是均匀的，等于；(2)证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子产生的电场相同，37半径为a的接地导体球，离球心处放置一点电荷q。用分离变量法求电位分布38一根密度为长为2a线电荷沿z轴放置，中心在原点上。证明：对于ra的点，有。提示：将线电荷分为线元，按点电荷写出rz的的球坐标的展开式，再积分39一半径a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上。环上总电荷量为Q。证明：空间任意点电位为40一点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要做多少功？41一电荷量为q质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面距离h。求q的值以使带电体上受到的静电力与重力相平衡(设，h，0.02m)。42(1)证明：一个点电荷q和一个带有电荷量Q半径为R的导体球之间的力是，式中D是q到球心的距离。 (2)证明：当q与Q同号，且成立时F表现为吸引力。43两点电荷(+Q)和(-Q)位于一个半径为a的导电求直径的延长线上，分别距球心D和(-D)。(1)证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极距为；(2)令D和Q分别趋于无穷，同时保持不变，计算球外的电场。44一与地面平行架设的圆界面导线，半径为a，悬挂高度为h。证明：导线与地间的单位长度上的电容为。45上题中设导线与地间电压为U。证明：地对导线单位长度的作用力为。提示：利用虚位移法。46一个二维静电场，电位函数为，边界条件为上100V下50V左0V右100V，将正方形场域分成20个正方形网格。有16个内部网格点。假定16个网格点的初始值都定为零，试用超松弛法确定16个内网格点的电位值。(本题最好在计算机上求解)47电荷均匀分布于两平行的圆柱面间的区域中，密度为，两圆柱半径分别为a和b，轴线相距c，且a+cb，如图所示，求空间各区域的电位移和电场强度。 48半径为a的球中充满密度(r)的体电荷，已知电位移分布为其中A为常数，试求电荷密度(r)。49验证下列标量函数在它们各自坐标中满足2=0求：（1）sin(kx)sin(ly)exp(-hz) 其中h2k2l2；（2）rncos（n）Asin（n）圆柱坐标；（3）rncos（n） 圆柱坐标；（4）rcos球坐球； （5）r2cos球坐球。50已知y0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些可能是电位函数解？ （1）expycoshx；（2）exp(-y)cosx； （3） ； （4）sinxsinysinz 。51中心位于原点，边长为L的电介质立方体极化强度矢量求：（1）计算面和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。52平行板电容器的长、宽为a和b，板间距离为d。电容器的一半厚度(0d/2)用介电常数为的电介质填充。（1）板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；（2）若已知极板上的自由电荷总量Q，求此时极间电压和束缚电荷；（3）求电容器的电容量。53在介电常数的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各个空腔中的E和D；（1）平行于E的针形开腔；（2）底面垂直于E的薄盘形空腔；54考虑一电导率不为零的电介质（，），设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为。试问有没有束缚体电荷p？若有则进一步求出p55两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴的圆柱面，内导体半径为a；分界面半径为b，外导体内半径为c；两层介质的介电数为1和2，漏电导为1和2。当外加电压U0时，计算介质中的电场强度，分界面上的自由电荷密度，及单位长度的电容及漏电导。56半径为R1和R2（R1R2的两个同心球面之间充满了电导率为 的材料（K为常数），试求两理想导体球面间的电阻。57在一块厚为d的导体材料板上，由两个半径为 r1和r2的圆弧和夹角为的两半径割出的一块扇形体，如图所示。（导体材料的电导率为） 求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面间的电阻；（3）方向的电阻。 注意：外加电压时电极的面积与相应电阻的截面相同，电极为理想导体。58证明：同轴线单位长度的静电储能We等于q122C。q1为单位长度上的电荷量.59平行板电容器电容量0，其中S是板的面积，d为间距，忽略边缘效应。（1）如果把一块厚度为d的不带电金属插入两级板之间，但不与两极接触，则在原电容器电压一定的条件下，电容器能量如何变化？电容如何变化？（2）如果在电荷一定的条件下，将一块电介质片插入电容器（与电容器极板面积垂直地插入），则电容器能量如何变化?