八上实数导学案教师用.doc

八年级上册数学导学案13.1平方根（1）执笔人：薛淑娜 审核人：【学习内容】课本P68-72【学习目标】1.了解数的算术平方根的定义，会用根号表示一个数的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性2.能利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根【学习重点】了解算术平方根的概念、性质、会用根号表示一个正数的算术平方根【学习难点】理解算术平方根的双重非负性 【学习过程】知识回顾目前为止我们已经学过哪几种运算？运算范围有没有限制？若有限制请说出运算范围探究研讨【活动1】学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？正方形的面积1 91636 边长这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（问题导入）自学教材，回答问题：1. 一般地，如果一个_ 数x的平方等于a，即=a，那么这个_叫做a的_a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数规定：_的算术平方根是0. 记作= 2.由以上定义可知如果=a，那么x就叫a的算术平方根吗？判断下列语句是否正确？5是25的算术平方根（ ） -6是36的算术平方根（ ）0.01是0.1的算术平方根（ ） -5是-25的算术平方根（ ）3.3的算术平方根可表示为 ，4的算术平方根可表示为 ，你还能表示出那些数的算术平方根？写在下面，和同座交流一下 4.试一试：你能根据等式：=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来 （巩固学生自学的成果，加深学生对算术平方根的定义的理解，加强对表示方法的训练）【活动2】例：求下列各数的算术平方根： （1）100；(2) ；(3) 0.0001 ； 0； （教师用1小题演示解题过程，注重求算术平方根的过程，和表示方法）跟踪训练1、 1.非负数的算术平方根表示为_，225的算术平方根是_，的算术平方根_，0的算术平方根是_2. 的算术平方根是（ ） A B C D3.若是49的算术平方根，则=（ ）A. 7 B. 7 C. 49 D.494.小明房间的面积为10.8米2，房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 .变式训练想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？ （进一步熟悉算术平方根的表示方法，能根据表示的意义求值）跟踪训练1.2.的算术平方根是_,3.若，则的算术平方根是（ ）A. 49 B. 53 C.7 D .【活动3】思考：4有算术算术平方根吗？为什么？总结：1.正数有 的算术平方根 0的算术平方根是 负数 具有双重非负性2.对于：a 0 0 跟踪训练1下列哪些数有算术平方根？0.03， -， ， 0， （-3）2，（-1）32.下列各式中无意义的是（ ）A B C. D3. 下列运算正确的是（ ）A B CD4.若下列各式有意义，在后面的横线上写出x的取值范围： 5.若，则a= ,b= , (此活动让学生理解并总结出算术平方根的性质，理解算术平方根的双重非负性并在此把绝对值、偶次方的非负性一起加以回顾，给学生纳入知识系统)提升能力1.一个自然数的算术平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_2.一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的9倍，它的边长变为原来的 倍，面积扩大为原来的n倍，它的边长变为原来的 倍.3.如图： ba0那么，有意义吗？4.要使代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.若，求的值。反思归纳1. 算术平方根的定义、表示方法和性质2. 求一个非负数的算术平方根3. 的双重非负性13.1平方根（2）执笔人：薛淑娜 审核人：【学习内容】课本P72-74【学习目标】1.理解有些非负数的算术平方根不是一个有理数3.能用逼近法估算（a不是完全平方数）的算术平方根的大小，增强数感【学习重点】能用逼近法估算（a不是完全平方数）的算术平方根的大小【学习难点】通过估算能比较类似（a不是完全平方数）的数的大小【学习过程】知识回顾1、算术平方根的意义及表示方法。2、说出下列各数的算术平方根。100 0.0049 42 探究研讨某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，按照如图，沿AE对折使点B落在点F的位置上,再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面积为90cm2,又测量剪下的多余的矩形纸片的面积为40cm2.