控制系统的李雅普诺夫稳定性分析.ppt

预备知识 控制系统的李雅普诺夫 Lyapunov 稳定性分析 ModernControlTheory 李雅普诺夫意义下的稳定性平衡状态稳定 渐近稳定 大范围稳定 不稳定的定义李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫第一法线性系统的稳定判据非线性系统的稳定判据李雅普诺夫第二法预备知识几个稳定判据线性系统的李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用 主要内容 引言 稳定性 表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态 而在扰动消失后 系统本身仍有能力恢复到平衡状态的一种 顽性 属于系统的基本结构特性 而与输入作用无关 不同的稳定性概念 1 李雅普诺夫意义下的稳定性 内部稳定性 2 输入输出稳定性 外部稳定性研究的目的和意义 稳定性是一个自动控制系统正常工作的首要 必要条件 是一个重要特征 要求 在受到外界扰动后 虽然其原平衡状态被打破 但在扰动消失后 仍然能恢复到原来的平衡状态 或者趋于另一平衡状态继续工作 引言 经典控制理论判别稳定性的方法 劳斯判据奈魁斯特判据对数频率判据根轨迹法适用范围 线性定常系统 不适用于非线性和时变系统 描述函数法 又称谐波平衡法 只适用于非线性程度较低的系统 相平面法 只适合于一阶 二阶非线性系统 引言 俄国学者李雅普诺夫Lyapunov 1857 1918 1892年在博士论文中提出稳定性理论 不仅适用于单变量线性系统 还适用于多变量 非线性 时变系统 是确定系统稳定性的更一般性理论 1907 15年后 出版了法文版1992 100年后 出版了英文版当今任何一本控制期刊都有李雅普诺夫的名字 引言 Lyapunov稳定性方法主要内容 通过求解特征方程的特征值 利用其性质判断系统的稳定性 间接法 不求解微分方程 而利用经验和技巧构造能量函数 李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性 直接法 其基本思路和分析方法与经典理论一致 特别适用于非线性系统和时变系统 因其状态方程求解困难 对任意阶线性或非线性 定常或时变系统的稳定性分析均适用的一般性方法 引言 2 初态 的解为初态 一 李雅普诺夫意义下的稳定性 一 几个基本概念 其解表示为 1 自治系统 不受外部影响即没有输入作用的一类动态系统 其状态方程描述为 只需考虑自治系统 因为稳定性是系统在自由运动下的特性 表示始于初态x0的一个运动或一条状态轨迹 3 平衡状态 n维状态向量 变量和t的n维向量函数 若对所有t 总存在 则称为系统的平衡状态或平衡点 注意 1 如果系统是线性定常的 即 则当A为非奇异矩阵时 系统存在一个唯一的平衡状态即原点 对系统 系统能维持在某状态不再变化 2 对于非线性系统 可有一个或多个平衡状态 这些状态对应于系统的常值解 对所有t 总存在 当A为奇异矩阵时 系统将存在无穷多个平衡状态 无穷多个 三个平衡状态 如 3 线性系统在平衡点稳定 则系统稳定 而非线性系统在平衡点稳定 则只是在该点稳定 而不是整个系统稳定 可见 稳定性问题是相对于平衡状态而言的 4 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数 而与系统的初始条件及外界扰动的大小无关 但非线性系统的稳定性出了与系统的结构和参数有关外 还与初始条件及外界扰动的大小有关 5 孤立的平衡状态 在某一平衡状态的充分小的领域内不存别的平衡状态 即称为孤立的平衡状态 对于孤立的平衡状态 总可以经过适当的坐标变换 把它变换到状态空间的原点 因此 仅仅需要讨论系统在这个平衡状态处的稳定性即可 原点稳定性问题 极大简化了研究 又不失一般性 是Lyapunov的重要贡献 4 状态向量x的范数在n维状态空间 向量x的长度称为向量x的范数 表示为 状态向量到平衡点的范数 当范数限制在某一范围之内时 可以表示为 且具有明确的几何意义 用此概念来分析系统的稳定性 欧几里得范数 二 稳定性的几个定义 表示状态矢量与平衡状态的距离 点集 表示以为中心为半径的超球体 球域 向量的2范数或欧几里得范数 1 预备知识 当很小时 称为的邻域 表明齐次方程由初态或短暂扰动所引起的自由响应是有界的 设系统如果对每个实数都对应存在另一个实数 使得满足 的任意初始态出发的运动轨迹 在都满足 2 李雅普诺夫 李氏 意义下的稳定性 向量范数 表示空间距离 则称平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 常简称为稳定 注意 通常实数与有关 一般情况下也与有关若与无关 则称这种平衡状态是一致稳定的 