山东省济宁市高考数学一轮复习 第二讲 概率讲练 理 新人教A版.doc

第二讲 概率1、 随机事件的概率 1、概率和频率（1）在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数，称事件a出现的比例fn(a)为事件a出现的频率（2）对于给定的随机事件a，由于事件a发生的频率fn(a)随着试验次数的增加稳定于概率p(a)，因此可以用频率fn(a)来估计概率p(a)2、事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件a发生，则事件b一定发生，这时称事件b包含事件a(或称事件a包含于事件b)ba(或ab)相等关系若ba，且ab，那么称事件a与事件b相等ab并事件(和事件)某事件发生当且仅当事件a发生或事件b发生，则称此事件为事件a与事件b的并事件(或和事件)ab(或ab)交事件(积事件)某事件发生当且仅当事件a发生且事件b发生，则称此事件为事件a与事件b的交事件(或积事件)ab(或ab)互斥事件若ab为不可能事件，那么称事件a与事件b互斥ab对立事件若ab为不可能事件，ab为必然事件，那么称事件a与事件b互为对立事件互斥事件与对立事件区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件3、概率的几个基本性质（1）概率的取值范围：0p(a)1.（2）必然事件的概率p(e)1.（3）不可能事件的概率p(f)0.（4）概率的加法公式如果事件a与事件b互斥，则p(ab)p(a)p(b)（5）对立事件的概率若事件a与事件b互为对立事件，则p(a)1p(b)二、古典概型1、基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的（2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和古典概型中基本事件数的计算方法(1)列举法：此法适合于较简单的试验(2)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的探求(3)列表法：对于表达形式有明显二维特征的事件采用此法较为方便2、古典概型（1）定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 （2）古典概型的概率公式p(a).3、 几何概型 1、几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2、几何概型的两个基本特点几何概型的特点几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关3、几何概型的概率公式p(a).基础自测1袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为()a b c d【解析】至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生中两事件是对立事件【答案】b2(2010上海高考)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件a为“抽得红桃k”，事件b为“抽得为黑桃”，则概率p(ab)_(结果用最简分数表示)【解析】52张中抽一张的基本事件为52种，事件a为1种，事件b为13种，并且a与b互斥，所以p(ab)p(a)p(b).【答案】3(2013江西高考)集合a2,3，b1,2,3，从a，b中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()a. b. c. d.【解析】从a，b中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)2个基本事件，所以p.【答案】c4如图1031，矩形abcd中，点e为边cd的中点若在矩形abcd内部随机取一个点q，则点q取自abe内部的概率等于()a. b.c. d.【解析】“点q取自abe内部”记为事件m，由几何概型得p(m).【答案】c考点一 互斥事件与对立事件的概率例 国家射击队的队员为在第51届射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率【思路点拨】该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率另外，当直接求解不容易时，可先求其对立事件的概率【尝试解答】记事件“射击一次，命中k环”为ak(kn，k10)，则事件ak彼此互斥(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件a，那么当a9，a10之一发生时，事件a发生，由互斥事件的加法公式得p(a)p(a9)p(a10)0.280.320.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为b，则表示事件“射击一次，命中不足8环”又ba8a9a10，由互斥事件概率的加法公式得p(b)p(a8)p(a9)p(a10)0.180.280.320.78.p()1p(b)10.780.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.方法与技巧1.解答本题时，首先应正确判断各事件的关系，然后把所求事件用已知概率的事件表示，最后用概率加法公式求解.2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由p(a)1p()求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.跟踪练习某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？【解】(1)记“在窗口等候的人数i”为事件ai1，i0,1,2，它们彼此互斥，则至多2人排队等候的概率为p(a1a2a3)p(a1)p(a2)p(a3)0.10.160.30.56.(2)至少3人排队等候的概率为1p(a1a2a3)10.560.44.考点二 古典概型的概率例 (2013山东高考)某小组共有 a，b，c，d，e五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：abcde身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率【思路点拨】依题意，所求事件的概率满足古典概型，分别求基本事件总数与所求事件所包含的基本事件个数m，进而利用古典概型概率公式计算【尝试解答】(1)从身高低于1.80的同学中任取2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6个由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人身高都在1.78以下的事件有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3个因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p.(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的事件有(c，d)，(c，e)，(d，e)，共3个因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9)中的概率为p .方法与技巧求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件a包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.跟踪练习 2014山东卷 海关对同时从a，b，c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测地区abc数量50150100(1)求这6件样品中来自a，b，c各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：501，1503，1002.所以a，b，c三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)设6件来自a，b，c三个地区的样品分别为：a；b1，b2，b3；c1，c2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：a，b1，a，b2，a，b3，a，c1，a，c2，b1，b2，b1，b3，b1，c1，b1，c2，b2，b3b2，c1，b2，c2，b3，c1，b3，c2，c1，c2，共15个每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件d为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件d包含的基本事件有b1，b2，b1，b3，b2，b3，c1，c2，共4个所以p(d)，即这2件商品来自相同地区的概率为.考点三 几何概型例2014湖南卷 在区间2，3上随机