【备考】全国名校数学试题分类汇编（12月 第四期）E单元 不等式（含解析）.doc

备考备考 2015 20152015 2015 届全国名校数学试题分类汇编 届全国名校数学试题分类汇编 1212 月月 第四期 第四期 e e 单元单元 不等式 含解析 不等式 含解析 目录 e e 单元单元 不等式不等式 1 1 e1e1 不等式的概念与性质不等式的概念与性质 1 1 e2e2 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 1 1 e3e3 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 4 4 e4e4 简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法 6 6 e5e5 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 6 6 e6e6 基本不等式基本不等式 1313 2 ab ab e7e7 不等式的证明方法不等式的证明方法 1717 e8e8 不等式的综合应用不等式的综合应用 1919 e9e9 单元综合单元综合 1919 e1e1 不等式的概念与性质不等式的概念与性质 e2e2 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 数学理卷 2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题 201411 24 本小题满分 10 分 选修选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 已知函数 32 12 xxxf 求不等式的解集 6 xf 若关于的不等式恒成立 求实数的取值范围 x2 3 log 2 2 aaxfa 知识点 绝对值不等式的解法 e2 答案 或 21 xx 01 a43 a 解析 解析 原不等式等价于 或 6 32 12 2 3 2 1 6 32 12 2 3 xx x xx x 或 6 32 12 2 1 xx x 解得 2 1 1 2 3 2 1 2 2 3 xxx或或 即不等式的解集为 5 分 21 xx 不等式等价于 2 3 log 2 2 aaxf 2 3 log 2 2 aa 32 12 xx 因为 所以的最小值为 4 4 32 12 32 12 xxxx xf 于是即所以或 10 分 42 3 log 2 2 aa 043 03 2 2 aa aa 01 a43 a 思路点拨 利用零点分段法求得每段的解析式 然后分段求得不等式的解集求并集即可 原不等式恒成立等价于 解对数不等式即可 2 2 min log 3 2aaf x 数学文卷 2015 届江西省五校 江西师大附中 临川一中 鹰潭一中 宜春中学 新余四 中 高三上学期第二次联考 201412 22 本小题满分 10 分 已知函数 2 f xx 1 解不等式 1 2f xf x 2 若 a 0 求证 2 1 f axaf xf a 知识点 绝对值不等式的解法 绝对值不等式性质的应用 e2 n4 答案 解析 1 2 证明 见解析 15 22 xx 解析 1 由题意 得 1 1 2 f xf xxx 因此只须解不等式 2 分 1 2 2xx 当 x 1 时 原不式等价于 2x 3 2 即 1 1 2 x 当时 原不式等价于 1 2 即 12x 12x 当 x 2 时 原不式等价于 2x 3 2 即 5 2 2 x 综上 原不等式的解集为 5 分 15 22 xx 2 由题 22f axaf xaxa x 当 a 0 时 22f axaf xaxa x 2222axaaxaxaax 10 分 2122 1 af a 思路点拨 1 分段讨论解含绝对值的不等式 2 利用绝对值不等式的性质 证明结论 ababab 数学文卷 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试 201411 14 若对于任 意实数 不等式恒成立 则 k 的取值范围是 x12xxk 知识点 绝对值不等式的解法 e2 答案 k 3 解析 1 当 x 1 时 原式 x 1 x 2 x 1 x 2 3 2 当 1 x 2 时 原式 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 取 1 2x 1 2 1 1 3x 取 2 2x 1 2 2 1 3 所以 3 2x 1 2 时 原式 x 1 x 2 x 1 x 2 3 由上可知 当 x 取任意值时 原式 3 所以 k 3 思路点拨 利用零点分段讨论 求出 k 的范围 e3e3 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 