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第2章 第11节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1一质点运动时速度与时间的关系为v(t)t2t2，质点作直线运动，则此物体在时间1,2内的位移为()A.B.C. D.答案：A解析：s(t2t2)dt(t3t22t).2设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则f(x)dx的值等于()A. B.C. D.答案：A解析：由于f(x)xmax的导函数f(x)2x1，所以f(x)x2x，于是f(x)dx(x2x)dx(x3x2).3设f(x)则f(x)dx()A. B.C. D不存在答案：C解析：如右图，f(x)dxx2dx(2x)dxx3(2xx2)(422).4. 若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要做的功为()A. 0.05 J B. 0.5 JC. 0.25 J D. 1 J答案：B解析：设力Fkx(k是比例系数)，当F1 N时，x0.01 m，可解得k100 N/m，则F100x，所以W100xdx50x20.5 J故选B.5. 2011湖南由直线x，x，y0与曲线ycosx所围成的封闭图形的面积为()A. B. 1C. D. 答案：D解析：封闭图形的面积Scosxdx20cosxdx2sinx02(sinsin0)，选D.6. 2012海南华侨中学统考如图，由曲线yx2和直线yt2(0t1)，x1，x0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是()A. B. C. D. 答案：D解析：S(t)(t2x2)dx(x2t2)dxt3t2，S(t)2t(2t1)0，得t为最小值点，此时S(t)min.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 2012广东一模已知f(x)是偶函数，且f(x)dx6，则5f(x)dx_.答案：12解析：因为5f(x)dx5f(x)dxf(x)dx，又函数f(x)为偶函数，所以5f(x)dxf(x)dx，5f(x)dx6612，故填12.8. 2012安徽合肥第一次质检函数f(x)x3x2x1在点(1,2)处的切线与函数g(x)x2围成的图形的面积等于_答案：解析：由f(x)3x22x1，得f(1)2，故在点(1,2)处的切线方程为y2x.由得x0或x2.于是，围成的面积S(2xx2)dx(x2x3)4.9. 2012福州质检已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图像如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为_答案：1解析：f(x)3x22axb，f(0)0，b0，f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a0)S阴影(x3ax2)dxa4，a1.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 求下列定积分：(1)(x)dx；(2)0dx.解：(1)(x)dx(x2lnx)ln2.(2)0dx0(cosxsinx)dx(sinxcosx)02.11求由曲线xy1及直线xy，y3所围成的平面图形的面积S.解：解法一：如图，由得A(1,1)过A点作直线x1将阴影部分分割成两部分，所以S3(1)dxSRtABC4ln3.解法二：以y为积分变量S(y)dy(y2lny)4ln3.12. 对于函数f(x)bx3ax23x.(1)若f(x)在x1和x3处取得极值，且f(x)的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sintcost2cos2t，试求实数t的取值范围；(2)若f(x)为实数集R上的单调函数，且b1，设点P的坐标为(a，b)，试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S.解：(1)f(x)bx3ax23x，f(x)3bx22ax3.f(x)在x1和x3处取得极值，x1和x3是f(x)0的两个根，f(x)x24x3.f(x)的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sintcost2cos2t，f(x)2sintcost2cos2t对xR恒成立，而f(x)(x2)21，其最大值为1，故2sintcost2cos2t1，2sin(2t)1，ktk，kZ.(2)当b0时，由f(x)在R上单调，知a0.当b0时，由f(x)在R上单调f(x)0恒成立，或者f(x)0恒成立f(x)3bx22