电容量又如何变化？60. 一半径为a的薄球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满了总电荷量为Q的体电荷，球壳上又另充有电量Q，已知内部的电场为设球内介质为真空。计算：（1）球内的电荷分布；（2）球外表面的面电荷分布。61两个无限长的同轴圆柱半径分别为ra和rb(ba)的同轴圆柱表面分别带有面电荷1和2。（1）计算各处的电位移D0，（2）欲使rb区域内D0=0，则1和2应具有什么关系？62长度为L的线荷带有均匀电荷密度L0，(1) 计算线电荷平分面上的电位函数；(2) 利用直接积分法计算平分面上的E，并用核对。63一半径为R的介质球内极化强度 ，其中K是一常数。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度；（2）计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电位分布。64两电介质的分界面为z=0平面。已知r1=2和r2=3，如果已知区域1中的我们能求出区域2中哪些地方的E2和D2？能求出2中任意点的E2和D2吗？65电场中有一半径a的介质球，已知球内、外的电位函数分别为：验证球表面的边界条件，并计算球表面的极化电荷密度。66一个有两层介质（1,2）的平行板电容器，两种介质的电导率分别为1和2，在外加电压U时，求通过电容器的电流和充电时聚集在两层介质分界面上的自由电荷密度。电容器的结构如图所示。67在面积为S的平行板电容器中填充介电常数作线形变化的介质，从一极板（y0）处的1一直变化到另一极板（yd）处的2，求电容量。68有一半经a，带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的介电常数分别为1和2， 分界面可是为无限大平面。求（1）球的电容；（2）总静电能。69两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插在介电常数为的液体中，板间加电压U，证明液面升高为：为液体的密度，g为重力加速度。70可变空气电容量，当动片由0至180旋转时，电容量由25至350pF直线地变化，当动片为角时，求作用于动片的力矩，设在动片与定片间电压为400V。71如图所示，一个半径为a的半圆环上均匀分布线电荷,其电荷线密度为L。求垂直于圆环平面的轴线上的电位(z)和电场强度E(z)。72两个半径均为a的导体球，球心相距为d，且da。设两球分别带电荷q1和q2，计算此导体系统的静电能量；若用细导线将两个导体球连接起来，静电能量有什么变化？73设原子核是一个带正电的点电荷，其电荷量为q，周围均匀分布有带负电荷的球形电子云。电子云半径为r0，总电荷量为-q。试求原子模型的结合能。74把一带电量为q，半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。75将介电常数为，内外半径分别为a和b的介质球壳从无限远处移至真空中的点电荷Q的电场中，并设点电荷Q位于球心处。求此过程中电场力所做的功。76填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体内半径为c，介质分界面的半径为b。两层介质的介电常数分别为1和2，电导率分别为1和2。设内导体的电位为U0，外导体接地。 求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布； （2）介质分界面上的自由电荷密度； （3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。77电导率为的无界均匀漏电电介质内有两个半径分别为R1和R2的理想导体小球，两球之间的距离为d(d R1，d R2)，试求两小导体球面间的阻。（只求一级近似解）78一半径为b的球体内充满密度为b2r2的电荷，试用直接积分法计算球内外的电位和场强。79. 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。80. 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d ，其有限端被电位为 j0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。 Odxyj = 0j = 0j = j081. 设一根无限长、半径为 a 的导体圆柱放入无限大的均匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱外的电场强度82. 设半径为a，介电常数为e 的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场 E0 的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。xyaE0O83. 