黄金分割率及其证明方法.doc

黃金分割率及其證明方法姓名：李博藝 學號：E101206101、 黃金分割率定義 黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數學比例關係，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等於整體與較大部分之比，其比值為10.618或1.6181，即長段為全段的0.618。0.618被公認為最具有審美意義的比例數字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分割。2、 黃金分割率的歷史 由於西元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。0.618就是黃金分割。這是一個偉大的發現！ 西元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。他認為所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對於全部之比，等於另一部分對於該部分之比。而計算黃金分割最簡單的方法，是計算斐波那契數列1，1，2，3，5，8，13，21，.第二位起相鄰兩數之比，即2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,.的近似值。 黃金分割在文藝復興前後，經過阿拉伯人傳入歐洲，受到了歐洲人的歡迎，他們稱之為金法，17世紀歐洲的一位數學家，甚至稱它為各種演算法中最可寶貴的演算法。這種演算法在印度稱之為三率法或三數法則，也就是我們現在常說的比例方法。 西元前300年前後歐幾裏得撰寫幾何原本時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。 到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際應用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基 弗 於1953年首先提出的，70年代由華羅庚提倡在中國推廣。黃金比例1.618：1 其性質是與它的倒數正好相差1。黃金分割的簡單證明方法：如圖所示： 證明：BD=1/2AB，AB=2BD，令BD=1， 則AB=2，由畢氏定理（畢達哥拉斯定理）知：AD2=AB2+BD2=22+12=5，AD=5，BD=DE=1，AC=AE，AC=AD-DE=5-1，AC=5-1，AB=2AC：AB=(5-1)/2。3、 其他黃金分割圖形（1） 黃金分割三角形 正五邊形對角線連滿後出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。 黃金分割三角形有一個特殊性，所有的三角形都可以用四個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形，但黃金分割三角形是唯一一種可以用5個而不是4個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形的三角形。由於五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數值為2sin18（即2*sin(/10)）。 將一個正五邊形的所有對角線連接起來，所產生的五角星裏面的所有三角形都是黃金分割三角形。 （2）黃金矩形若矩形的寬與長的比等於（5-1）/20.618，那麼這個矩形稱為黃金矩形（又稱根號矩形）。（3）黃金分割線由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，並類似地給出“黃金分割線”的定義：直線L將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那麼稱直線L為該圖形的黃金分割線。（4）黃金分割數列-斐波那契數列 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144.這個數列的名字叫做“斐波那契數列”，這些數被稱為“斐波那契數” 經研究發現，相鄰兩個菲波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n)/f(n+1）-0.618。由於斐波那契數都是整數，兩