高考数学一轮复习 11.7 离散型随机变量的均值与方差考点及自测 理 新人教A版.doc

第7讲离散型随机变量的均值与方差【2014年高考会这样考】1考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念2利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题. 考点梳理离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量x的分布列为xx1x2xixnpp1p2pipn(1)均值称e(x)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量x的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称d(x)2pi为随机变量x的方差，它刻画了随机变量x与其均值e(x)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量x的标准差【助学微博】两个防范在记忆d(axb)a2d(x)时要注意：(1)d(axb)ad(x)b，(2)d(axb)ad(x)三种分布(1)若x服从两点分布，则e(x)p，d(x)p(1p)；(2)若xb(n，p)，则e(x)np，d(x)np(1p)；(3)若x服从超几何分布，则e(x)n.六条性质(1)e(c)c(c为常数)；(2)e(axb)ae(x)b(a，b为常数)；(3)e(x1x2)ex1ex2；(4)如果x1，x2相互独立，则e(x1x2)e(x1)e(x2)；(5)d(x)e(x2)(e(x)2；(6)d(axb)a2d(x)(a，b为常数)考点自测1(2013日照二模)已知随机变量的分布列为：p(k)，k1,2,3，则d(35)等于()a6 b9 c3 d4解析e()(123)2，e(2)(122232)d()e(2)(e()222.d(35)9d()6.答案a2已知x的分布列为x101p设y2x3，则e(y)的值为()a. b4 c1 d1解析e(x)，e(y)e(2x3)2e(x)33.答案a3设随机变量xb(n，p)，且e(x)1.6，d(x)1.28，则()an8，p0.2 bn4，p0.4cn5，p0.32 dn7，p0.45解析xb(n，p)，e(x)np1.6，d(x)np(1p)1.28，答案a4(2013成都五校联考)从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则e(51)()a2 b1 c3 d4解析的可能取值为0,1,2.p(0).p(1).p(2).所以，的分布列为012p于是e()012.故e(51)5e()1513.答案c5(2013韵关调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若x表示取到次品的次数，则d(x)_.解析xb，d(x)3.答案 考向一离散型随机变量的均值和方差【例1】(2012新课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nn)的函数解析式(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率若花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润(单位：元)，求x的分布列、数学期望及方差若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由审题视点 (1)根据日需求量分类求出函数解析式(2)根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差，比较两种情况的数学期望或方差即可解(1)当日需求量n16时，利润y80.当日需求量n16时，利润y10n80.所以y关于n的函数解析式为y(nn)(2)x可能的取值为60,70,80，并且p(x60)0.1，p(x70)0.2，p(x80)0.7.x的分布列为x607080p0.10.20.7x的数学期望为e(x)600.1700.2800.776.x的方差为d(x)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润(单位：元)，那么y的分布列为y55657585p0.10.20.160.54y的数学期望为e(y)550.1650.2750.16850.5476.4.y的方差为d(y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的计算结果可以看出，d(x)d(y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小另外，虽然e(x)e(y)，但两者相差不大故花店一天应购进16枝玫瑰花答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润(单位：元)，那么y的分布列为y55657585p0.10.20.160.54y的数学期望为e(y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的计算结果可以看出，e(x)e(y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润故花店一天应购进17枝玫瑰花 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的均值与方差公式计算，则更为简单【训练1】 a、b两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，a队队员是a1、a2、a3，b队队员是b1、b2、b3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员a队队员胜的概率a队队员负的概率a1和b1a2和b2a3和b3现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设a队，b队最后所得总分分别为x，y(1)求x，y的分布列；(2)求e(x)，e(y)解(1)x，y的可能取值分别为3,2,1,0.p(x3)，p(x2)，p(x1)，p(x0)；根据题意xy3，所以p(y0)p(x3)，p(y1)p(x2)，p(y2)p(x1)，p(y3)p(x0).x的分布列为x0123py的分布列为y3210p(2)e(x)3210；因为xy3，所以e(y)3e(x). 