多面体欧拉定理的发现.doc

多面体欧拉定理的发现【新课引入】让学生观察足球,提问：足球表面有哪些图形?足球表面有几个顶点,几条棱,几个面?以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。看一看能否找到一些规律.【设计意图】从生活的实际问题引入,可以调节课堂气氛,激发学生的学习兴趣, 培养学生的观察能力和动手操作的能力,同时可以自然地过渡到数多面体的顶点数,面数,棱数.【新课讲解】1.尝试猜想:以小组为单位,要求学生自己再举一些多面体,数一数它们的面数,棱数,顶点数,把数据填入统计表内，看一看能否找出规律。多面体顶点数面数棱数规律在个人思考、分组讨论的基础上，由小组的组长总结归纳规律：顶点数+面数-棱数=2教师指出这就是有名的欧拉公式:V+F-E=2【设计意图】让学生学会分析、总结，从现象看到本质，掌握从特殊到一般的规律.同时可以培养学生的动手,创新能力和交流协作的能力。2介绍欧拉（利用电脑制作一段有关欧拉生平的录像）(大约1-2分钟)欧拉，瑞士数学家，16岁获硕士学位，毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文.欧拉的成功不是偶然，而是靠他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神。既使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用 f ( x )表示.函数、表示连加、i表示虚数单位、e等。【注】更多介绍见最后【阅读材料】。【设计意图】通过录像，声情并茂介绍大数学家欧拉，使学生能够更好地了解欧拉的科学精神与顽强地毅力,促进学生非智力因素地发展.3构造反例先让学生举反例，如果学生举不出，教师用几何画板进行引导演示过程中，要求学生计算这些多面体的顶点数，面数，棱数，然后将数据填入下表中情况1：正方体挖去一个四棱锥（可以动画展示）如下图1 情况2：拖动O点使之下移（可以动画展示）如下图2情况3：拖动O点使之上移（可以动画展示）如上图3情况4：侧面两个四棱锥挖掉 多面体顶点数棱数面数顶点数+面数-棱数图1图2图3图4【设计意图】深入探究，完善猜想. 可以培养学生空间想象能力,表达能力及创造能力。4简单多面体概念的引入提问: 图3中的多面体与我们学过的多面体有什么不同？教师指出：欧拉研究多面体有一种创意，那就是假设它的表面是用橡胶薄膜做成的，然后充气，在连续变形且不破裂的前提下，把平面变成了曲面。（多媒体演示）教师顺势得出简单多面体的概念。5完善猜想如何修正猜想?【设计意图】自然地引入简单多面体概念,同时让学生发现欧拉公式的适用范围,从而完善猜想.通过多媒体动态演示可以更好地理解简单多面体地概念. 6构建平台1：分析欧拉公式：V+F-E=2若棱数和面数都减少相同的数值，则V+F-E的值改变吗？若棱数和顶点数都减少相同的数值，则V+F-E的值改变吗？7构建平台2：（1）让学生探求平面图形的V+F-E的值学生探讨：1.图形中每增加一个顶点，V+F-E的值为多少2.图形中每减少一个顶点，V+F-E的值为多少3.图形中每减少一条棱， V+F-E的值为多少4.图形中每增加一个面， V+F-E的值为多少 8欧拉公式的证明提问：现在给你任意一个简单多面体（如下图1），假想它的面也是用橡胶薄膜做成的,内部是空的. 如何证明V+F-E=2？（学生很可能回答不出来，此时教师可进行适当的引导）教师引导1：拉成平面图后（图2） ，它的V+F-E的值为多少？如何证明平面图的V+F-E=1？能不能通过减少棱数来实现呢？教师引导2：在平面图2中,若去掉它周围的一条棱,)此时V+F-E有变化吗?这样可以逐步把 “周围”的棱一 一去掉,同时保持V+F-E的值不变.最后剩下什么图形(如图8),此时V+F-E的值为多少?( V+F-E=1)【设计意图】通过平台1引导学生探讨欧拉公式，其目的是让学生明白同时减少棱数，面数或同时减少棱数，顶点数，V+F-E的值不变。通过平台2让学生自主的探讨平面图形的点，线，面的关系，其目的是让学生明白平面图形的V+F-E1，空间问题平面化。如果学生提出其它证法，可以讨论，辨别后作出评价。9.归纳反思（1）欧拉公式的探索过程:发现猜想再发现完善猜想证明猜想（2）新的几何领域：拓扑学10. 欧拉公式的另一证明把“立体图”的面煎掉后，其余各面铺开。展开后，各面的棱数和顶点数没有变，而多边形内角和只与边数有关，所以多面体各个面内角总和不变。展开后，各面的棱数和顶点数没有变，而多边形内角和只与边数有关，所以多面体各个面内角总和不变。设多面体个面，各面边数分别为，则内角总和为，设多面体有个顶点，底面是边形，则“展开图”有个顶点在中间，则内角总和为,，又，11定理的意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图平面图）。（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。（4）给出多面体分类方法：在欧拉公式中，令 f (p)叫做欧拉示性数。定理告诉我们，简单多面体的欧拉示性数f (p)=2。除简单多面体外，还有不是简单多面体的多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面，它的欧拉示性数为f (p)=16+16-32=0，所以带一个洞的多面体的欧拉示性数等于零。【例题讲解】例1:欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家。是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体。这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目。解：设分子中有五边形个，六边形个。分子这个多面体的顶点数，面数，棱数，由欧拉定理得： （1），另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得 （2），由（1）（2）得：，分子中五边形有12个，六边形有20个。