时变 与有关定常系统 与无关 是一致稳定的 平衡状态 即 如果对应于每一个 存在一个 使得当t趋于无穷时 始于的轨迹不脱离 则系统的平衡状态称为在Lyapunov意义下稳定 李氏意义下稳定性的几何表示 状态响应有界 3 渐近稳定 1 渐近稳定必然是Lyapunov意义下的稳定2 3 一致渐近稳定 如果平衡状态是稳定的 并且始于域的任一条轨迹当时间t趋于无穷时 都不脱离 且收敛于 则称系统的平衡状态为渐近稳定的 其中球域被称为平衡状态的吸引域 平衡状态 渐近稳定性的几何表示 状态轨迹具有 有界性和渐近性 说明 渐近稳定性表明系统能完全消除扰动的影响 但 只是一个局部概念 依赖系统的平衡状态 对系统任意的状态 如果由该状态出发的状态轨迹都保持渐近稳定性 即随时间推移最终都收敛到平衡状态 则系统称为大范围渐近稳定 或者说 如果系统的平衡状态的渐近稳定的初始条件扩大为整个状态空间 则称此时系统的平衡状态为大范围渐近稳定的 4 大范围 全局 渐近稳定 初始条件扩展到整个空间 且具渐近稳定性 即 对都有 如果对于某个实数和任一个实数 不管这两个实数多么小 在内总存在一个状态 使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开 那么平衡状态称为不稳定的 5 不稳定性 线性系统的平衡状态不稳定表征系统不稳定 非线性系统的平衡状态不稳定只说明存在局部发散的轨迹 不稳定性的几何表示 平衡状态 几点说明 1 对于线性系统 严格 渐近稳定等价于大范围渐近稳定 线性系统稳定性与初始条件的大小无关 2 但对于非线性系统 只能在小范围一致稳定 由状态空间出发的轨迹都收敛或其附近 3 稳定含义之间的区别 4 不同的稳定性概念 1 外部稳定性 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的 则称该系统是外部稳定的 外部稳定性也称为有界输入有界输出BIBO BoundedInputBoundedOutput 稳定性 2 内部稳定性 或称状态稳定性 系统在受到小的外界扰动后 系统状态方程解的收敛性 而与输入作用无关 系统的稳定性都是相对具体的某个平衡状态而言的 李雅普诺夫稳定性问题就是研究系统在其平衡状态附近自由运动的行为特征 指的正是内部稳定性 4 不同的稳定性概念 一 李雅普诺夫第一法 间接法 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性 线性定常系统稳定性的特征值判据 1 线性定常系统渐近稳定的充要条件 即系统矩阵A的全部特征值都具有负实部 二 李雅普诺夫稳定性理论 2 线性定常系统BIBO稳定的充要条件 传递函数的所有极点均位于S左半平面 注意 由于所有极点都是A的特征值 所以渐近稳定的系统 必然也是输入输出稳定的 但是 由于不是A的所有特征值都是传函的极点 G s 中可能存在零极点对消现象 所以输入输出稳定的系统 不一定具有渐近稳定性 例1 试分析如下所示系统的渐近稳定和BIBO稳定 解 1 故系统不是渐近稳定的 2 闭环极点s 3 位于s平面左半部分 所以系统为输入输出稳定 非线性系统的稳定性分析 假定非线性系统在平衡状态附近可展开成泰勒级数 可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定性 设非线性系统状态方程 在平衡状态附近存在各阶偏导数 于是 非线性函数 其中 级数展开式中二阶及以上各项之和 上式为向量函数的雅可比矩阵 若忽略高阶项则线性化状态方程为 一次近似式 结论 李雅普诺夫第一法基本内容 若 则非线性系统在处是渐近稳定的 与无关 若则系统的平衡状态总是不稳定的 若 则稳定性与有关 即不能由其一次近似式来表征 一 李雅普诺夫第二法简介 李氏第二法称为直接法 建立在用能量观点分析稳定性的基础上 若系统的平衡状态是渐近稳定 则系统激励后其存储的能量将随着时间的推移而衰减 当趋于平衡状态时 其能量达到最小值 反之 若系统的平衡状态是不稳定的 则系统将不断从外界吸收能量 其存储的能量将越来越大 二 李雅普诺夫第二法 二 李雅普诺夫函数 虚构的能量函数 定义在状态空间上 满足李雅普诺夫定理的 n维状态向量和时间t的正定标量函数 可用V x t 来表示 不显含t则记为V x 对非线性系统 尚未形成构造李雅普诺夫函数的通用方法 对线性系统 通常可用二次型函数作为能量函数 李雅普诺夫第二法就是根据能量函数及其状态轨迹随时间的变化率的定号性来判断系统的稳定性 若系统稳定 其总能量连续减小至平衡状态时为止 则能量函数对时间的导数必然负定 三 二次型函数的一般概念 定义 代数式中一种多项式函数 每一项的次数都是二次 则称该函数为二次型函数 标量函数 2 二次型函数的表示形式以三阶系统为例 代数式 矩阵式 二次齐次多项式 