高三数学一轮复习 第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和课件 文.ppt

文数课标版 第二节等差数列及其前n项和 1 等差数列的定义如果一个数列从 第二项起 每一项与前一项的差等于 同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 公差 通常用字母 d表示 定义的表达式为an 1 an d n n 教材研读 2 等差数列的通项公式等差数列 an 的通项公式是 an a1 n 1 d 3 等差中项如果 a 那么a叫做a与b的等差中项 4 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m d n m n 2 若 an 是等差数列 且k l m n k l m n n 则 ak al am an 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为 2d 4 若 an bn 项数相同 是等差数列 则 pan qbn p q是常数 仍是等差数列 5 若 an 是等差数列 则ak ak m ak 2m k m n 组成公差为 md的等差数列 5 等差数列的前n项和公式等差数列 an 的前n项和sn 或sn na1 6 等差数列的前n项和公式与函数的关系sn n2 n 数列 an 是等差数列 sn an2 bn a b为常数 7 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 若a1 0 d0 则sn存在最小值 判断下列结论的正误 正确的打 错误的打 1 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 3 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 4 已知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 5 若数列 an bn 项数相同 都是等差数列 则数列 an bn 也一定是等差数列 6 等差数列 an 的首项为a1 公差为d 取出数列中的所有奇数项 组成一个新的数列 则此新数列一定是等差数列 1 在等差数列 an 中 若a2 4 a4 2 则a6 a 1b 0c 1d 6答案b设数列 an 的公差为d 由a4 a2 2d a2 4 a4 2 得2 4 2d d 1 a6 a4 2d 0 故选b 2 2015东北师大附中摸底考试 等差数列 an 中 a1 a5 10 a4 7 则数列 an 的公差为 a 1b 2c 3d 4答案b设公差为d a1 a5 2a3 10 a3 5 又 a4 7 d 2 故选b 3 2016广东惠州调研 等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 6 a1 4 则公差d等于 a 1b c 2d 3答案c s3 6 a1 a3 且a3 a1 2d a1 4 d 2 故选c 4 已知等差数列 an 满足a1 a2 a3 a101 0 则有 a a1 a101 0b a2 a100 0c a3 a99 0d a1 51答案c s101 0 s101 0 a1 a101 a2 a100 a3 a99 0 故选c 5 已知等差数列 an 中 a5 a9 a7 10 记sn a1 a2 an 则s13的值为 答案130解析由a5 a9 a7 10可得2a7 a7 a7 10 由等差数列前n项和公式可得s13 13a7 130 考点一等差数列的基本运算典例1 1 设等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 2 s3 12 则a6等于 a 8b 10c 12d 14 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m a 3b 4c 5d 6答案 1 c 2 c解析 1 s3 3a2 12 a2 4 考点突破 a1 2 d a2 a1 4 2 2 a6 a1 5d 12 故选c 2 解法一 sm 1 2 sm 0 sm 1 3 am sm sm 1 2 am 1 sm 1 sm 3 公差d am 1 am 1 由sn na1 d na1 得由 得a1 代入 可得m 5 解法二 数列 an 为等差数列 且前n项和为sn 数列也为等差数列 即 0 解得m 5 经检验为原方程的解 故选c 方法指导 1 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想来解决问题 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中可起到变量代换作用 a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用解题方法 1 