13.4课题学习：最短路径问题.docx

13.4课题学习最短路径问题教学设计一、教学目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题。2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用。3.体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。二、重点难点：重点：1.能将实际问题抽象为数学问题；2.能通过逻辑推理证明所求距离最短。难点：能通过逻辑推理证明所求距离最短，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。三、教学过程：(一)回顾与思考：1.点到点：两点之间，线段最短。练习一：两个村庄之间要修一条公路，怎样设计才能最省材料？先将实际问题转化为数学问题，将村庄用点来表示，最后利用“两点之间，线段最短”解决。2. 点到线：垂线段最短。练习二：从河边引水到村庄里，怎样铺设管道才能最省材料？ 同样先将实际问题转化为数学问题，将村庄用点表示，河流用直线表示，最后利用“垂线段最短”解决。3.思考：同学们觉得上述两个问题有什么共同特点，解决方法有什么类似之处？ 都是将实际问题转化为数学问题，从而解决了实际问题。设计意图：回顾反思，掌握知识点间的联系，用问题的形式，引起学生的注意，激发学生探索数学奥秘的热情。(2) 过程探究1、 课例探究探究1. 要在燃气管道l上修建一个泵站C，分别向A、B两镇供气，泵站C修在管道l的什么地方，可以最省材料？转化猜想尝试验证总结请把你的猜想在练习纸上尝试一下，画一画。 A l B设计意图：通过添加一条直线，利用学过的“两点之间，线段最短”解决这一类实际问题，体会以不变应万变的数学方法。 探究2.如图，要在燃气管道l上修建一个泵站C，分别向A、B两镇供气，泵站C修在管道l的什么地方，可以最节省材料？B A l 猜想一下，点C的位置会在哪儿呢？ 请把你的猜想在练习纸上尝试一下，画一画，量一量。设计意图：在探究一的基础上，改变点的位置，引导学生用已有的经验和方法解决类似的问题，体会思考问题、解决问题的方法。探究3.在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，若泵站修在点C处最省材料，你知道点C是怎么找到的吗？试着画一画吧 B A L C 求：线段AC+BC最短。 证明：在l上任取另一点C， 连结BC、AC、BC 直线MN是点B、B的对称轴，点C、C在对称轴上， BC=BC，BC=BC BC+AC=BC+AC=AB BC+AC=BC+AC 在ABC中，AC+BC AB 即：AC+BC AC+BC问：通过以上几个问题的探究、学习，请同学们总结一下，解决类似最短路径问题时，应采用什么方法，具体步骤是什么？设计意图：在探究二的方法选择遇到困难的基础上，给出C点的正确位置，引导学生用已有的经验和方法去验证能否刚好得到C点，最终确定可行的方法，并通过推理验证其正确性和唯一性。总结归纳：解决最短路径问题的基本步骤：1.实际问题-数学问题（点、线）；2.未知-已知；3.利用轴对称变换将“折”线段转化为“直”线段；4.根据“两点之间，线段最短” ，确定最短路径。设计意图：通过小组合作，学生经历了思考，探索，总结的过程，加强团队合作，提升自主学习的信心。2、练习巩固：练习1.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，求点P的位置.设计意图：将新知应用到平面直角坐标系中，找到问题中的直线，会确定该问题的类型并利用新知解决。练习2. 已知：P、Q是ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使PQR的周长最短吗？设计意图：将图形变换为三角形，让学生在更复杂的图形下，找出基本图形，从而用新知解决问题。练习3.已知等腰ABC，AB=AC,AD是BC边上的高，E是AB边上的中点，(1)在AD上找到点p，使PB+PE最短；(2)在AC上找到点p1，使PB+PE最短。设计意图：应用轴对称的知识方法，解决不同类型的最短路径问题，从轴对称的“桥梁”作用中，感悟转化思想。（三）课堂小结：老师和学生一起回忆：(1)我们学到了什么知识？最短路径问题的基本模型：（同侧） B A l（异侧）A l B（2）我们掌握了什么方法？ 利用