对于线性系统 通常可用二次型函数作为李雅普诺夫函数 二次型的矩阵表示 通式 通常P为实对称方阵 二次型函数的符号性质正定 当 P正定 时 则函数正定 正半定 当 P正半定 时 则函数半正定 负定 当 P负定 时 则函数负定 3 二次型函数的符号性质负半定 当时 即系数矩阵P负半定 则函数半负定 不定 不满足上述任何一种条件的二次型函数 即对所有x V x 可正也可负 赛尔维斯特准则 希尔维斯判据 二次型的符号性质由其表示矩阵的符号性决定 实对称矩阵P为正定的充分必要条件是P的各阶主子式均大于零 即 实对称矩阵P为负定的充分必要条件是P的各阶主子式满足 P正半定的充分必要条件 系数矩阵P的各阶主子行列式均大于或等于零 即 P负半定的充分必要条件 系数矩阵P的各阶主子行列式均满足下列条件 即 例2设X为二维向量 试判断下面二次型函数的符号特性 1 2 3 4 5 不定 负半定 负定 正半定 正定 稳定性定理 设系统状态方程 其平衡状态满足 考虑状态空间原点作为平衡状态 并设在原点邻域存在一个对x具有连续一阶偏导数的标量函数 四 李雅普诺夫主要的稳定性定理 定理1 若 1 正定 2 负定 则系统在原点平衡状态处是渐近稳定的 说明 负定随时间增加 沿系统的任意轨迹运行时 系统的能量是连续单调衰减的 若还满足 则系统在平衡状态处是大范围渐近稳定的 充分条件 苛刻条件 例3 已知非线性系统的状态方程为 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性 令 原点是唯一平衡点 解 设 原点是渐近稳定的 有 该系统是大范围渐近稳定 由于V x 与t无关 又是大范围一致渐近稳定 定理1 则 几何意义 以原点为圆心 半径为c的一簇圆 系统状态运动时 能量逐渐减少 即在此二维状态空间中 系统运动的状态轨迹均由外向内穿过各V圆 最终收敛于原点 表示系统的储能 能量越多 半径越大 定理2 若 1 正定 2 负半定 3 在非零状态不恒等于零 则系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的 若还满足 则系统在平衡状态处是大范围渐近稳定的 说明 不存在 经历能量等于恒定 但不会维持在该状态 而是继续运动到原点 若V x 表示系统状态到状态空间原点的距离 其几何意义为 V x 表示状态x沿系统轨迹趋于原点的速度 x0 x0 例4 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 解 1 令 即系统的平衡状态为原点 设 则 其它 负半定 令 只有全零解 非零状态时 原点是渐近稳定的 且是大范围一致渐近稳定的 定理2 且V x 与t无关 定理3 若 1 正定 2 负半定 即在非零状态存在恒为零 则原点是李雅普诺夫意义下稳定的 但非渐近稳定 说明 系统维持等能量运动 稳定的等幅振荡状态 使维持在非零状态而不运行至原点 x2 x1 二维非线性系统 运动于闭合轨线 称为极限环 线性定常系统 表现为相平面上的一簇同心圆 经典控制论中 称为临界稳定 x0 例5试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 则原点是平衡状态 定理3 设则故系统是李雅普诺夫意义下的稳定 解 由于 定理4 若 1 正定 2 正定 则原点是不稳定的 说明 正定系统能量随时间不断增大 在处发散 远离原点 原点不稳定 线性系统不稳定非线性系统不一定 推论1 当正定 正半定 且在非零状态不恒为零时 则原点不稳定 同定理4 推论2 正定 正半定 若时 仍有 则原点是李雅普诺夫意义下稳定 同定理3 几点说明 选取不唯一 但没有通用办法 选取不当 会导致不定的结果 这仅仅是充分条件 单调衰减 实际上是衰减振荡 小结李雅普诺夫第二法的步骤 构造一个二次型 求 并代入状态方程 判断的定号性 判断非零状态情况 即 下 是否恒为零 渐近稳定 李雅普诺夫稳定 不稳定 令若成立李雅普诺夫意义下稳定若仅成立渐近稳定 解 即设则可见与无关 故非零状态 如 有 而对其余任意状态有 例6 试判断下列线性系统平衡状态的稳定性 故正半定 令即非零状态时 不恒为零 则原点不稳定即系统不稳定 推论1 推论1 当正定 正半定 且在非零状态不恒为零时 则原点不稳定 只有全零解 设系统状态方程为 为唯一平衡状态 非奇异矩阵 线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析 则 将代入 设选取如下的正定二次型函数为李雅普诺夫函数 由渐近稳定性定理1 只要Q正定 即负定 则系统是大范围一致渐近稳定 定理5 系统在原点处大范围渐近稳定的充要条件为 给定一任意正定实对称矩阵Q 存在唯一的正定实对称矩阵P使成立 则为系统的一个李雅普诺夫函数 令 即 李雅