1设sn为等差数列 an 的前n项和 若a1 1 公差d 2 sn 2 sn 36 则n a 5b 6c 7d 8答案d解法一 由题意知sn na1 d n n n 1 n2 则sn 2 n 2 2 因为sn 2 sn 36 所以 n 2 2 n2 4n 4 36 所以n 8 解法二 由sn 2 sn an 1 an 2 2a1 2n 1 d 2 2 2n 1 36 解得n 8 所以选d 1 3已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a1 1 a3 3 所以1 2d 3 解得d 2 则an 1 n 1 2 3 2n n n 考点二等差数列的性质及其应用典例2 1 在等差数列 an 中 a3 a9 27 a6 sn表示数列 an 的前n项和 则s11 a 18b 99c 198d 297 2 已知等差数列 an 的公差为2 项数是偶数 奇数项之和为15 偶数项之和为25 则这个数列的项数为 a 10b 20c 30d 40 3 等差数列 an 的前m项和为30 前3m项和为90 则它的前2m项和为 答案 1 b 2 a 3 60解析 1 因为a3 a9 27 a6 2a6 a3 a9 所以3a6 27 所以a6 9 所以s11 a1 a11 11a6 99 2 设这个数列有2n项 由等差数列的性质可知 偶数项之和减去奇数项之和等于nd 即25 15 2n 故2n 10 即数列的项数为10 3 由sm s2m sm s3m s2m成等差数列 可得2 s2m sm sm s3m s2m 即s2m 60 易错警示一般地 运用等差数列的性质可以化繁为简 优化解题过程 但要注意性质运用的条件 如m n p q m n p q n 则am an ap aq 该性质的运用条件是序号之和相等 2 1已知 an bn 都是等差数列 若a1 b10 9 a3 b8 15 则a5 b6 答案21解析因为 an bn 都是等差数列 所以2a3 a1 a5 2b8 b10 b6 所以2 a3 b8 a1 b10 a5 b6 即2 15 9 a5 b6 解得a5 b6 21 2 2已知 an 为等差数列 若a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 则a19 a20 a21 答案20解析由等差数列的性质 可知s3 s6 s3 s9 s6 s21 s18成等差数列 设此数列的公差为d 所以5 2d 10 所以d 所以a19 a20 a21 s21 s18 5 6d 5 15 20 考点三等差数列的判定与证明典例3若数列 an 的前n项和为sn 且满足an 2snsn 1 0 n 2 a1 1 求证 是等差数列 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 证明 当n 2时 由an 2snsn 1 0 得sn sn 1 2snsn 1 又易知sn 0 所以 2 又 2 故是首项为2 公差为2的等差数列 2 由 1 可得 2n sn 当n 2时 an sn sn 1 当n 1时 a1 不适合上式 故an 方法指导证明一个数列为等差数列的基本方法有两种 一是定义法 证明an an 1 d n 2 d为常数 二是等差中项法 证明2an 1 an an 2 若证明一个数列不是等差数列 则可以举反例 也可以用反证法 3 1已知数列 an 中 a1 2 an 2 n 2 n n 设bn n n 求证 数列 bn 是等差数列 证明 an 2 an 1 2 bn 1 bn 1 bn 是首项为b1 1 公差为1的等差数列 考点四等差数列的前n项和及其最值典例4在等差数列 an 中 a1 29 s10 s20 则数列 an 的前n项和中最大的为 a s15b s16c s15和s16d s17答案a解析 s10 s20 10a1 d 20a1 d 又a1 29 d 2 sn 29n 2 n2 30n n 15 2 225 当n 15时 sn取得最大值 方法指导处理等差数列前n项和的最值问题的常用方法 1 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 2 将等差数列的前n项和sn an2 bn a b为常数且a 0 看作二次函数 根据二次函数的性质求解 变式4 1若将本例中的条件 a1 29 s10 s20 改为 a1 0 s5 s12 如何求解 解析解法一 由s5 s12得5a1 10d 12a1 66d 即d a1 0 所以sn na1 d na1 a1 n2 17n a1 a1 因为a1 0 n n 所以当n 8或n 9时 sn取得最大值 解法二 同解法一得d a1 0 设此数列的前k项和最大 则即解得即8 k 9 又k n 所以k 8或9 所以当n 8或n 9时 sn取得最大值 解法三 同解法一得d a1 0 由于sn na1 d n2 n 设f x x2 x 则函数y f x 的图象为开口向下的抛物线 由s5 s12知 抛物线的对称轴为x 易知