数学理卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 21 本小题满分 14 分 已知二次函数 关于的不等式的解集为 2 1f xxaxm x 2 21 1f xmxm 其中为非零常数 设 1 m m m 1 f x g x x 1 求的值 a 2 如何取值时 函数存在极值点 并求出极值点 k kr ln 1 xg xkx 3 若 且 求证 1m 0 x 1 1 22 nnn g xg xnn 知识点 一元二次不等式 导数的应用 二项式定理 基本不等式 e3 e6 b12 j3 答案答案 解析解析 1 2 2 当 m 0 时 k 取任意实数 函数 x 有极小值点 x2 当 m 0 时 函数 x 有极小值点 x2 有极大值点 x1 其中 3 略 22 12 2424 22 kkmkkm xx 解析解析 1 关于 x 的不等式 f x 2m 1 x 1 m2的解集为 m m 1 即不等式 x2 a 1 2m x m2 m 0 的解集为 m m 1 x2 a 1 2m x m2 m x m x m 1 x2 a 1 2m x m2 m x2 2m 1 x m m 1 a 1 2m 2m 1 a 2 2 由 1 得 2 21 1 111 f xxxmm g xx xxx x g x kln x 1 kln x 1 的定义域为 1 1 1 m x x 2 22 21 1 1 11 xk xkmmk x x xx 方程 x2 2 k x k m 1 0 的判别式 2 k 2 4 k m 1 k2 4m 当 m 0 时 0 方程 的两个实根为 则 x 1 x2 时 22 12 2424 1 1 22 kkmkkm xx x x2 时 函数 x 在 1 x2 上单调递减 0 x 0 x 在 x2 上单调递增 函数 x 有极小值点 x2 当 m 0 时 由 0 得或 若 则 故 x 1 时 22 12 2424 1 1 22 kkmkkm xx 函数 x 在 1 上单调递增 函数 x 没有极值点 若 0 x 时 则 x 1 x1 22 12 2424 1 1 22 kkmkkm xx 时 0 x x x1 x2 时 x x2 时 函数 x 在 1 x1 0 x 0 x 上单调递增 在 x1 x2 上单调递减 在 x2 上单调递增 函数 x 有极小 值点 x2 有极大值点 x1 综上所述 当 m 0 时 k 取任意实数 函数 x 有极小值点 x2 当 m 0 时 函数 x 有极小值点 x2 有极大值点 x1 其中 22 12 2424 22 kkmkkm xx 3 证明 m 1 g x 1 1 1 x x 11 1 1 n nnn n g xg xxx xx 1122 2 1111 nnnnn nnn nn xc xc xcx xxxx 122412nnnn nnn c xc xcx 令 t 则 t 122412nnnn nnn c xc xcx x 0 122412122412nnnnnnnnn nnnnnn cxcxc xc xc xcx 2t 122244122nnnnnnn nnn cxxcxxcxx 2 2n 2 12101210 22 nnnn nnnnnnnnnn cccccccccc t 2n 2 即 g x 1 n g xn 1 2n 2 思路点拨 本题主要考查二次函数 一元二次不等式 一元二次方程 导数的应用 均值 不等式等 其中利用导数求函数的极值点应注意在其定义域内解答 对于第三问也可以用数 学归纳法证明 e4e4 简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法 数学理卷 2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题 201411 11 已知平面区域 1 1 0 0 1 yx yx xyymxy y x 向区域内随机投一点 点落在区域内的概率为 ppm 高 a b c d 1 4 1 3 1 2 2 3 知识点 简单的线性规划的应用几何概型 e4 k3 答案 c 解析 解析 如下图 阴影部分大的等腰直角三角形区域为 小的等腰直角 三角形区域为 由面积比知 故选择 c m 1 2 p 思路点拨 本题考查的知识点是线性规划及几何概型的意义 处理的思路为 根据已知的 约束条件 画出满足约束条件的可行域及的范围 再根据几何概型的意义 求出概 m 率 e5e5 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 数学理卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 13 设不 等式组error 所表示的平面区域为s 若a b为区域s内的两个动点 则 ab 的最大值为 知识点 简单的线性规划问题 