高三数学二轮复习 第二篇 数学思想 2.2 数形结合思想课件 理 新人教版.ppt

第二讲数形结合思想 思想解读 数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 其应用包括以下两个方面 1 以形助数 把某些抽象的数学问题直观化 生动化 能够变抽象思维为形象思维 2 以数定形 把直观图形数量化 使形更加精确 热点1利用数形结合思想研究零点 方程的根 典例1 2016 大连一模 函数f x 2sinx ln x 1 的零点个数为 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 因为f x 2sinx ln x 1 2 1 cosx sinx 2sinx ln x 1 sin2x ln x 1 所以函数f x 的零点个数为函数y sin2x与y ln x 1 图象的交点的个数 函数y sin2x与y ln x 1 的图象如图所示 由图知 两函数图象有2个交点 所以函数f x 有2个零点 规律方法 利用数形结合探究方程解的问题的关注点 1 讨论方程的解 或函数的零点 一般可构造两个函数 使问题转化为讨论两曲线的交点问题 但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性 全面性 否则会得到错解 2 正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键 数形结合应以快和准为原则 不要刻意去用数形结合 变式训练 2016 洛阳一模 已知函数f x 满足f x 2f 当x 1 3 时 f x lnx 若在区间内 函数g x f x ax与x轴有三个不同的交点 则实数a的取值范围为 解析 由题意知 f x 因为在区间内 函数g x f x ax与x轴有三个不同的交点 所以函数f x 与y ax在区间内有三个不同的交点 作函数f x 与y ax在区间内的图象如图 结合图象可知 当直线y ax与f x lnx相切时 解得 x e 此时a 当直线y ax过点 3 ln3 时 答案 热点2利用数形结合思想解决最值问题 典例2 2016 重庆一模 过点 0 引直线l与曲线y 相交于a b两点 o为坐标原点 当 aob的面积取最大值时 直线l的斜率等于 解析 选b 由于y 即x2 y2 1 y 0 直线l与x2 y2 1 y 0 交于a b两点 如图所示 s aob sin aob 且当 aob 90 时 s aob取得最大值 此时ab 点o到直线l的距离为 则 ocb 30 所以直线l的倾斜角为150 则斜率为 规律方法 利用数形结合思想解决最值问题的一般思路 1 对于几何图形中的动态问题 应分析各个变量的变化过程 找出其中的相互关系求解 2 对于求最大值 最小值问题 先分析所涉及知识 然后画出相应的图象数形结合求解 变式训练 1 记实数x1 x2 xn中最小数为min x1 x2 xn 则定义在区间 0 上的函数f x min x2 1 x 3 13 x 的最大值为 a 5b 6c 8d 10 解析 选c 在同一坐标系中作出三个函数y x2 1 y x 3 y 13 x的图象如图 由图可知 min x2 1 x 3 13 x 为y x 3上a点下方的射线 抛物线ab之间的部分 线段bc 与直线y 13 x点c下方的部分的组合体 显然 在c点时 y min x2 1 x 3 13 x 取得最大值 解方程组得 c 5 8 所以max min x2 1 x 3 13 x 8 2 若实数x y满足等式x2 y2 1 那么的最大值为 解析 选b 设k 如图所示 kpb tan opb kpa tan opa 且kpa k kpb 所以kmax 热点3利用数形结合思想解决不等式 参数问题 典例3 实系数一元二次方程x2 ax 2b 0的一个根在 0 1 上 另一个根在 1 2 上 则的取值范围是 a 1 4 b 1 4 解析 选d 设f x x2 ax 2b 因为方程x2 ax 2b 0的一个根在区间 0 1 内 另一个根在区间 1 2 内 所以可得 作出满足上述不等式组对应的点 a b 所在的平面区域 得到 abc及其内部 即如图所示的阴影部分 不含边界 其中a 3 1 b 2 0 c 1 0 设点e a b 为区域内的任意一点 则k 表示点e a b 与点d 1 2 连线的斜率 因为结合图形可知 kad k kcd 所以的取值范围是 规律方法 1 数形结合思想解决参数问题的思路 1 分析条件所给曲线 2 画出图象 3 根据图象求解 2 常见的数与形的转化 1 集合的运算及韦恩图 2 函数及其图象 3 数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 4 方程 多指二元方程 及方程的曲线 变式训练 当x 1 2 时 x 1 2 logax恒成立 则实数a的取值范围是 解析 由题意可知a 1 在同一坐标系内作出y x 1 2 x 1 2 及