第八章 假设检验.ppt

第八章假设检验 什么是假设检验 假设检验就是利用样本数据对关于总体参数的原假设和备选假设进行检验的过程 若样本数据不支持原假设 则拒绝原假设 原假设用标注 为备选假设 原假设就是 在进行检验之前 对总体参数或总体分布做的一个初步假设 备选假设与原假设互为排斥 假设检验的原理 在原假设为真的前提下考虑某统计量的一次实现值 若该值的出现是一个小概率事件 则表明原假设成立的前提是不正确的 从而拒绝原假设 一般认为 小概率事件在一次试验中不可能出现 可以忽略不计 若原假设成立的情况下 由样本的统计量的出现是小概率事件 则拒绝原假设 假定已知某总体服从正态分布 其标准差为2 但不知其均值 现有人认为其均值为3 抽取一个容量为36的样本 得到样本平均值为3 9原假设 备选假设 假定H0成立 则有 若 z 1 96 则该事件发生是小概率事件 因为有 P z 1 96 0 05 那么我们认为不会发生 因此我们拒绝原假设 接受备选假设 计算得到z 2 7 因此我们拒绝原假设 0 1 96 1 96 拒绝域 2 拒绝域 2 注意到 假设检验涉及到小概率事件的标准 多小的概率算不可能出现 在上例中 小概率事件的出现以0 05为标准 这一标准我们称为显著水平 用 表示 由于确定了显著水平 我们相应的可以确定假设检验的临界值 上例中的临界值为1 96和 1 96 这里出现了双侧临界值的情况 如何建立原假设和备选假设 建立规则的三种情形 1 检验研究中的假设 研究中的假设一般为备选假设 拒绝H0 则研究假设为真 将得出支持研究的结论并采取行动 生产线 2 检验某项声明的有效性 在涉及对某项声明的有效性进行检验的情况下 通常将声明作为原假设 声明被质疑 拒绝H0将得出该声明不正确的结论 应考虑采取措施予以纠正 质检 3 决策中的假设检验 在上述两种情形中 如果拒绝H0则必须采取措施 然而 当面对分别与原假设和备选假设相联系的措施 决策者必须在二者间做出选择 在这种情况下 无论是否拒绝H0 都必须采取某种措施 关于假设形式的总结假设检验 双侧检验和单侧检验双侧检验 H0 Ha 单侧检验 H0 或Ha 或表达式中的等号总是出现在原假设中 在选择原假设或备选假设时 应将试图建立的结果设定为备选假设 第一类错误和第二类错误 原假设和备选假设是关于总体的两个对立的解释 二者之中有且仅有一个是正确的 因为假设检验是建立在样本数据基础上的 因此得出来的结论不一定百分百正确 存在发生错误的可能 存在两种错误 第一类错误和第二类错误 例如 某汽车生产研究小组设计了一种能提高汽车油料效能的新的燃料喷射器 目前旧型喷射器的效能为24公里每加仑 设定的假设检验如下 H0 u24由Ha表明 我们将试图找出的结论放入备选假设 在这个例子中 当H0为真时而拒绝了H0 表明这种新型喷射器实际上不比目前所用的喷射器好 但却错误认为这种新型的喷射器提高了每加仑燃料的功效 那么此时发生了第一类错误 若当H0为假时而接受了H0 表明这种新型喷射器实际上比目前所用的喷射器好 但错误认为这种喷射器没有提高每加仑燃料的功效 则此时发生了第二类错误 第一类错误发生的概率为 即检验的显著性水平 一般设置为0 05和0 01 在发生第一类错误概率较小时 如果拒绝原假设H0 则我们可以很大的程度相信关于拒绝原假设的结论是正确的 在这种情况下 统计上支持我们做出H0为假 而Ha为真的结论 即拒绝原假设总有较大的把握 第二类错误发生的概率为 它是把来自 1 1 0 的总体的样本值代入检验统计量所得结果落入接受域的概率 在绝大多数的假设检验运用中 一般都只对第一类错误进行控制 而通常不对第二类错误加以控制 由于第二类错误发生的不稳定性 我们一般采用 不能拒绝H0 而不采用 接受H0 的说法 采用 不能拒绝H0 的说法使我们避免了犯第二类错误的风险 因此 我们往往把要否定的陈述作为原假设 而把拟采纳的陈述本身作为备择假设 总体均值的单侧检验 大样本 HILLTOP咖啡的标签上表明其重量至少为3磅 今抽取36听咖啡组成一样本 检测其平均质量 得到x 2 92磅 由以前的研究结果已知总体的标准差为 0 18 选定 0 01 检验标签上的重量说明 H0 u 3Ha u 3检验统计量为 根据显著性水平 0 01 对应的拒绝域面积为0 01 临界值为 2 33Z 2 33 所以拒绝H0 即可认为没听咖啡的容量不足3磅 统计证据支持对HILLTOP咖啡重量不足采取投诉措施 0 2 67 拒绝域 0 01 