e5 答案 13 解析 作出不等式组对应的平面区域如图 则由图象可知当 a 位于 0 3 b 位于 2 0 时 ab 的长度最大为 ab 22 23 13 思路点拨 作出不等式组对应的平面区域 利用数形结合即可得到结论 数学理卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 4 已知变量满足约束yx 条件 则的最大值为 1 4 2 yx yx y yxz 3 a 8 b 11c 9d 12 知识点 简单的线性规划 e5 答案 解析 b 解析 画出可行域 平移目标函数得最优解为直线 y 2 与 x y 1 的交点 3 2 所以的最大值为 11 故选 b yxz 3 思路点拨 画出可行域 平移目标函数确定最优解即可 数学理卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 9 在平面直 角坐标系中 记不等式组表示的平面区域为若对数函数xoy 062 072 03 yx yx y d 的图像与有公共点 则的取值范围是 1 log axy a da 知识点 简单线性规划 e5 答案 解析 解析 作出不等式组对应的平面区域如图 3 1 2 若 a 1 当对数函数图象经过点 a 时 满足条件 此时 30 270 y xy 解得 即 此时 解得 2 3 x y 2 3alog 23 a 3 2a 当时 满足条件 3 12a 实数的取值范围是 故答案为 a 3 12a 3 1 2 思路点拨 作出不等式组对应的平面区域 根据对数函数的图象和性质 即可得到结论 数学理卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 8 已知 x y 满足 则的取值范围是 y 2 0 x 3 0 x y 1 0 4 6 x yx a b c d 7 3 0 7 20 2 7 13 1 7 6 0 知识点 简单的线性规划 e5 答案答案 解析解析 c c 解析解析 不等式组表示的平面区域如图 因为 y 2 0 x 3 0 x y 1 0 而为区域内的点与点 4 2 连线的斜率 显然 6422 1 444 xyxyy xxx 2 4 y x 斜率的最小值为 0 点 3 4 与点 4 2 连线的斜率最大为 所以的 426 347 2 1 4 y x 取值范围为 则选 c 7 13 1 思路点拨 一般遇到由两个变量满足的不等式组求范围问题 通常利用目标函数的几何意 义 利用数形结合进行解答 数学文卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 5 已知 x y 满足则 2x y 的最大值为 033 01 01 yx yx yx a 1b 2c 3 d 4 知识点 简单的线性规划问题 e5 答案 b 解析 设 z 2x y 则 y 2x z 做出不等式对应的平面区域如图 bcd 平移直线 y 2x z 由图象可知当直线 y 2x z 经过点 c 1 0 时 直线 y 2x z 的截距最小 此时 z 最大 把 c 1 0 代入直线 z 2x y 得 z 2 所以 2x y 的最大值为为 2 思路点拨 根据约束条件画出可行域 然后分析平面区域里各个角点 然后将其代入 2x y 中 求出 2x y 的最大值即可 数学文卷 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 201412 4 不等式组 0 42 2 yx yx yx 所 围成的平面区域的面积为 a 3b 6c 6 d 3 22 知识点 简单的线性规划问题 e5 答案 解析 d 解析 如图 不等式组所围成的平面区域为 abc 其中 a 2 0 b 4 4 c 1 1 所求平面区域的面积为 1 2 42 13 2 aboaco ss 思路点拨 画出不等式组所围成的平面区域 利用三角形面积公式求解 数学文卷 2015 届江西省五校 江西师大附中 临川一中 鹰潭一中 宜春中学 新余四 中 高三上学期第二次联考 201412 5 已知实数 x y 满足约束条件 10 43120 20 xy xy y 则的最大值为 21 1 xy z x a b c d 5 4 4 5 9 16 1 2 知识点 线性规划的应用 e5 答案 解析 b 解析 因为 所以要求 z 的最大值 只需求 2211 2 11 xyy z xx 的最小值 画出可行域可得 使取得最小值的最优解为 a 2 1 1 y z x 1 1 y z x 3 2 代入得所求为 故选 b 21 1 xy z x 4 5 思路点拨 把目标函数化为 则只需求可行域中的点 x y 与点 1 1 1 2 1 y z x 确定的直线的斜率的最小值即可 数学文卷 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 