请根据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.（从学生熟知的折纸问题入手，学生能够明确此题实质是求50的算术平方根，而 72=49,82=64,故50这个数既不是72,也不是82,由于495064,故此正方形的边长应大于7而小于8.到底它为多少呢?它是一个小数吗?你有什么办法确定这个值呢?由这一系列问题进入这节课要讨论的问题.）【活动1】怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形动手画一画，若确实不会，则学生间进行交流。问题1：画出拼成的大正方形的草图。问题2：你能求出大正方形的边长吗？（动动脑）把过程简要写一下。（学生思考交流，得出方法、列出方程） 解：设大正方形的边长为x，则有：讨论：有多大？（让学生思考讨论并估计大概有多大.教师介绍用夹逼法求的近似值的方法。关于是一个“无限不循环小数”要向学生详细说明为无理数的概念的提出打下基础）思考：你对正数a的算术平方根的结果有怎样的认识呢？（让学生明白：的结果有两种情：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。）巩固练习1.你能快速的说出下列各数的算术平方根吗？ 121 7 8你能求出7的算术平方根的值吗？它是一个 的数，近似值为 （精确到0.1）2.估算 的大小（全部精确到0.1），你还能估算出哪些数的大小？根据你估算的结果，用“”把这些数字连接起来（练习估算的方法，可以再让学生举一些例子；用“”把数字连接起来，为了把无理数比较大小做准备，便于观察规律，增强数感）总结：由上可知:两个非负数中较大的，它的算术平方根 （也较大/较小）比较大小： - 【活动2】例3小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,她可以怎样剪?若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2她又该怎样剪?只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗?（例题稍加变形，能使学生开阔思路，发散思维）提升能力1.比较与的大小2.若是的整数部分，是的小数部分，试确定、的值。3.某人开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2. (1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米) (2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少?(精确到0.01)反思归纳4. 当a不是一个完全平方数时，能用逼近法求的近似值5. 通过求近似值比较大小。规律：被开方数越大，算术平方根越大6. 体会数学来自生活，又用之生活的思想13.1平方根（3）执笔人：薛淑娜 审核人【学习内容】教材P72-74【学习目标】1.理解平方根的概念，了解平方与开平方的关系。2.学会平方根的表示法和求非负数的平方根。运用平方根的知识解决实际问题3.体会从一般到特殊的数学思想方法【学习重点】平方根的概念和表示方法【学习难点】求一个非负数的平方根【学习过程】知识回顾1.（ ）2=81 81的算术平方根是 （对算术平方根概念的回忆）2.求下列各数的算术平方根 0.25 225 （-5）2（为例4做准备；体会不同形式的数字的算术平方根的求法；回忆算术平方根的性质）3.求下列各式的值 -（为例5做准备）探究研讨【问题1】如果一个数的平方等于9，这个数是多少？（引导学生和上节课的问题作对比，看两者之间有什么区别和联系）填表x21 9 16 x总结平方根的概念： 例4：根据平方根的概念求下列各数的平方根 100 0.25（教师采用师生互动的方法利用第1小题师范解答过程）你还能举出其它的例子吗？【问题2】：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算和平方运算有什么关系？ ，可以用什么方法求一个数的平方根？（认识开平方运算，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系）【问题3】通过对例4的解答，你认为正数的平方根有什么特点？0的平方根呢？负数呢？（用教师的提问带动学生的进一步思考，得到平方根的性质，并得出平方根和算术平方根之间的关系）总结平方根的性质： 正数有 个平方根，它们 0的平方根是 负数 【问题4】用什么方法来表示正数的两个平方根呢？阅读课本P74“归纳”下面的一段话，回答下列问题：（自学平方根的表示方法，教师用两个问题提示学生最容易出错的两个问题） 在平方根的表示方法中，根号前面为什么会有两个性质符号？ 