例2：有没有棱数是7 的简单多面体？解：假设有一个简单多面体的棱数E=7根据欧拉公式得：V+F=E+2=9因为多面体的顶点数V4，面数F4，所以只有两种情形：V=4，F=5或V=5，F=4但是，有4 个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有四个顶点所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体例3由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。证明：设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱，令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 （1） 令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱。由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数 （2）由（1）（2）得：，代入欧拉公式： （3），又，但，不能同时大于，（若，则有，即这是不可能的），中至少有一个等于令，则，同样若可得 D1 DE1 E C1 D E1 D1A1 B1 C C1 C A1 B1 E AA B B 图（1） 图（2）【阅读材料】欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，无穷小分析引论、微分学原理、积分学原理等都成为数学中的经典著作。 欧拉对数学的研究非常广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。欧拉的惊人成就并不是偶然的,是他顽强意志的必然结果，他可以在任何不良的环境中工作，经常抱着孩子在膝上完成论文。欧拉在28岁时，不幸一支眼睛失明，30年以后，他的另一只眼睛也失明了。他双目失明以后，从没有停止过他的数学研究。他以惊人的毅力和坚忍不拔的精神继续工作着，在他双目失明至逝世的十七年间，口述著作了几本书和400篇左右的论文。由于欧拉的著作甚多，出版欧拉全集是十分困难的事情，1909年瑞士自然科学会就开始整理出版，直到现在还没有出完，计划是72卷。 在欧拉的886种著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中不少是教科书。他的著作文笔流畅、浅显、通俗易懂，读后引人入胜十分令读者敬佩。尤其值得一提的是他编写的平面三角课本，采用的记号如等等现今已经成为数学的国际语言。 欧拉1720年秋入读巴塞尔大学，由于异常勤奋和聪慧，受到约翰伯努利的赏识，并给以特别的指导，在此期间欧拉同约翰的两个儿子尼古拉伯努力和丹尼尔伯努利也结成了亲密的朋友。 欧拉19岁写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖金，从此开始了创作生涯，以后陆续得奖多次。1725年丹尼尔兄弟赴俄国，向沙皇喀德林一世推荐欧拉，欧拉于1727年5月17日到了彼得堡，1733年丹尼尔回巴塞尔，欧拉接替他任彼得堡科学院数学教授，时年仅26岁。1735年，欧拉解决一个天文学的难题（计算彗星轨道）。 这个由几个著名数学家，经过几个月的努力才得以解决的问题，欧拉却以自己发明的方法，三日而成。 17411766年，欧拉应普鲁士腓特烈大帝的邀请，在柏林担任柏林科学院物理数学所所长，1766年，在俄国沙皇喀德林二世的诚恳敦聘了重回彼得堡。1771年彼得堡失火，殃及欧拉住宅,带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火之中。紧急关头，为他做家务的一个工人冒着生命危险，冲进火中把欧拉抢救出来,欧拉的书库及大量研究成果全部化为灰烬。 沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。欧拉在完全失明之前，左眼还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生和大儿子A欧拉（17341800年，也是数学家和物理学家）笔录。欧拉完全失明之后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世。 欧拉的记忆和心算能力是罕见的，他能够复述青年时代笔记的内容，高等数学一样可以用心算去完成。有一次，欧拉的两个学生，分别把一个很复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字时，结果相差一个单位。欧拉为了确定究竟谁计算得对，用心算进行了全部运算，最后把错误找了出来。欧拉在失明的十七年中，还解决了使牛顿头痛的月离（月球运行）问题和很多复杂的分析问题。 欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家。从19岁起和欧拉通信、讨论等周问题的一般解法，从而引起了变分法的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得了欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛赞拉格朗日的成就，并谦恭地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年轻的拉格朗日的著作得以发表和流传，赢得巨大声誉。1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭。那时天王星刚发现不久，欧拉写出计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下欧拉就这样“停止了生命和计算”。 历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并列