12 月 201412 9 设满 x y 足约束条件 则的取值范围为 0 1 3 x y xy xy 2zxy 知识点 简单线性规划 e5 答案 解析 解析 作出不等式组表示的平面区域 3 3 由可得 则表示直线在轴上的截距 截距越2zxy 11 22 yxz 1 2 z 20 xyz y 大 越小z 结合函数的图形可知 当直线平移到 b 时 截距最大 最小 当直线20 xyz z 平移到 a 时 截距最小 最大20 xyz z 由可得 b 1 2 由可得 a 3 0 1 3 xy xy 3 0 xy y zmax 3 zmin 3 则 2zxy 3 3 故答案为 3 3 思路点拨 先作出不等式组表示的平面区域 由可得 则2zxy 11 22 yxz 表示直线在轴上的截距 截距越大 越小 结合函数的图形可求 1 2 z 20 xyz yz 的最大与最小值 从而可求的范围 zz 数学文卷 2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试 201411 14 设实数满足 x y 0 21010 20 xy xy x 则 y x 的最大值为 知识点 简单线性规划 e5 答案 解析 解析 由题意作出 0 21010 20 xy xy x 所对应的可行域 如图 9 2 目标函数的代表可行域 阴影 内的点与原点连线的斜率 由图可知当直线过点 a 时 z y x 斜率最大 而由解得 即点 a 的坐标为 所以直线 oa 的斜 2 2200 x xy 2 9 x y 2 9 率为 故则 y x 的最大值为 故答案为 909 202 9 2 9 2 思路点拨 由题意作出可行域 目标函数的代表可行域 阴影 内的点与原点连线z y x 的斜率 由图可知当直线过点 a 时 斜率最大 只需解方程组求解 a 的坐标即可得答案 数学文卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 8 已知 x y 满足 则的取值范围是 y 2 0 x 3 0 x y 1 0 4 6 x yx a b c d 7 3 0 7 20 2 7 13 1 7 6 0 知识点 简单的线性规划 e5 答案答案 解析解析 c c 解析解析 不等式组表示的平面区域如图 因为 y 2 0 x 3 0 x y 1 0 而为区域内的点与点 4 2 连线的斜率 显然 6422 1 444 xyxyy xxx 2 4 y x 斜率的最小值为 0 点 3 4 与点 4 2 连线的斜率最大为 所以的 426 347 2 1 4 y x 取值范围为 则选 c 7 13 1 思路点拨 一般遇到由两个变量满足的不等式组求范围问题 通常利用目标函数的几何意 义 利用数形结合进行解答 e6e6 基本不等式基本不等式 2 ab ab 数学理卷 2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试 201412 14 已知正项等比数列 满足 若存在两项使得 则的最小值为 n a 567 2aaa nm aa 1 2 mn a aa 19 mn 知识点 基本不等式e6 2 ab ab 答案 4 解析 设等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q a7 a6 2a5 则 a1 q6 a1 q5 2a1 q4 即 q2 q 2 0 解得 q 2 或 q 1 舍去 若 则 m n 4 1 2 mn a aa 则 4 m n 10 10 6 16 则 19 mn 19 mn 9nm mn 19 mn 4 思路点拨 由已知中正项等比数列 an 满足 a7 a6 2a5 我们易求出数列的公比 再结合 存在两项 am an使得 我们可以求出正整数 m n 的和 再结合基本不等式中 1 2 mn a aa 1 的活用 即可得到答案 数学理卷 2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题 201411 12 已知函数 若则的最小值为 ln ex f x ex 22012 201320132013 eee ab f f f 503 22 ab a 6 b 8 c 9 d 12 知识点 函数的性质基本不等式 b1 e6 答案 b 解析 解析 因为 2 lnlnln2 e exex f xf exe exeex 所以 即 由不等式可得 220122012 2013201320132 eee f f f 2 2012 4ab 当且仅当时 等号成立 故选择 b 2 22 8 2 ab ab ab 思路点拨 根据已知函数的特征结合所求 可得 22012 201320132013 eee f f f 即可得 再利用不等式 即可求得 2f xf ex 4ab 2 22 2 ab ab 数学理卷 