微分中值定理及其应用.doc

第六章 微分中值定理及其应用目的与要求 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。重点与难点 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。第一节 拉格朗日定理和函数的单调性一 罗尔定理与拉格朗日定理数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。1 回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:定理 ( Fermat ) 设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导，若点为的极值点，则必有.2 罗尔中值定理：若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3），则在内至少存在一点，使得.（分析）由条件（1）知在上有最大值和最小值，再由条件（2）及（3），应用费马定理便可得到结论。证明：因为在上连续，所以有最大值与最小值，分别用与表示.现分两种情况讨论：(1) 若, 则在上必为常数，从而结论显然成立。(2) 若，则因，使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点，由条件(ii) 在点处可导，故由费马定理推知.注1 罗尔定理的几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注2 习惯上把结论中的称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，例如：易见，在不连续，在不可导，,即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在内存在点, 满足注3 罗尔定理结论中的值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个.例如：在上满足罗尔定理的条件，显然 在内存在无限多个使得。3 拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得（分析）罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特殊情况，应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数，使得满足罗尔定理的条件（1）-(3) 且.从而推得 证明：作辅助函数 显然，且在上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点，使得即.注1 罗尔定理是拉格朗日中值定理时的特例注2 拉格朗日中值定理的几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线，我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线与直线：之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系绕原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段平行于新轴（）。注3 此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4 拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用： 注5 拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：在开区间可导可以推出在连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉，改成“函数在可导且在右连续在左连续”这样，两个条件互相独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。4 中值定理的简单应用例 证明对一切成立不等式.证 设,则 当时,由可推得 ,从而有 当时,由可推得, 从而有 于是对一切成立不等式.5 拉格朗日中值定理的几个重要推论推论1 函数在区间上可导且,为上的常值函数. 证明： 任取两点（设），在区间上应用拉格朗日中值定理，存在，使得这就证得在区间上任何两点之值相等,即为上的常值函数.推论2 函数和在区间上可导且则其中为某一常数.推论3（导数极限定理） 设函数在点的某邻域内连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且证明：分别按左右导数来证明上式成立（1） 任取，在上满足拉格朗日中值定理条件，则存在，使得由于，因此当时随之有，对上式两边取极限，使得即 （2）同理可得因为存在，所以，从而即,也即.注1 由推论3可知：在区间上的导函数在上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。注2 导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。例 求分段函数的导数.解 首先易得 进一步考虑在处的导数.在此之前,我们只能依赖导数定义来处理,现在则可以利用导数极限定理来解决.由于 因此在处连续,又因为 所以,依导数极限定理可知在处可导,且.注 若把在处改为即则在处仍连续. 但是由于从而 从而在的导数不存在. 但是在的左、右导数都存在所以不存在.二 可微函数单调性判别法：1单调递增(减)函数的判别：定理 1设函数在区间内可导. 则在内单调递增(或单调递减)在内( 或).