被开方数a为什么要大于或等于0 在数字下面的横线上，表示该数的平方根 400 0.81 2 （对平方根表示方法的练习）巩固练习 10的平方根可表示为 ；算术平方根为 ；负的平方根可表示为 （-4）2的平方根可表示为 ；算术平方根可表示为 ；负的平方根克表示为 例5：说出下列各式表示的意义，并求值 - （和课本例5稍微有些变化，让学生先说出式子表示的意义，加深学生对平方根表示方法的理解，培养学生的逆向思维）拓展延伸1、 课本P751-3题2、 判断下列说法是否正确 5是25的算术平方根 （ ）是的一个平方根 （ ）的平方根是4 （ ） 0的平方根与算术平方根都是0 （ ） 2、3、若，则，的平方根是能力提升1. x为何值时，下列各式有意义？2. 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由.-64 0 144 (- ) 2 3. 如果一个正数的两个平方根为和，请你求出这个正数4. 解方程 3x2-27=05.讨论：（1）（）2，（）2； （2），； 通过计算你有什么发现？（本组变式训练涉及到被开方数的非负性，平方根的性质和利用平方根解简单的一元二次方程，有利于学生对平方根更深层次的理解，其中1的小题；2的小题学生理解会有困难，教师可从式子表示的意义入手，帮助学生分析，第4题也是知识的提前渗透；5题通过学生的计算和交流得出结论：（）2a（a0）， ，同时再次体会平方运算和开方运算的互逆关系）反思归纳本节课学习内容平方根的概念（注意和算术平方根概念的区别和联系）认识开平方运算（清楚和平方运算互为逆运算）平方根的性质（正数的两个平方根互为相反数：正的平方根即为算术平方根；如果给出其中的一个平方根，另一个平方根即可知）平方根的表示方法：（a0）（不能丢符号）13.2立方根执笔人：薛淑娜 审核人：【学习内容】教材P77-79【学习目标】1.了解立方根的概念，能用根号表示一个数的立方根；了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；理解“两个互为相反数的立方根的关系2体会一个数的立方根的惟一性；分清一个数的立方根与平方根的区别3.渗透特殊-一般-特殊的思想方法。【学习重点】立方根的概念和求法。【学习难点】 立方根与平方根的区别。【学习过程】知识回顾说出下列各式表示的意义，并求值 （回忆平方根、算术平方根的概念、性质和表示方法,为立方根的学习做准备）探究研讨【活动1】要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？由以上问题，有x3=27，即x3=a的形式，和上节课学习的平方根（x2=a）有什么区别？（创设情境，提出问题，导入新课）【活动2】阅读课本P77-78“探究”以上的内容，理解以下知识1. 立方根（三次方根）的概念2. 什么是开立方运算？和立方运算有什么关系？3. 立方根有什么性质？与平方根有什么不同？4. 数的立方根用什么符号表示？与平方根有什么区别？（由于有平方根的基础，相信学生完全有能力自学，给学生充分的时间阅读教材，教师在关键之处加以点拨，充分利用文本，体现学生主体；）随学随练1.8有 个立方根，是 ，可以表示为 ，即： = （考察数的立方根的性质和表示方法）2.如果x3=8，那么x= 3.立方根等于本身的数为 4.-3是 的平方根，是 的立方根5.表示，并求出下列数的立方根 -10 0 -0.008（注意解题过程的指导，另外引导学生观察：有些数的立方根是开立方开不出来的，需带根号表示，如）6.下列说法中不正确的是（ ） （A） 8的立方根是2 （B） -8的立方根是-2 （C） 的立方根为2 （D ）125的立方根为57. 的绝对值是（ ）（A） 3 （B）-3 （C） （D） -【活动3】例：说出下列各式表示的意义并求值 （与课本P78例题稍微有些调整，使学生更好的了解立方根的意义）巩固练习1. 课本P79练习1题2. 求下列各式的值 +【活动4】探究因为所以 因为，所以 你能把发现的结论用含字母a的式子表示出来吗？ （学生通过计算可得结论：求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数）巩固练习1. 同学甲在计算上面例题的第2小题时，用了这种方法：=5，你认为这种方法 （正确/不正确），不正确的话怎样改正？同学乙在计算上面例题的第4小题时，用了这样的方法：= =你认为这种方法 （正确/不正确），不正确的话怎样改正？ 同学丙认为把立方根的性质=，扩展到平方根中也会有类似的性质，即 =，你认为正确吗？为什么？2. 计算+（可以鼓励学生用不同的方法）提升能力1. 当 时，有意义；当 时，有意义2.下列等式成立的是（ ） （A） =1 （B） =15 （C） =5 （D）=33.的立方根是 ，的平方根是 ，的立方根是 4.下列计算或命题中正确的有（ ）4都是64的立方根 =x 的立方根是3 =4（A） 1个 （B） 2个 （C）3个 （D）4个5.求下列各式中的x8x3+125=0 （x+3）3+27=06.已知16x3=9，y3=8，求x+y的值7.已知一个数的两个平方根分别是3a+1和a+11，求这个数的立方根8.计算下列两组式子，看看你会有什么发现？ （）3= （ ）3= （）3= = = = 你的发现是： 回忆：平方根有类似的性质吗？反思归纳1. 立方根的概念、表示方法和性质2. 体会立方根从概念、表示方法和性质等方面的区别3. 