2 33 落入小概率事件发生区域 同样咖啡检验平均重量的例子 现抽取新的样本 平均重量为2 97磅 再做检验 H0 u 3Ha u 2 33 所以不能拒绝H0 即不能说每听咖啡的平均重量不低于3磅的说明不真实 统计证据不能支持对HILLTOP咖啡重量不足采取投诉措施 0 1 拒绝域 0 01 2 33 样本统计量未落入小概率事件发生区域 小结 总体均值的单侧检验 大样本下 1 左侧检验的形式假设 H0 u u0 Ha u u0检验统计量 总体方差已知 总体方差未知 显著性水平为 是的拒绝法则为 若 则拒绝H0 2 右侧检验的形式假设 H0 u u0 Ha u u0检验统计量 总体方差已知 总体方差未知 显著性水平为 是的拒绝法则为 若 则拒绝H0 假设检验的步骤 1 确定原假设和备选假设2 选择检验统计量3 指定检验的显著性水平4 建立拒绝原假设的规则5 收集样本数据 计算检验统计量的值6 将检验统计量的值域拒绝规则的临界值比较 以决定是否拒绝原假设 或者 由检验统计量的值计算p值 利用p值确定是否拒绝原假设 关于p值 大多数统计软件提供有关假设检验的p值 p值是一个概率值 若我们假定原假设为真 则p值是获得一个至少与实测结果有相同不可能性的样本结果的概率 P值常被称为实测显著性水平 若p值 则拒绝H0 0 2 67 P Value 0 0038 2 33 拒绝域 1 P Value 0 1587 总体均值的双侧检验 大样本下 1 检验的形式假设 H0 u u0 Ha u u0检验统计量 总体方差已知 总体方差未知 显著性水平为 的拒绝法则为 若 z 则拒绝H0 0 拒绝域为 2 拒绝域 拒绝域 拒绝域为 2 某厂采用自动包装机分装产品 假定每包产品的重量服从正态分布 每包标准重量为1000克 某日随机抽查40包 测得样本平均重量为986克 样本标准差是24克 试问在 0 05的显著性水平上 能否认为这天自动包装机工作正常 由题意有 u0 1000 x 986 s 24 n 40 大样本 原假设为H0 u u0Ha u u0检验统计量为有Z 3 69 1 96 因而拒绝认为自动包装机运作正常的原假设 因此统计上能够支持对包装机运作不正常采取的措施 2 关于双侧检验的P值 在双侧检验中 p值为分布一侧面积的两倍 据测我们可以将P值与 直接比较 如果不是将一侧面积的两倍取为P值 那么必须另行建立基于一侧面积 2的关于p值的拒绝规则 3 区间估计与假设检验的关系在置信水平1 下的区间估计 显著水平为 的假设检验 因为有 所以 若x落在不拒绝区域内 则u0必被包含在置信区间内 即 检验统计量的值落在不拒绝域内 与置信区间包含总体参数是等价的 因此 我们有以下的用置信区间进行假设检验的形式 假设H0 u u0 Ha u u0我们可以通过计算置信区间来判断是否拒绝或不拒绝原假设 计算1 置信水平下的估计区间 或若所得的置信区间不包含u0 则拒绝H0 否则不能拒绝 上例 我们用求置信区间的方法 来判断原假设是否合理 大样本下满足中心极限定理 样本均值的抽样分布服从正态分布 从而有置信区间 978 56 993 44 该区间不包含u0 1000 因此我们拒绝原假设H0 检验表明 该包装机未能正常工作 总体均值的检验 小样本情形 小样本下 已知总体为正态分布 我们考虑以下两种情况 1 总体方差已知2 总体方差未知在总体方差已知的情况下 即使样本容量较小 但样本平均数的抽样分布总是以平均值为均值 以为标准差的正态分布 因此其检验过程和检验统计量同大样本情形 总体均值的检验 小样本情形且总体方差未知 1 检验的形式 样本来自正态总体 1 左侧假设H0 u u0 Ha u u0检验统计量为显著性水平为 时的拒绝法则为 若则拒绝H0 2 右侧假设H0 u u0 Ha u u0检验统计量为 显著性水平为 时的拒绝法则为 3 双侧假设H0 u u0 Ha u u0检验统计量为 显著性水平为 时的拒绝法则为 国际航空运输联合会通过调查商务旅行者来评定跨太平洋通道的机场等级 最大可为10 限选取12名商务旅行者作为一简单随机样本 要求他们对伦敦的heathrow国际机场评定等级 得到的数据分别为 7 8 10 8 6 9 6 7 7 8 9 8 假定级别总体近似服从正态分布 试问在显著水平5 下 该机场能否被命名为高水平服务水准机场 高水平服务水准机场的标准是评分等级超过7 由题意有 u0 7 x 7 75 n 12 s 1 125设定假设命题有 H0 u u0 