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_ 一次函数复习专题【基础知识回顾】一、 一次函数的定义: 一般的：如果y= （ ），那么y叫x的一次函数特别的：当b= 时，一次函数就变为y=kx(k0)，这时y叫x的 【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=0时，它才是正比例函数】二、一次函数的同象及性质：1、一次函数y=kx+b的同象是经过点（0，b）（-，0）的一条 ，正比例函数y= kx的同象是经过点 和 的一条直线。【名师提醒：因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取 个特殊的点，过这两个点画一条直线即可】2、正比例函数y= kx(k0)，当k0时，其同象过 、 象限，此时时y随x的增大而 ；当k0 b0过 象限、k0 b0过 象限 y随x的增大而 、k0过 象限、k0过 象限4、若直线l1：y= k1x+ b1与l2：y= k2x+ b2平行，则k1 k2，若k1k2，则l1与l2 【名师提醒：y随x的变化情况，只取决于 的符号与 无关，而直线的平移，只改变 的值 的值不变】三、用待定系数法求一次函数解析式：关键：确定一次函数y= kx+ b中的字母 与 的值 步骤：1、设一次函数表达式 2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式 3、解关于系数的方程或方程组 4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中四、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组 1、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或y 代入y= kx+ b中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。 2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b0或kx+ b0即一次函数图象位于x轴上方或下方时相应的x的取值范围，反之也成立3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题】五、一次函数的应用 一般步骤：1、设定问题中的变量 2、建立一次函数关系式 3、确定自变量的取值范围 4、利用函数性质解决问题 5、作答【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案设计问题等】【重点考点例析】 考点一：一次函数的图象和性质例1 （2015大庆）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A它的图象必经过点（-1，3）B它的图象经过第一、二、三象限C当x1时，y0Dy的值随x值的增大而增大对应训练1（2015徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（）Ay=2x+8By=-2+4xCy=-2x+8Dy=4x考点二：一次函数的图象和系数的关系例2 （2015莆田）如图，一次函数y=（m-2）x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（）Am0Bm0Cm2Dm2例3 （2015遵义）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=- x图象上的两点，下列判断中，正确的是（）Ay1y2By1y2C当x1x2时，y1y2D当x1x2时，y1y2对应训练2（2015眉山）若实数a，b，c满足a+b+c=0，且abc，则函数y=cx+a的图象可能是（）ABCD3（2015福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（）Aa0Ba0Cb=0Dab0 考点三：一次函数解析式的确定例4 （2015常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k0）的图象经过点A（0，-2）和点B（1，0），则k= 2，b= -2对应训练4（2013重庆）已知正比例函数y=kx（k0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（）Ay=2xBy=-2xCy= xDy=- x考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系例5 （2015黔西南州）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2xax+4的解集为（）AxBx3Cx Dx3例6 （2015荆州）体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人，若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是（）进球数012345人数15xy32Ay=x+9与y=x+By=-x+9与y=x+ Cy=-x+9与y=- x+ Dy=x+9与y=- x+ 思路分析：根据一共20个人，进球49个列出关于x、y的方程即可得到答案解：根据进球总数为49个得：2x+3y=49-5-34-25=22，整理得：y=- x+ ，20人一组进行足球比赛，1+5+x+y+3+2=20，整理得：y=-x+9故选C点评：本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题目列出方程并整理成函数的形式对应训练5（2015武汉）直线y=2x+b经过点（3，5），求关于x的不等式2x+b0的解集6（2015青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是 y=-x考点五：一次函数综合题例7 （2015绥化）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OAOC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标（1）C（0，6）；（2）直线MN的解析式为y=-x+6；（3）A（8，0），C（0，6），根据题意知B（8，6）点P在直线MNy=-x+6上，设P（a，-a+6）如图，当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；当PC=BC时，a2+（-a+6-6）2=64，解得，a=，则P2（-，），P3（，）；当PB=BC时，（a-8）2+（-a+6-6）2=64，解得，a=，则-a+6=-，P4（，-）综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（-，），P3（，），P4（，-）对应训练7（2015齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OAOB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-（ +1）x+ =0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由7解：（1）x2-（+1）x+=0，（x-）（x-1）=0，解得x1=，x2=1，OAOB，OA=1，OB=，A（1，0），B（0，），AB=2，又AB：AC=1：2，AC=4，C（-3，0）；（2）由题意得：CM=t，CB=2当点M在CB边上时，S=2-t（0t2）；当点M在CB边的延长线上时，S=t-2（t2）；（3）存在，Q1（-1，0），Q2（1，-2），Q3（1，2），Q1（1，）考点六：一次函数的应用例8 （2015株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？对应训练8（2015湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游从家出发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式【聚焦山东中考】1（2015菏泽）一条直线y=kx+b，其中k+b=-5、kb=6，那么该直线经过（）A第二、四象限B第一、二、三象限C第一、三象限D第二、三、四象限2（2015潍坊）设点A（x1，y1）和B（x2，y2）是反比例函数y= 图象上的两个点，当x1x20时，y1y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（2015潍坊）一次函数y=-2x+b中，当x=1时，y1，当x=-1时，y0则b的取值范围是 -2b34（2015泰安）把直线y=-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（）A1m7B3m4Cm1Dm45（2015威海）甲、乙两辆摩托车同时从相距20km的A，B两地出发，相向而行图中l1，l2分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系则下列说法错误的是（）A乙摩托车的速度较快B经过0.3小时甲摩托车行驶到A，B两地的中点C经过0.25小时两摩托车相遇D当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地 