设半径为a，介电常数为e 的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场 E0 的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。 E0zye 0ea84 两点电荷，位于轴上处，位于轴上处，求轴上点处的电场强度。85一个半径为的半圆上均匀分布着线电荷密度为，求垂直于圆平面的轴线上处的电场强度。86一个点电荷位于处，另一个点电荷位于处，求电位等于零的面；空间中有电场强度等于零的点吗？87真空中一个球心在原点的半径为的球面，在点和处分别放置点电荷和，试计算球赤道圆平面上电通密度的通量。88 试求半径为，带电量为的均匀带电球体的电场。89两无限长的同轴圆柱导体，半径分别为和（），内外导体间为空气，如题图所示。设同轴圆柱导体内、外导体上的电荷均匀分布，其电荷密度分别为和，求空间各处的电场强度；两导体间的电压；要使区域内电场强度等于零，则和应满足什么关系？ 90 半径分别为和（），球心距离为（）的两球面间均匀分布有体密度为的电荷，如题图所示。求空间各区域的电通量密度。91长度为的线电荷，电荷的线密度为，求（1）空间任一点的电位函数；（2）求线电荷平分面上的电位函数。92一半径为的薄导体球壳，在其内表面涂覆了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为的电荷，球壳上又另充了电量为的电荷，已知内部的电场为，计算球内电荷分布；球的外表面的电荷分布；球壳的电位；球心的电位。93 电场中有一半径为的圆柱体，已知圆柱内、外的电位为 求（1）圆柱体内、外的电场强度； （2）这个圆柱是由什么材料制成的？表面有电荷吗？试求之；94 电场中一半径为的介质球，已知球内、外的电位函数分别为此介质球表面的边界条件如何？计算球表面的电荷密度。95 设为两电介质的分界面，在的区域1中充满相对介电常数为的介质，而在的区域2中充满相对介电常数为的介质。已知区域1中的电通量密度为我们能求出区域2中哪些地方的和？能求出2中任意点处的和吗？96 两无限大平行板电极，距离为，电位分别为和，板间充满电荷密度为，如题图所示。求极板间的电位分布和极板上的电荷密度。97无限大空气平行板电容器的电容量为，将相对介电常数为的一块平板平行地插入两极板之间，如题图所示。（1）若保持电荷一定的条件下，使该电容器的电容值升为原值的2倍，问所插入板的厚度与电容器两板之间距离的比值为多少？ （2）若插入板的厚度，保持电容器电压不变的条件下，电容器的电容量将变为多少？98 同轴电容器内导体半径为，外导体内直径为，在部分填充介电常数为的电介质，求：单位长度的电容；若、，内外导体间所加电压为10000V，介质的相对介电常数为，空气的击穿场强为，介质的击穿场强为，问电介质是否会被击穿？99 在介电常数为的无限大均匀介质中，开有如下空腔：平行于的针形空腔；底面垂直于的薄盘形空腔；求各空腔中的和。100.一个有两层介质的平行板电容器，两种介质 的电导率分别为和，电容器极板的面积为，如题图所示。在外加电压为时，求：电容器的电场强度； 两种介质分界面上表面的自由电荷密度；电容器的漏电导；当满足参数时，问（为电容器电容）。101. 半球形电极位置靠近一直而深的陡壁，如题图所示。若，土壤的电导率，求接地电阻。102. 已知在所研究的区域没有电荷，问下列标量函数中哪些可能是电位函数的解？ （1） 圆柱坐标系（2） 球坐标系（3） 直角坐标系103 半径为和（）的两个同心球面之间充满了电导率为的材料（为常数），试求两理想导体球面间的电阻。104 设一点电荷与无限大接地导体平面的距离为，如题图所示。求：空间的电位分布和电场强度； 导体平面上的感应电荷密度；点电荷所受的力。 105 两无限大导体平板成角放置，在其内部、处有一点电荷，如题图所示。求：所有镜像电荷的位置和大小；、处的电位。 106 一个沿轴很长且中空的金属管，其横截面为矩形，管子的三边保持零电位，而第四边的电位为，如题图所示。当时，求管内的电位分布；当，再求管内的电位分布。 107 一沿轴方向无限长的导体槽，底面保持电位为，其余两面的电位为零，求槽内的电位函数。108 两平行的距离为的无限大导体平面，其间有一沿方向无限长的极薄的导体片由到，如题图所示。上板和薄片保持电位为，下板保持零电位，求板间的电位分布。设在薄片平面上，从到，电位线性变化，即。109 同轴圆柱电容器的内导体半径为，外导体半径为，两导体间区域中填充介电常数为的电介质，其余部分为空气，如题图所示 ，求单位长度的电容。110 一同轴线的内导体半径为，外导体半径为，电缆内充满击穿强度一定的均匀电介质。在一定的条件下，改变时电缆的耐压也会改变。试求电缆两导体间可忍受最大电压时的值。若电介质的击穿场强为的聚乙烯，则时耐压最大？求电缆所承受的最大电压。111. 同心导体球形电容器内球半径为a，外球半径为b，厚度可以忽略。内、外球之间的下半部分填充介电常数为 的电介质，内球带电荷Q，如题图所示。试求： （1）空间的场强分场； （2）空间的电位分布； （3）电容器的电容； （4）系统的静电能量。 112. 内外半径分别为b和c的导体球壳内同心放置一个半径为a，带电q的导体球，而球外包围了两种介质，如题图所示。求：（1）电场和电位分布； （2）导体球与球壳间的电容；