高三数学一轮复习 不等式选讲 第二节 不等式的证明课件 理.ppt

理数课标版 第二节不等式的证明 1 比较法 1 作差法 a b r a b 0 a b a b0 b 0 1 a b 1 a b 1 a b 2 综合法与分析法 1 综合法 从已知条件出发 利用定义 公理 定理 性质等 经过一系列的 推理 论证而得出命题成立 综合法又叫顺推证法或由因导果法 教材研读 2 分析法 证明命题时 从待证不等式出发 逐步寻求使它成立的 充分条件 直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 定义 公理 定理等 这是一种 执果索因的思考和证明方法 3 反证法先假设要证明的命题 不成立 以此为出发点 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行正确的 推理 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明假设 不正确 从而证明原命题成立 我们把它称为反证法 4 放缩法证明不等式时 通过把所证不等式的一边适当地 放大或缩小 以利于化简 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 从而得出原不等式成立 这种方法称为放缩法 1 设a b为不等的正数 且m a4 b4 a2 b2 n a3 b3 2则有 a m nb mnd m n 答案cm n a4 b4 a2 b2 a3 b3 2 a6 b6 a4b2 b4a2 a6 b6 2a3b3 a4b2 b4a2 2a3b3 a2b2 a b 2 因为a b为不等的正数 所以a2b2 a b 2 0 所以m n 2 若a b c 则a b c的大小关系为 a a b cb a c bc b c ad c a b答案a 分子 有理化得a b c a b c 3 若02 a2 b2 2ab 故只需比较a b与a2 b2的大小即可 a2 b2 a b a a 1 b b 1 0 a 1 0 b 1 a a 1 b b 1 0 a2 b2 a b 故选a 4 设a b c均为正数 求证 证明 a b c均为正实数 当且仅当a b时取等号 当且仅当b c时取等号 当且仅当a c时取等号 三个不等式两边相加得 当且仅当a b c时等号成立 考点一比较法证明不等式典例1 2016安徽江南十校3月联考 已知函数f x x 2x 1 记f x 1的解集为m 1 求m 2 已知a m 比较a2 a 1与的大小 解析 1 f x x 2x 1 由f x 1 得或或 考点突破 解得00 所以a2 a 1 综上所述 当0 方法技巧作差比较法证明不等式的步骤 1 作差 2 变形 3 判断差的符号 4 下结论 其中 变形 是关键 通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式 再结合不等式的性质判断出差的正负 注 作商比较法也有类似的步骤 但注意其比较的是两个正数的大小 且第 3 步要判断商与1的大小 1 1已知a b 0 证明 aabb ab 证明a b 0 当a b时 1 当a b时 1 0 则 1 当b a时 01 综上可知 aabb ab成立 考点二综合法与分析法证明不等式典例2 2015课标 24 10分 设a b c d均为正数 且a b c d 证明 1 若ab cd 则 2 是 a b cd 所以 2 2 因此 2 i 若 a b c d 则 a b 2 c d 2 即 a b 2 4abcd 由 1 得 ii 若 则 2 2 即a b 2 c d 2 因为a b c d 所以ab cd 于是 a b 2 a b 2 4ab 是 a b c d 的充要条件 规律总结1 利用综合法证明不等式时 应注意对已证不等式的使用 常用的不等式有 1 a2 0 2 a 0 3 a2 b2 2ab 它的变形形式有 a b 2 4ab 等 4 a 0 b 0 它的变形形式有a 2 a 0 2 ab 0 2 ab 0 等 2 分析法证明不等式的注意事项 用分析法证明不等式时 不要把 逆求 错误地作为 逆推 分析法的过程仅需要寻求充分条件即可 而不是充要条件 也就是说 分析法的思维是逆向思维 因此在证题时 应正确使用 要证 只需证 这样的连接 关键词 2 1设x 1 y 1 证明 x y xy 证明由于x 1 y 1 要证x y xy 只需证xy x y 1 y x xy 2 因为 y x xy 2 xy x y 1 xy 2 1 xy x y x y xy 1 xy 1 x y xy 1 xy 1 xy x y 1 xy 1 x 1 y 1 由条件x 1 y 1 得 xy 1 x 1 y 1 0 从而所要证明的不等式成立 考点三放缩法证明不等式典例3求证 k2 k k 1 k n 且k 2 即 分别令k 2 3 n得 1 将这些不等式相加得 1 即 1 1 1 1 1 即 1 2 n n 且n 2 成立 方法技巧 1 利用放缩法证明不等式 要根据不等式两边的特点进行恰当放缩 任何不适宜的放缩都会导致推证的失败 2 利用放缩法证明不等式就是采取舍掉式中一些正项或负项 或者在分式中放大或缩小分子 分母 或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数