考向二均值与方差性质的应用【例2】设随机变量x具有分布p(xk)，k1,2,3,4,5，求e(x2)2)，d(2x1)，.审题视点 利用期望与方差的性质求解解e(x)123453.e(x2)12232425211.d(x)(13)2(23)2(33)2(43)2(53)2(41014)2.e(x2)2)e(x24x4)e(x2)4e(x)41112427.d(2x1)4d(x)8，. 若x是随机变量，则f(x)一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算【训练2】 a，b两个投资项目的利润分别为随机变量x1和x2，根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：x15%10%p0.80.2x22%8%12%p0.20.50.3(1)在a，b两个项目上各投资100万元，y1和y2分别表示投资项目a和b所获得的利润，求方差d(y1)，d(y2)；(2)将x(0x100)万元投资a项目，100x万元投资b项目，f(x)表示投资a项目所得利润的方差与投资b项目所得利润的方差的和求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值解(1)由题设可知y1和y2的分布列为y1510p0.80.2y22812p0.20.50.3e(y1)50.8100.26，d(y1)(56)20.8(106)20.24，e(y2)20.280.5120.38，d(y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.(2)f(x)dd2d(y1)2d(y2)x23(100x)2(4x2600x31002)当x75时，f(x)3为最小值 考向三均值与方差的实际应用【例3】(2012福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0x11202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为x1，生产一辆乙品牌轿车的利润为x2，分别求x1，x2的分布列(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由审题视点 (1)利用互斥事件的概率公式求其概率(2)确定随机变量x1，x2可能的取值，分别求出x1，x2每个值对应概率，列出x1、x2的分布列(3)代入均值公式求出e(x1)、e(x2)，比较e(x1)、e(x2)大小，做出判断解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件a，则p(a).(2)依题意得，x1的分布列为x1123px2的分布列为x21.82.9p(3)由(2)得e(x1)123286(万元)，e(x2)1.82.92.79(万元)因为e(x1)e(x2)，所以应生产甲品牌轿车 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定【训练3】 (2013庆安一模)在一次智力测试中，有a、b两个相互独立的题目，答题规则为：被测试者答对问题a可得分数为a，答对问题b可得分数为b.先答哪个题目由被测试者自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二个问题，否则终止答题若你是被测试者，且假设你答对问题a，b的概率分别为p1，p2.(1)若p1，p2，你应如何依据题目分值的设置选择先答哪一道题？(2)若已知a10，b20，当p1，p2满足怎样的关系时，你选择先答a题？解(1)设先答问题a的得分为随机变量x，先答问题b的得分为随机变量y.p(x0)1p1；p(xa)p1(1p2)；p(xab)p1p2.e(x)0(1p1)ap1(1p2)(ab)p1p2ap1(1p2)(ab)p1p2ap1bp1p2.p(y0)1p2；p(yb)p2(1p1)；p(yab)p1p2.e(y)0(1p2)bp2(1p1)(ab)p1p2bp2(1p1)(ab)p1p2bp2ap1p2.e(x)e(y)ap1(1p2)bp2(1p1)若p1，p2，则e(x)e(y)ab.当ab时，先答a题；当ab时，先答a、b均可；当a0，即p1p1p22p2时，选择先答a题 规范解答17均值、方差与其他数学知识的综合问题 【命题研究】 离散型随机变量的期望、方差与其他数学知识相结合的问题，在近两年的高考中时有出现，体现了在知识交汇处命题的指导思想这类题目常以解答题的形式出现，将期望、方差与方程、函数、不等式等知识融合在一起，综合考查学生分析问题、解决问题的能力题目难度适中，一般属于中档题【真题探究】 (本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”(1)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为x.