【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第二章函数与导数第12课时导数在研究函数中的应用教学案（含最新模拟、试题改编）(1).doc

第二章 函数与导数第12课时导数在研究函数中的应用第三章 (对应学生用书(文)、(理)3032页)考情分析考点新知 导数与函数内容的结合命题已成为近几年高考的流行趋势，应引起足够的重视. 以导数为研究函数的重要工具来解决函数的单调性与最值问题是高考的热点，同时解答题侧重于导数的综合应用，即导数与函数、数列、不等式的综合应用 理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性. 掌握利用导数求函数极值与最值的方法. 会利用导数解决某些实际问题., 1. (选修22p28例1改编)函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_答案：(1，11)解析：f(x)3x230x333(x11)(x1)，由(x11)(x1)0，得单调减区间为(1，11)亦可填写闭区间或半开半闭区间2. (选修22p34习题3改编)若函数f(x)exax在x1处取到极值，则a_答案：e解析：由题意，f(1)0，因为f(x)exa，所以ae.3. (选修22p34习题8)函数yxsinx，x0，2的值域为_答案：0，2解析：由y1cosx0，所以函数yxsinx在0，2上是单调增函数，所以值域为0，24. (原创)已知函数f(x)x2blnx在区间，)上是减函数，则b的取值范围是_答案：(，4解析：f(x)x0在2，)上恒成立，即bx2在2，)上恒成立5. (选修22p35例1改编)用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90角，再焊接而成，则该容器的高为_cm时，容器的容积最大答案：10解析：设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为v，则v(902x)(482x)x4(x369x21080x)，0x12，v12(x246x360)12(x10)(x36)，当0x0；当10x12时，v0，那么函数yf(x)为该区间上的增函数；如果f(x)0即3x230，解得x1或x1， f(x)的单调增区间为(，1)(1，)，同理可求f(x)的单调减区间为(1，1)(2) f(x)3x2a. f(x)在实数集r上单调递增， f(x)0恒成立，即3x2a0恒成立， a(3x2)min. 3x2的最小值为0， a0.(3) 假设存在实数a使f(x)在(1，1)上单调递减， f(x)0在(1，1)上恒成立，即a3x2.又3x20，3)， a3. 存在实数a使f(x)在(1，1)上单调递减，且a3.(1) 已知函数 f(x)x2mlnx(m1)x，当 m0 时，试讨论函数 f(x) 的单调性；(2) 若函数f(x)blnx在(1，)上是减函数，求实数b的取值范围解：(1)函数的定义域为，f(x)x(m1).当10，得0x1，令f(x)0，得mx1， 函数 f(x)的单调递增区间是和，单调递减区间是；当m1时，同理可得，函数 f(x)的单调递增区间是和，单调递减区间是.(2)由f(x)blnx，得f(x)(x2)，由题意，知f(x)0即0在上恒成立， b，当x时， b1.题型2导数与函数的极值、最值例2设函数f(x)(x2axb)ex(xr)(1) 若a2，b2，求函数f(x)的极大值；(2) 若x1是函数f(x)的一个极值点 试用a表示b； 设a0，函数g(x)(a214)ex4.若1、20，4，使得|f(1)g(2)|1成立，求a的取值范围解：(1) f(x)(2xa)ex(x2axb)exx2(2a)x(ab)ex，当a2，b2时，f(x)(x22x2)ex，则f(x)(x24x)ex，令f(x)0得(x24x)ex0， ex0, x24x0，解得x4或x0，列表如下：x(，4)4(4，0)0(0，)f(x)00f(x)极大值极小值 当x4时，函数f(x)取极大值，f(x)极大值.(2) 由(1)知f(x)x2(2a)x(ab)ex. x1是函数f(x)的一个极值点， f(1)0，即e1(2a)(ab)0，解得b32a. 由知f(x)exx2(2a)x(3a)ex(x1)x(3a)，当a0时，f(x)在区间(0，1)上的单调递减，在区间(1，4)上单调递增， 函数f(x)在区间0，4上的最小值为f(1)(a2)e. f(0)b32a0，f(4)(2a13)e40， 函数f(x)在区间0，4上的值域是f(1)，f(4)，即(a2)e，(2a13)e4又g(x)(a214)ex4在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是(a214)e4，(a214)e8， (a214)e4(2a13)e4(a22a1)e4(a1)2e40， 存在1、20，4使得|f(1)g(2)|1成立只须(a214)e4(2a13)e41(a1)2e41 (a1)21a1.已知函数f(x)ax3bx23x(a、br)在点x1处取得极大值为2.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若对于区间2，2上任意两个自变量的值x1、x2，都有|f(x1)f(x2)|c，求实数c的最小值解：(1) f(x)3ax22bx3.由题意，得即解得所以f(x)x33x.(2) 令f(x)0，即3x230，得x1.x2(2，1)1(1，1)1(1，2)2f(x)f(x)2增极大值减极小值增2因为f(1)2，f(1)2，所以当x2，2时，f(x)max2，f(x)min2. 则对于区间2，2上任意两个自变量的值x1、x2，都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min|4，所以c4.所以c的最小值为4.题型3导数在实际问题中的应用例3请你设计一个包装盒，如图所示，abcd是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得a、b、c、d四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e、f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设aefbx cm.(1) 某广告商要求包装盒侧面积s(cm2)最大，试问x应取何值？(2) 某厂商要求包装盒容积v(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解：(1) s6024x2(602x)2240x8x2(0x30)，所以x15 cm时侧面积最大(2) v(x)2(602x)2x2(30x)(0x30)，所以v6x(20x)，令v0，得x20，当0x20时，v递增；当20x30时，v递减所以，当x20时，v最大，此时，包装盒的高与底面边长的比值为.