Ha u u0由命题可知 该假设检验为右侧检验 计算统计量在显著水平5 下 右侧检验的拒绝域为 T 2 14 1 796 统计量落入小概率事件区域 因此我们拒绝原假设 即可将Heathrow机场列入高服务水准机场 0 拒绝域 1 796 2 14 2 201 由样本计算得到的统计量2 14对应的P value小于0 05显著水平 因此拒绝H0 设计要求生产过程冲入容器的重量均值为u 16盎司 质量保证人员定期选取8只容器组成简单随机样本进行检验 样本数据为 16 02 16 22 15 82 15 92 16 22 16 32 16 12 15 92假定冲入重量的总体服从正态分布 问该容器的生产是否满足设计要求 由题意 n 8 计算得到样本均值x 16 07 样本标准差s 设定假设命题有 H0 u 16 Ha u 16 由命题可知该检验为双侧检验 由于小样本下未知总体方差 但已假定其总体为正态分布 那么采用t统计量来检验 根据双侧检验的原则 我们查找5 显著水平下对应的拒绝域 t 2 365 自由度为n 1的t分布对应的上侧面积为0 025时的点 由样本计算得到的统计量t 2 365 我们不能得到拒绝原假设的结论 即认为没有足够的证据表明冲入重量不符合设计要求 总体比率的假设检验 1 检验的形式 1 左侧假设H0 p p0 Ha p p0检验统计量为显著性水平为 时的拒绝法则为 若则拒绝H0 2 右侧假设H0 p p0 Ha p p0检验统计量为显著性水平为 时的拒绝法则为 若则拒绝H0 3 双侧假设H0 p p0 Ha p p0检验统计量为 显著性水平为 时的拒绝法则为 在过去的几个月中 PG高尔夫球场的运动者中有20 为女性 为了增加女性运动者的比率 该球场以打折作活动的方式来吸引女性运动者 在活动进行了一段时间后 有400名运动者组成的一个随机简单样本表明 其中有女性运动者100名 男性运动者300名 问能否认为该活动使女性运动者的比率上升 由题意 p0 0 2 样本计算的到的样本比率为p 0 25 n 400 对应为大样本情况 设定假设命题有 H0 P p0 Ha P p0 右侧检验 我们有样本计算统计量z我们将该统计量与5 显著水平下的拒绝域比较 拒绝域为z 1 645 由于样本计算得到的z统计量大于临界值1 645 则说明拒绝原假设 统计上提供证据可以认为打折活动使女性朋友的参与率提高了 作业 1 Danvers Hilton风景旅馆的管理者声称 周末顾客帐单的均值小于或等于600美元 该旅馆的会计发现最近几个月客人的帐单上费用持续增加 因此 会计想根据周末帐单所组成的样本来验证管理者的说法 A 为验证管理者的说法 应采用哪种假设检验形式 为什么 B 若不能拒绝H0 则得到适当的结论是什么 C 若可以接受H0 可得到适当的结论是什么 2 Carpetland的推销员每周平均销售额为8000美元 该公司的副董事长SteveContois建议采取一种新型的刺激销售的补偿计划 Steve想根据试行该计划的一个销售期间的数据 得出该计划增加了每名销售人员的平均销售量的结论 a 建立合适的原假设和备择假设 b 这种情况下 发生第一类错误的概率是多少 发生这类错误将会导致怎样的后果 c 这种情况下 发生第二类错误的概率是多少 发生这类错误将会导致怎样的后果 3 在1995年3月31日之前 1994年个人缴纳的联邦所得税平均为1056美元 USAToday 1995 4 5 考虑由在所得税纳税期间的最后5天 4月10日至4月15日 才汇出其税款的纳税人所组成的 最后一分钟 总体 a 一名研究人员认为 纳税人直到最后5天才缴纳税款的原因之一是这些人所交税款的平均值要比在此之前交税的那些人要少 建立适当的假设 以便得出当拒绝H0时支持该研究人员说法的结论 b 由400名在4月10日到4月15日之间缴税个人所组成的样本表明 其纳税额的样本均值为910美元 样本标准差为1600美元 在 0 05时 你的结论是什么 c 检验的p 值为多少 4 CNN和ActMedia提供的电视频道用于播放新闻 广告和特别报道 以百货商店等待结帐时排队的个人为播出对象 假定百货商店购物者排队等待结帐时间的总体均值为8分钟 所以这些电视节目每8分钟循环放映一次 AstoundingAverages 1995 在某主要百货商店选取120名购物者组成样本 其等待时间的样本均值为7 5分钟 样本标准差为3 2分钟 a 检验H0 u 8和Ha u 8 取显著性水平为0