两个规律性的计算=；（）3=体会从特殊-一般-特殊的数学学习方法13.3实数（1）执笔人：孟晓明 审核人：【学习内容】课本P82-84【学习目标】1. 了解无理数和实数的概念2.会对实数按照一定的标准进行分类；知道实数和数轴上的点的关系.能估算无理数的大小3.了解实数范围内相反数和绝对值的意义【学习重点】正确理解实数的概念【学习难点】理解实数的概念; 体会数轴上的点与实数是一一对应的.【学习过程】【知识回顾】1、什么是有理数?如何分类?(板书)2、是这样的数么?【合作交流，解读探究】【活动1】探究：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， ， ， ， ， 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 ， ， ， ， ，归纳： 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.(板书)讨论：是不是有理数呢？为什么？归纳：不是整数，不是有限小数，也不是无限循环小数，所以不是有理数.是无限不循环小数（板书：无限不循环小数）.定义：无限不循环小数又叫无理数，也是无理数结论： 有理数和无理数统称为实数 学生举例：有理数 无理数 整理：试探练习，回授调节：1.填空： 在-19，3.878787，1.414，这些数中，有理数是 ； 无理数是 ；2.判断对错：对的画“”，错的画“”.(1)无理数都是无限小数. （ ）(2)无限小数都是无理数. （ ）(3)是无理数. （ ）(4)是无理数. （ ）(5)带根号的数都是无理数. （ ） (6)有理数都是实数. （ ）【活动2】我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？探究 1.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O，点O的坐标是多少？O O2.总结： 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的_表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示_，有些表示_当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是_的，即每一个实数都可以用数轴上的_来表示；反过来，数轴上的_都是表示一个实数 与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数_讨论： 当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？总结 数的相反数是_，这里表示任意_。一个正实数的绝对值是_；一个负实数的绝对值是它的_；0的绝对值是_【学以致用】 1、 的相反数是 ，绝对值 2、绝对值等于 的数是 ， 的平方是 3、4、求绝对值5.已知实数、在数轴上的位置如图所示：O化简 （答案：）6.下列说法正确的有（ ）不存在绝对值最小的无理数 不存在绝对值最小的实数不存在与本身的算术平方根相等的数 比正实数小的数都是负实数非负实数中最小的数是0A. 2个 B. 3个 C. 4个 D.5个【能力提升 】： 1、 把下列各数填入相应的集合内：有理数集合 无理数集合 整数集合 分数集合 实数集合 2、下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D. 3、已知四个命题，正确的有（ ）（1）有理数与无理数之和是无理数 有理数与无理数之积是无理数（3）无理数与无理数之积是无理数 无理数与无理数之积是无理数（5）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个4、若实数满足，则（ ）A. B. C. D. 【总结反思 】： 这节课你有什么新发现？知道了哪些新知识？ 无理数的特征:1圆周率及一些含有的数 2开不尽方的数3有一定的规律，但不循环的无限小数注意:带根号的数不一定是无理数13.3实数（2）执笔人：孟晓明 审核人：【学习内容】课本P85【学习目标】1. 了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。2. 会用计算器进行实数的运算。3. 进一步感受实数与数轴上的点一一对应的关系，体验数形结合的优越性。4. 发展学生的类比与归纳能力。【学习重点】实数的有关性质及利用实数的性质解决相关问题【学习难点】能准确无误地进行实数运算【学习过程】【知识回顾】1. 每一个无理数都可以用数轴上的 表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示 .实数与数轴上的点就是 的，即每一个实数都可以用 上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个 . 