若每次抽取的结果是相互独立的，求x的分布列，期望e(x)和方差d(x)附：k2，p(k2k)0.100.050.01k2.7063.8416.635教你审题 (1)利用频率分布直方图，根据各矩形面积之和为1，求出样本数据落在区间40,60内的频率，则易求出频数即为“体育迷”人数，22列联表中各个值随之求出，计算k2的值，并作出判断(2)确定x的可能取值，利用二项分布概率公式求出概率，列出分布列，代入公式求e(x)，d(x)规范解答 (1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100(100.020100.005)25，“非体育迷”人数为75，从而22列联表如下：非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表的数据代入公式计算：k23.030.因为2.7063.030e(y)，所以甲的水平更高 a级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分)1(2013西安模拟)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为()a. b. c. d2解析由题意，知a012351，解得，a1.s22.答案d2签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设x为这3支签的号码之中最大的一个，则x的数学期望为()a5 b5.25 c5.8 d4.6解析由题意可知，x可以取3,4,5,6，p(x3)，p(x4)，p(x5)，p(x6).由数学期望的定义可求得e(x)5.25.答案b3若p为非负实数，随机变量的分布列为012ppp则e()的最大值为()a1 b. c. d2解析由p0，p0，则0p，e()p1.答案b4(2013广州一模)已知随机变量x8，若xb(10，0.6)，则e()，d()分别是()a6和2.4 b2和2.4 c2和5.6 d6和5.6解析由已知随机变量x8，所以有8x.因此，求得e()8e(x)8100.62，d()(1)2d(x)100.60.42.4.答案b二、填空题(每小题5分，共10分)5某射手射击所得环数的分布列如下：78910px0.10.3y已知的期望e()8.9，则y的值为_解析x0.10.3y1，即xy0.6.又7x0.82.710y8.9，化简得7x10y5.4.由联立解得x0.2，y0.4.答案0.4(2013温州调研)已知离散型随机变量x的分布列如右表，若e(x)0，d(x)1，则a_，b_.x1012pabc解析由题意知解得答案三、解答题(共25分)7(12分)若随机事件a在一次试验中发生的概率为p(0p1)，用随机变量x表示a在一次试验中发生的次数(1)求方差d(x)的最大值；(2)求的最大值解随机变量x的所有可能的取值是0.1，并且有p(x1)p，p(x0)1p.从而e(x)0(1p)1pp，d(x)(0p)2(1p)(1p)2ppp2.(1)d(x)pp22.0p1，当p时，d(x)取最大值，最大值是.(2)2.0p1，2p2.当2p，即p时取“”因此当p时，取最大值22.8(13分)(2013汕头一模)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，x表示所取球的标号(1)求x的分布列、期望和方差；(2)若axb，e()1，d()11，试求a，b的值解(1)x的分布列为x01234pe(x)012341.5.d(x)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由d()a2d(x)，得a22.7511，即a2.又e()ae(x)b，所以当a2时，由121.5b，得b2.当a2时，由121.5b，得b4.或即为所求b级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为 ()a. b. c. d.解析由已知得，3a2b0c2，即3a2b2，其中0a，0b1.又32 ，当且仅当，即a2b时取“等号”，又3a2b2，即当a，b时，的最小值为，故选d.答案d2(2012上海)设10x1x2x3d(2)bd(1)d(2)cd(1)d(2)dd(1)与d(2)的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关解析利用期望与方差公式直接计算e(1)0.2x10.2x20.2x30.2x40.2x50.2(x1x2x3x4x5)e(2)0.20.20.20.2(x1x2x3x4x5)e(1)e(2)，记作，d(1)0.2(x1)2(x2)2(x5)20.2xxx522(x1x2x5)0.2(xxx52)同理d(2)0.22225 2.2，2，222d(2)答案a二、填空题(每小题5分，共10分)3随机变量的分布列如下：101pabc其中a，b，c成等差数列若e()，则d()的值是_解析根据已知条件：解得：a，b，c，d()222.答案4(2013滨州一模)设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取2，0，2，用表示坐标原点到l的距离，则随机变量的数学期望e()_.解析当l的斜率k为2时，直线l的方程为2xy10，此时坐标原点到l的距离d；当k为时，d；当k为时，d；当k为0时，d1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：1p所以e()1.答案三、解答题(共25分)5(12分)(2013大连二模)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，a，a(0a1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为.(1)求的分布列及数学期望；(2)在概率p(i)(i0,1,2,3)中，若p(1)的值最大，求实数a的取值范围解(1)p()是“个人命中，3个人未命中”的概率其中的可能取值为0,1,2,3.p(0)(1a)2(1a)2，p(1)(1a)2a(1a)(1a)a(1a2)，p(2)a2(1a)aa(1a)(2aa2)，p(3).所以的分布列为0123p(