2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题 201411 6 的大小关系是则且已知yxbay ba xbarba 2 a b c d 视的值而定 yx yx yx ba 知识点 基本不等式 e6 答案 a 解析 解析 由不等式可得 又因为 2 22 22 abab 22 abab 所以可得 故选择 a 2 ab ab 2 ab ab 思路点拨 利用不等式可得 进而可以得证 2 22 22 abab 22 abab 数学理卷 2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考 201412 21 本小题满分 14 分 已知二次函数 关于的不等式的解集为 2 1f xxaxm x 2 21 1f xmxm 其中为非零常数 设 1 m m m 1 f x g x x 1 求的值 a 2 如何取值时 函数存在极值点 并求出极值点 k kr ln 1 xg xkx 3 若 且 求证 1m 0 x 1 1 22 nnn g xg xnn 知识点 一元二次不等式 导数的应用 二项式定理 基本不等式 e3 e6 b12 j3 答案答案 解析解析 1 2 2 当 m 0 时 k 取任意实数 函数 x 有极小值点 x2 当 m 0 时 函数 x 有极小值点 x2 有极大值点 x1 其中 3 略 22 12 2424 22 kkmkkm xx 解析解析 1 关于 x 的不等式 f x 2m 1 x 1 m2的解集为 m m 1 即不等式 x2 a 1 2m x m2 m 0 的解集为 m m 1 x2 a 1 2m x m2 m x m x m 1 x2 a 1 2m x m2 m x2 2m 1 x m m 1 a 1 2m 2m 1 a 2 2 由 1 得 2 21 1 111 f xxxmm g xx xxx x g x kln x 1 kln x 1 的定义域为 1 1 1 m x x 2 22 21 1 1 11 xk xkmmk x x xx 方程 x2 2 k x k m 1 0 的判别式 2 k 2 4 k m 1 k2 4m 当 m 0 时 0 方程 的两个实根为 则 x 1 x2 时 22 12 2424 1 1 22 kkmkkm xx x x2 时 函数 x 在 1 x2 上单调递减 0 x 0 x 在 x2 上单调递增 函数 x 有极小值点 x2 当 m 0 时 由 0 得或 若 则 故 x 1 时 22 12 2424 1 1 22 kkmkkm xx 函数 x 在 1 上单调递增 函数 x 没有极值点 若 0 x 时 则 x 1 x1 22 12 2424 1 1 22 kkmkkm xx 时 0 x x x1 x2 时 x x2 时 函数 x 在 1 x1 0 x 0 x 上单调递增 在 x1 x2 上单调递减 在 x2 上单调递增 函数 x 有极小 值点 x2 有极大值点 x1 综上所述 当 m 0 时 k 取任意实数 函数 x 有极小值点 x2 当 m 0 时 函数 x 有极小值点 x2 有极大值点 x1 其中 22 12 2424 22 kkmkkm xx 3 证明 m 1 g x 1 1 1 x x 11 1 1 n nnn n g xg xxx xx 1122 2 1111 nnnnn nnn nn xc xc xcx xxxx 122412nnnn nnn c xc xcx 令 t 则 t 122412nnnn nnn c xc xcx x 0 122412122412nnnnnnnnn nnnnnn cxcxc xc xc xcx 2t 122244122nnnnnnn nnn cxxcxxcxx 2 2n 2 12101210 22 nnnn nnnnnnnnnn cccccccccc t 2n 2 即 g x 1 n g xn 1 2n 2 思路点拨 本题主要考查二次函数 一元二次不等式 一元二次方程 导数的应用 均值 不等式等 其中利用导数求函数的极值点应注意在其定义域内解答 对于第三问也可以用数 学归纳法证明 数学文卷 2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考 期中 201412 10 已知 均为正数 且 则使恒成立的的取值范围为 a b 14 2 ab abc c a b c d 9 2 0 1 9 8 知识点 基本不等式e6 2 ab ab 答案 a 解析 a b 均为正数 14 2 ab a b a b 2 2 c 1 2 14 ab 1 2 2 2 ba ab 5 2 2 2 ba ab 9 2 9 2 思路点拨 由题知 a b a b 2 2 1 2 14 ab 1 2 2 2 ba ab 5 2 2 2 ba ab 9 2 数学文卷 2015 届江西省五校 江西师大附中 临川一中 鹰