证明：必要性若在内单调递增,则有 充分性若在内则对任意有在上单调递增。例1 设讨论它的单调区间。解 当时, ,单调递增,当时, ,单调递减, 当时, ,单调递增.例 2 求函数 的单调区间。2 严格单调递增(减)函数的判别定理2 设函数在区间内可导. 则在内严格单调递增( 或严格单调递减)的充要条件是1）,有( 或) 2） 在内任子区间上不恒等于零.推论 设函数在区间上可微,若,则在区间上严格单调递增( 或严格单调递减).注 若在区间上(严格)单调递增(减),且在点右连续,则在上亦为(严格)单调递增(减),对右端点可类似讨论.例 证明不等式 证明： 设 .故当时 递增 当时故当时 递减 当时于是当时,有 即 故当时,总有. 作业 p124 1、2、4、5、6、7第二节 柯西中值定理和不等式极限一 柯西中值定理 1 柯西中值定理定理6.5 设函数、满足(1) 在区间上连续，(2) 在内可导(3) 、不同时为零;(4) 则至少存在一点使得 2 柯西中值定理的几何意义： 设曲线由参数方程 给出，除端点外处处有不垂直于轴的切线，则在曲线上存在一点处的切线平行于割线.注意曲线在点处的切线的斜率为，而割线的斜率为 故柯西中值定理的几何意义是： 用参数方程 表示的曲线上至少有一点,使得在该点的切线平行于曲线两端的弦. 3 柯西中值定理的证明受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下：由于，类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 容易验证满足罗尔定理的条件且 根据罗尔定理，至少有一点使得 ，即 由此得 注： 在柯西中值定理中，取，则 可写成 这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，则 . 这恰恰是罗尔定理.4 柯西中值定理的应用例 1 设函数在区间上连续, 在内可导, 则存在,使得 .证 设,显然它在上与一起满足柯西中值定理的条件,于是存在,使得 即存在使得.二 不定式的极限 1 型不定式的极限定理 6.6 (Hospital法则 ) 若函数和满足：(1) (2) 在点的某空心邻域内两者都可导，且；(3) (可为实数，也可为）则( 证 ) 注意: 若将定理中的换成,，只要相应地修正条件(2)中的邻域，也可以得到同样的结论。例1 例2 例3 ( 作代换或利用等价无穷小代换直接计算)例4 (Hospital法则失效的例 )2 型不定式的极限定理 6.7 (Hospital法则 ) 若函数和满足：(1) (2) 在点的某右邻域内两者都可导，且；(3) (可为实数，也可为）则注意: 若将定理中的换成,，只要相应地修正条件(2)中的邻域，也可以得到同样的结论。如果,满足定理 6.7的条件,可以再次应用定理 6.7.例5 例6 注 1 不存在，并不能说明不存在（为什么？）注2 不能对任何比式极限都按洛必达法则来求，首先要注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则条件.例 求极限 (Hospital法则失效的例 )3 其他类型不定式的极限不定式的极限还有,等类型.例7 例8例9 例10 例11 例12 设且，求.解 注1 但是这种解法是错误的.因为,只能保证在的导数存在,但不能保证在的邻域内的导数也存在.若增加条件存在就可以了.注2 由保证了为型不定式.例13 注 不能在数列形式下直接用洛必达法则,因为对于离散变量是无法求导数的. 作业 p132 1、2、3、4、5、6、7、8、9第三节 泰勒公式 一 问题和任务 容易验证多项式函数 对一般函数上面的结果能否成立或近似成立呢？若一个函数能用多项式近似，则对函数的计算、性质的研究就会大大简化。二 泰勒多项式 定义 泰勒多项式及麦克劳林多项式 设函数在点存在直到阶的导数，由这些导数构造一个次多项式 称为函数在点处的泰勒多项式，的各项系数称为泰勒系数.特别地函数在点处的泰勒多项式称为麦克劳林多项式. 例1 求函数在点的泰勒多项式. 三 泰勒公式和误差（余项）估计: 称 为余项. 称给出的定量或定性描述的式子为函数的泰勒公式. 1 余项的定性描述的泰勒公式 定理 若函数在点的某邻域内具有阶导数, 且存在, 则 ,即 证 设, . 应用 Hospital法则次, 并注意到 存在, 就有所以 称为泰勒公式的佩亚诺型余项, 相应的麦克劳林公式的佩亚诺型型余项为 . 并称带有这种形式余项的泰勒公式为具佩亚诺型型余项的泰勒公式( 或麦克劳林公式 ).2 余项的定量刻画的泰勒公式 定理 设函数满足条件: 1 在闭区间 上有直到 阶连续导数; 2 在开区间 内有阶导数. 则对任意给定的,至少存在一点使 证 见p138-139称这种形式的余项为拉格朗日型余项. 并称带有这种形式余项的泰勒公式为具有拉格朗日型余项的泰勒公式. 拉格朗日型余项还可写为 . 当时, 称上述泰勒公式为麦克劳林公式, 此时余项常写为 . 四. 函数的泰勒公式( 或麦克劳林公式 )展开: 1. 直接展开: 例2 求 的麦克劳林公式.解 . 例3 求的麦克劳林公式.解 , .例4 求函数的具佩亚诺型余项的麦克劳林公式 . 解 , . 例5 把函数展开成含项的具佩亚诺型余项的麦克劳林公式 2 间接展开 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式. 例6 把函数展开成含项的具佩亚诺型余项的麦克劳林公式 . 解 , . 例7 把函数展开成含项的具佩亚诺型余项的麦克劳林公式 . 解 , (注意,) 所以 例8 先把函数展开成具佩亚诺型余项的麦克劳林公式 . 利用得到的展开式,把函数在点展开成具佩亚诺型余项的泰勒公式.解 , . 五 泰勒公式应用举例: 1 证明是无理数 例9 证明是无理数.证 把 展开成具有拉格朗日型余项的麦克劳林公式, 有 从而有 假设是有理数, 即(和为正整数), 就有整数 +.,是整数. 