某地方政府在某地建一座桥，两端的桥墩相距m米，此工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩(包括两端的桥墩)经预测，一个桥墩的费用为256万元，相邻两个桥墩之间的距离均为x，且相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(1)x万元，假设所有桥墩都视为点且不考虑其他因素，记工程总费用为y万元(1) 试写出y关于x的函数关系式；(2) 当m1 280米时，需要新建多少个桥墩才能使y最小？解：根据题意，需要建个桥墩和段桥面工程(1) y256(1)xmm256.(2) 当m1 280时，y1 2801 536，y1 280，令y0，得x64，当0x64时，y64时，y0.所以当x64时，y有最小值16 896，此时要建21个桥墩答：需要建21个桥墩才能使y最小【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)已知函数f(x)lnxax(ar)(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 当a0时，求函数f(x)在1，2上的最小值审题引导： 知函数解析式求单调区间，实质是求f(x)0，f(x)0)(1分) 当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调增区间是(0，)(3分) 当a0时，令f(x)a0，得x，当0x0，当x时，f(x)0，所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.(6分)(2) 当1，即a1时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln22a.(8分) 当2，即0a时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.(10分) 当12，即a1时，函数f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f(2)f(1)ln2a，所以当aln2时，最小值是f(1)a；当ln2a1时，最小值是f(2)ln22a.(12分)综上可知，当0aln2时，最小值是a；当aln2时，最小值是ln22a.(14分)1. (2013新课标)若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是_答案：(1，)解析：因为2x(xa)x，令f(x)x，所以f(x)12xln20，所以f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)f(0)011，所以a的取值范围是(1，)2. (2013大纲)若函数f(x)x2ax在上是增函数，则a的取值范围是_答案：a3解析：f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立令g(x)2x，求导可得g(x)在上的最大值为3，所以a3.3. (2013扬州期末)已知函数f(x)lnx(mr)在区间1，e上取得最小值4，则m_答案：3e解析：f(x)，令f(x)0，则xm，且当xm时，f(x)m时，f(x)0，f(x)单调递增若m1，即m1时，f(x)minf(1)m1，不可能等于4；若1me，即eme，即m0.(1) 解：f(x)2x(a2)(x0)当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增，所以函数f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x0，且f(x)的最小值f0，即a24a4aln0，所以a4ln40.令h(a)a4ln4，显然h(a)在(0，)上为增函数，且h(2)20，所以存在a0(2，3)，h(a0)0.当aa0时，h(a)0；当0aa0时，h(a)0，f(1)0，所以a3时，f(x)有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3.(3) 证明：因为x1、x2是方程f(x)c的两个不等实根，由(1)知a0.不妨设0x1x2，则x(a2)x1alnx1c，x(a2)x2alnx2c.两式相减得x(a2)x1alnx1x(a2)x2alnx20，即x2x1x2x2ax1alnx1ax2alnx2a(x1lnx1x2lnx2)所以a.因为f0，当x时，f(x)0，故只要证即可，即证明x1x2，即证明xx(x1x2)(lnx1lnx2)x2x1x2x2，即证明ln.设t(0t0，所以g(t)0，当且仅当t1时，g(t)0，所以g(t)在(0，)上是增函数又g(1)0，所以当t(0，1)，g(t)0)，由l2a，令l0，得la2lna在上单调递增；令l0，得la2lna在上单调递减，所以当a时，线段mn的长取得极小值，也是最小值4. 已知函数f(x)(ax2x)ex，其中e是自然数的底数，ar.(1) 当a0；(2) 若f(x)在1，1上是单调函数，求a的取值范围；(3) 当a0时，求整数k的所有值，使方程f(x)x2在k，k1上有解解：(1) 因为ex0，所以不等式f(x)0即为ax2x0.又a0，所以不等式可化为x0的解集为.(2) f(x)(2ax1)ex(ax2x)exax2(2a1)x1ex， 当a0时，f(x)(x1)ex，f(x)0在1，1上恒成立，当且仅当x1时取等号，故a0符合要求； 当a0时，令g(x)ax2(2a1)x1，因为(2a1)24a4a210，所以g(x)0有两个不相等的实数根x1、x2，不妨设x1x2，因此f(x)有极大值又有极小值若a0，因为g(1)g(0)a0，所以f(x)在(1，1)内有极值点，故f(x)在1，1上不单调若a0x2，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在1，1上单调，因为g(0)10，必须满足即所以a0.综上可知，a的取值范围是.(3) 当a0时， 方程即为xexx2，由于ex0，所以x0不是方程的解，所以原方程等价于ex10.令h(x)ex1，因为h(x)ex0对于x(，0)(0，)恒成立，所以h(x)在(，0)和(0，)内是单调增函数，又h(1)e30，h(3)e30，所以方程f(x)x2有且只有两个实数根，且分别在区间1，2和3，2上，所以整数k的所有值为3，11. 在已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参