km6（2015临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x（单位：台）102030y（单位：万元台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该机器的生产数量；（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元台）之间满足如图所示的函数关系该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润（注：利润=售价-成本）6解：（1）y=-x+65该机器生产数量至少为10台，但不超过70台，10x70；（2）由题意，得xy=2000，-x2+65x=2000，-x2+130x-4000=0，解得：x1=50，x2=8070（舍去）答：该机器的生产数量为50台；（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元台）之间的函数关系式为z=ka+b，由函数图象，得， 解得：，z=-a+90当z=25时，a=65当x=50时，y=40总利润为：25（65-40）=625万元答：该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元7（2015滨州）根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30求直线l3的函数表达式；把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90得到的直线l4，求直线l4的函数表达式（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线y=- x垂直的直线l5的函数表达式7解：（1）根据题意得：y=-x；（2）设直线l3的函数表达式为y=k1x（k10），过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30，直线过一、三象限，k1=tan30=，直线l3的函数表达式为y=x；l3与l4的夹角是为90，l4与x轴的夹角是为60，设l4的解析式为y=k2x（k20），直线l4过二、四象限，k2=-tan60=-，直线l4的函数表达式为y=-x；（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，过原点且与直线y=-x垂直的直线l5的函数表达式为y=5x8（2015济宁）如图，直线y=-x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值8解：（1）直线y=-x+4与坐标轴分别交于点A、B，x=0时，y=4，y=0时，x=8，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，EPBO，AP=2t，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，点P运动的速度是每秒2个单位长度； （2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则OQ=FQ=t，PA=2t，QP=8-t-2t=8-3t，8-3t=t，解得：t=2，如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，OQ=t，PA=2t，OP=8-2t，QP=t-（8-2t）=3t-8，t=3t-8，解得：t=4；（3）如图1，当Q在P点的左边时，OQ=t，PA=2t，QP=8-t-2t=8-3t，S矩形PEFQ=QPQF=（8-3t）t=8t-3t2，当t=-时， S矩形PEFQ的最大值为：，如图2，当Q在P点的右边时，OQ=t，PA=2t，QP=t-（8-2t）=3t-8，S矩形PEFQ=QPQE=（3t-8）t=3t2-8t，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，0t4，当t=-时，S矩形PEFQ的最小，t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：342-84=16，综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16【备考真题过关】一、选择题1（2015湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为（）A-B-2C D22（2015陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（）Am0，n0Bm0，n0Cm0，n0Dm0，n03（2015荆门）若反比例函数y=的图象过点（-2，1），则一次函数y=kx-k的图象过（）A第一、二、四象限B第一、三、四象限C第二、三、四象限D第一、二、三象限4（2015黔东南州）直线y=-2x+m与直线y=2x-1的交点在第四象限，则m的取值范围是（）Am-1Bm1C-1m1D-1m15（2015十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示以下说法错误的是（）A加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=-8t+25B途中加油21升C汽车加油后还可行驶4小时D汽车到达乙地时油箱中还余油6升6（2015天门）小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行他们的路程差s（米）与小文出发时间t（分）之间的函数关系如图所示下列说法：小亮先到达青少年宫；小亮的速度是小文速度的2.5倍；a=24；b=480其中正确的是（）ABCD二、填空题7（2015资阳）在一次函数y=（2-k）x+1中，y随x的增大而增大，则k的取值范围为 k28（2015天津）若一次函数y=kx+1（k为常数，k0）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是 k09（2015鞍山）在一次函数y=kx+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第 四象限10（2015珠海）已知，函数y=3x的图象经过点A（-1，y1），点B（-2，y2），则y1 y2（填“”“”或“=”）11（2015永州）已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，-1），B（-1，3）两点，则k 0（填“”或“”）12（2015昆明）已知正比例函数y=kx的图象经过点A（-1，2），则正比例函数的解析式为 y=-2x13（2015成都）已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a0）上，则 的值为 14（2015包头）如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D若DB=DC，则直线CD的函数解析式为 y=-2x-215（2015温州）如图，在平面直角坐标系中，ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-2，0），（-1，0），BCx轴，将ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到ABC（A和A，B和B，C和C分别是对应顶点），直线y=x+b经过点A，C，则点C的坐标是 （1，3）16（2015孝感）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系那么，从关闭进水管起 8分钟该容器内的水恰好放完17（2015随州）甲乙两地相距50千米星期天上午8：00小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y（千米）与小聪行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，小明父亲出发 小时时，行进中的两车相距8千米三、解答题18（2015厦门）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图所示当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围18解：0x3时，设y=mx，则3m=15，解得m=5，所以，y=5x，3x12时，设y=kx+b，函数图象经过点（3，15），（12，0），解得，所以，y=-x+20，当y=5时，由5x=5得，x=1，由-x+20=5得，x=9，所以，当容器内的水量大于5升时，时间x的取值范围是1x919（2015湘潭）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润19解：（1）设y=kx+b（k0），由图象可知， 解得，故销售量y与定价x之间的函数关系式是：y=-2x+32；（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：W=（-2x+32）（13-10）=-6x+9620（2015盐城）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系求y与x之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=销售收入-进货金额）20解：（1）设现在实际购进这种水果每千克x元，则原来购进这种水果每千克（x+2）元，由题意，得80（x+2）=88x，解得x=20故现在实际购进