于是, 整数=整数整数=整数.但由,因而当时，不可能是整数. 矛盾.所以是无理数.2 计算函数的近似值: 例10 求精确到的近似值.解 注意到有. 为使,只要取. 现取, 即得数精确到的近似值为 .3 利用Taylor公式求极限 例11 求极限 解 所以 例12 求极限解 作业 p141 1、2、3、5第四节 函数的极值与最大(小)值一 可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少.1 可微极值点的必要条件: Fermat定理.函数的驻点和(连续但)不可导点统称为稳定点, 稳定点的求法.2 极值点的充分条件: 对每个稳定点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.定理6.10 (充分条件) 设函数在点连续, 在邻域和内可导. 则 1） 在内在内时, 为的一个极小值点； 2） 在内在内时, 为的一个极大值点； 3） 若在上述两个区间内同号, 则不是极值点.定理6.11 (充分条件) 设点为函数的驻点且存在，则 1） 当时, 为的一个极大值点; 2） 当时, 为的一个极小值点.证法一 当时, 在点的某空心邻域内与异号,证法二 用泰勒公式展开到二阶, 带佩亚诺型余项.例1 求函数的极值点与极值。第一步：求导，找出稳定点和不可导点稳定点, 不可导点利用极值充分条件决定极大极小 , 算出极值由此例看出，函数也可能在不可导点取得极值, 于是得出结论：分段光滑函数的极值点的必要条件是: 它是稳定点或不可导点.例 2 求函数的极值点与极值。第一步 对函数求导, 找出稳定点和不可导点稳定点 定理 6.12 (充分条件 ) 设,而.则 1） 为奇数时, 不是极值点; 2） 为偶数时, 是极值点. 且对应极小, 对应极大.例3 求函数的极值二 最大值最小值函数的最大最小值可能发生在稳定点处，不可导点处， 也可能发生在区间的端点。因此, 函数的最大最小值点应从：稳定点, 不可导点, 端点中去寻找， 这三种点中，函数取最大者为函数的最大点，取最小者为函数的最小值点.因此求解最大最小点的步骤应为:第一步 求出稳定点, 不可导点和端点第二步 算出这些点处的函数值, 其中最大者就是最大值, 最小者就是最小值例 4 求函数在区间上的最大与最小值.解：此函数是绝对值函数,且, 所以是角点, 是不可导点，再求函数的稳定点,稳定点为,和计算稳定点, 不可导点, 端点的函数值, 决定出最大最小值最小值是, 最大值是.例5 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10,燃料费为每小时6元,而其他与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航行1所消耗的费用最小? 例6 剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子,问剪去小正方形的边长为何值时,可使盒子的容积最大.作业 p146 1、4、6、7、8、9第五节函数的凸性与拐点 一函数的凸性的定义及判定：1 函数的凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数在区间上连续. 若和恒有 则称函数为区间上的凸函数, 反之, 如果总有 则称函数为区间上的凹函数. 若在上式中, 当时, 有严格不等号成立, 则称函数为区间上的严格凸 (或严格凹) 函数. 函数的凸性的几何意义: 倘有切线，考虑与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向. 2 函数的凸性的判定引理 为区间上的凸函数的充要条件是:对上任意三点:, 总有 证明: 必要性充分性定理6.13 设函数在区间上可导, 则下面条件等价:(1) 为上凸函数；(2)为上的增函数；(3) 对上的任意两点有 证明 利用二阶导数判断曲线的凸向:定理 6.14 设函数在区间内存在二阶导数, 则在内 （1）在内严格凸函数;（2）在内严格凹函数.证法一 ( 用Taylor公式 ) 对设, 把在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有 其中和在与之间. 注意到, 就有 ,于是, 若有上式中 ,即严格凹函数. 若有上式中 ,即严格凸函数.证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若则有为递增函数.不妨设,并设,分别在区间和上应用Lagrange中值定理, 有 使得 使得 .由 又由， ， 即，为严格凸函数.类似可证的情况.二 曲线的拐点:1 拐点的定义.例1 确定函数的凸、凹区间和拐点.解 的定义域为 ，. 令, 解得 ，.在区间，内的符号依次为，所以函数的凹区间为，凸区间为，. 拐点为: ，.倘若注意到本题中的是奇函数, 可使解答更为简捷.2 Jensen不等式及其应用:Jensen不等式: 设函数为区间上的凸函数, 则对任意, 有Jensen不等式: 且等号当且仅当时成立.证明 令 , 把表为点处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的证明，注意即得所证.例1 证明: 对有不等式.例2 证明均值不等式: 对, 有均值不等式 .证 先证不等式.取.在内严格凹, 由Jensen不等式, 有 .由严格单调增加,所以. 对用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.例3 证明: 对, 有不等式. ( 平方根平均值 )例4 设，证明.解 取, 则为凸函数，应用Jensen不等式.有 即 ，故.例5 在中, 求证.解 考虑函数，所以在区间内为凹函数, 由Jens