《命题与证明》复习笔记(学生用).doc

命题与证明复习笔记一、 对一个概念的特征性质的描述叫做这个概念的定义。练习：1、在下列空格中，填写适当的概念：（1）同一平面内没有公共点的两条直线叫作 ；（2）把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离叫作 ；（3）把平面图形沿着平面内一条直线l翻折，得到该平面内的一个图形，这叫作关于直线l的 ；（4）把平面图形上每一个点，绕这个平面内一个定点o旋转同一个角a，得到一个图形，图形的这种变换叫作 ；（5）能够完全重合的两个图形叫作 .（6）连结三角形两边中点的线段叫做三角形的 (7)如果一个方程通过移项可以使左边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作 。（8）垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的 ；（9）在数轴上，表示一个实数的点与原点的距离叫作这个实数的 。(10)如果有一个数r,使得r2=a,那么r叫做a的一个 二、.叙述下列概念的定义：（1）矩形（2）菱形（3）正方形 （4）等腰三角形（5）等边三角形（6）直角三角形（7）等腰直角三角形（8）整数（9）有理数（10）实数二、叙述一件事情的句子（陈述句），如果要么事真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题。1、如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题。如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。练习：（1）命题“如果a是正实数，那么a有且只有两个平方根”，它的条件是 ，结论是 。（2）命题“等腰三角形的两底角相等”，它的条件是 ，结论是 。2、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫证明。3、找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论， 从而判断这个命题为假，这个过程叫做举反例。4、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题称为互逆的命题，其中的一个叫做另一个的逆命题。练习：写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：（1） 两直线平行，同旁内角互补； （2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）相等的角是内错角； （4）有一个角是60的三角形是等边三角形三、1、人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理。以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。定理也可以作为判断其他命题的真假的依据。2、公理和定理都是真命题，但有的真命题既不是公理也不是定理公理和定理的区别主要在于：公理的正确性不需要用推理来证明，而定理需要证明。3、初中阶段的公理：等量加等量，和相等。等量减等量，差相等。等量代换（即，如果a=b且c=b，那么a=c）整体大于部分。通过两点有且只有一条直线。连结两点的所有连线中，线段最短。经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平移不改变直线的方向。轴反射不改变图形的形状和大小。旋转不改变图形的形状和大小。四、证明的过程：首先要分清命题的条件是什么？结论是什么？把条件作为已知的内容，把结论作为求证的内容；其次要从已知条件出发，运用概念的定义、公理和已经证明过的定理，通过讲道理（推理），得出它的结论成立。练习:(1)证明：两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么其他几对同位角也相等，并且内错角相等，同旁内角互补。（2）证明：两条直线被第三条直线所截，如果有一对同旁内角互补，那么另一对同旁内角也互补，并且同位角相等。（3）证明：两条直线被第三条直线所截，如果有一对内错角相等，那么另一对内错角也相等，并且同位角相等。（4）证明：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线必相交。 两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线必相交。 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线必相交。（5）证明：等腰梯形的对角线交点与同一底的两个端点的距离相等。（6）证明：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。（7）证明：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角。（8）利用平行线的性质定理（即，两直线平行，同位角相等），证明：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（9）证明：角平分线任意一点到角两边的距离相等。（10）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（11）证明：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。（12）证明：每个内角都等于60的三角形是等边三角形。（13）证明：三角形的一条中位线与第三边的中线互相平分。（14）证明：平行四边形的两条对角线的交点到一组对边的距离相等。（15）证明：四个角都相等的四边形是矩形。（16）证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的距离相等。（17）证明：菱形的两条对角线交点到一组邻边的距离相等。（18）证明：菱形的两条对角线长度的平方和等于它的四条边长的平方和。（19）证明：有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。（20）证明：顺次连结正方形的四边中点得到的四边形是正方形。（21）证明：顺次连结菱形的四边中点得到的四边形是矩形。（22）证明：平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线的距离相等。（23）证明：菱形的面积等于它的两条对角线长度乘积的一半。（24）证明：菱形的对角线交点到四条边的距离相等。（25）证明：如果四边形是中心对称图形，并且它的两条对角线的交点是对称中心，那么它是平行四边形。（26）证明：如果四边形的过每一组对边中点的直线都是它的对称轴，那么它是矩形。（27）证明：如果四边形的两条对角线，过每一组对边中点的直线都是它的对称轴，那么它是正方形。（28）证明：等腰梯形的两条对角线的交点在它的对称轴上。（29）证明：如果实数a,b满足a2+b2=0，那么a=0且b=0。（30）、如图：已知A、D两点分别是正三角形DEF、正三角形ABC的中心，连结GH、AD，延长AD交BC于M，延长DA交EF于N，G是FD与AB的交点，H是ED与AC的交点。（1）写出三个不同类型的、必须经过至少两步推理才能得到的正确结论（不要求写出证明过程）；（2）问FE、GH、BC有何位置关系？试证明你的结论。（31）如图10是线段AB上一点，APC与BPD是等边三角形，请你判断AD与BC相等吗？并证明你的判断。（32）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转（00n900）,得正方形AB1C1D1, B1C1交CD于点E.求证：B1E=DE;（33）如图，在平行四边形ABCD中，是对角线的