2、的相反数是 的相反数是 0的相反数是 = ，= ，0= 【合作交流，解读探究】【活动1】 教师提出问题，学生解决问题1、用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律2、用字母表示有理数的加法交换律和结合律3、平方差公式、完全平方公式4、有理数的混合运算顺序独立阅读教材85页文字段，归纳总结实数性质。 【活动2】例2、计算下列各式的值 （1）（+）- （2）+总结： 实数范围内的运算方法及运算顺序与在有理数范围内都是一样的例3、用精确度计算实数（结果保留两位小数） （1）、+ （2）、总结： 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算【拓展延伸】1.计算：(1)23； (2).（3）（4）提示 （3）式的结构是平方差的形式 （4）式的结构是完全平方的形式总结： 在实数范围内，乘法公式仍然适用【能力提升】1.计算：充分体现实数之间的各种运算，且正数和0可以进行开平方运算，任意一个数可以进行开立方运算。（1）（精确到0.01）；（2）（3）（4）(5)（2）3.2.化简：进一步体会数形结合的思想。O（1） 已知实数在数轴上的位置如下，化简（2）、已知、在数轴上如图，化简O 3. 应用：提升学生解决问题的能力。32451如图，平面上有四个点，它们的坐标分别是， .（1）顺次连接A、B、C、D围成的四边形是什么图形？（2）这个四边形的面积是多少？ （3）将这个四边形向上平移个单位长度， 四边形的四个顶点的坐标变为多少？【反思与归纳】1.本节课学习的内容主要是实数的运算2.学习方法：类比法3.主要体现的数学思想：数形结合 类比实数复习（1）执笔人：薛淑娜 审核人：【复习内容】平方根、立方根阶段复习【复习目标】1.进一步掌握平方根、立方根的有关概念、表示方法和性质。2.能熟练地进行开平方和开立方运算，掌握几种基本公式3.增强用数形结合方法分析问题的能力【学习重点】平方根、立方根的性质和运算【学习难点】几种基本公式的掌握【学习过程】（本节课属于学习完平方根、立方根之后的阶段性复习，内容侧重基础，旨在把前面前面较凌乱的知识点做一个系统归纳，所以设计了“知识点回顾”“几种运算规律的专题归纳”和“综合复习”三个模块。在前两个模块中，知识点分“块”处理。如“知识点回顾”中，分成算术平方根、平方根、立方根三块，以题带点；“几种运算规律的专题归纳”中几个公式则以点带题。这样学生能更清楚地归纳本章的知识点，及知识点间的关系）知识点回顾算术平方根1.的算术平方根为（ ）（A） （B） （C） （D）（）2算术平方根的定义： 2. 的算术平方根可表示为 ，即 = 算术平方根的表示方法： （用含a的式子表示）3. 有算术平方根吗？8的算术平方根是2吗？算术平方根具有 性，即被开方数a 0，本身 0，必须同时成立解决问题： 式子有意义，x的取值范围 已知：y=+3,求xy的值（此处回顾算术平方根的定义、性质、表示方法及双重非负的性质）平方根1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为 2.快速地表示并求出下列各式的平方根1 |5| 0.81 （9）2 平方根的定义： 平方根的表示方法 （用含a的式子表示）3.判断下列各数是否有平方根，并说明理由（-4）2 0 x2+1 -a2 平方根的性质： 4.用平方根定义解方程16（x+2）2=81 x2-225=0立方根1. 8的立方根是 ，表示为 立方根的定义： 立方根的表示方法： （用含a的式子表示）2.说出下列各式表示的意义并求值：= = = （）3= 3.如果有意义，x的取值范围为 立方根的性质： 4.用立方根的定义解方程（x-2）3=27 2（x+3）3=512(此处回顾立方根的定义、性质、表示方法）归纳几种运算规律 = = = = = = = 有关练习：1.= = 2.如果=a-3，则a ；如果=3-a,则a 3.数a,b在数轴上的位置如图：-1a120b 化简式子：+|8-b|（）2= （）2= （）2= = (a0)由上述计算可知，当满足 条件时，= = = = = = = = ； 有关练习：化简：当1a3时， + （）3= （）3= （）3= = 由上述计算可知，当满足 条件时，=课堂综合练习（也可作为课堂检测）1. 9的算术平方根是（ ） （A） 3 （B）3 （C） 3 （D）2.化简=（ ）（A）2 （B）4 （C） 2 （D） 43.化简= 4.下列各式正确的是（ ）（A）=-3 （B） =10 （C）= （D）=26-10=165. 49的平方根是 ，的平方根是 ，（-4）2的算术平方根是 6.已知b是a的一个平方根，那么a的平方根是 7. 的平方根是2，则a= 8.的立方根是 ，的立方根是 的平方根是 9.若m0，则m的立方根是 （A） （B） （C） （D）10.下列语句不正确的是（ ）（A） 没意义 （B）没意义（C）（a2+1）的立方根是 （D）（a2+1）的立方根是一个负数11.若a是（-3）2的平方根，则等于（ ）（A）3 （B） （C）或 （D）3或-312.若1a3，化简课题：实数复习(2) 执笔人：孟晓明 审核人：【复习内容】十三章实数【复习目标】 1.通过复习学生能够准确掌握数的开平方、开立方运算。 2