高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念课件3 新人教A版选修11.ppt

第三章导数及其应用3 1变化率与导数3 1 1变化率问题3 1 2导数的概念 自主预习 1 函数y f x 从x1到x2的平均变化率 1 定义式 2 实质 的增量与 增量之比 3 作用 刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 函数值 自变量 2 函数的瞬时变化率 平均变化率 某一点 3 导数的概念 f x0 瞬时变化率 即时小测 1 若函数y f x 2x2 1的图象上一点 1 1 及其邻近一点 1 x 1 y 则等于 a 4b 4xc 4 2 xd 4 2 x 2 解析 选c 因为 y f 1 x f 1 2 1 x 2 1 2 1 4 x 2 x2 所以 4 2 x 2 质点运动规律s t2 3 则在时间 3 3 t 中 相应的平均速度等于 a 6 tb 6 t c 3 td 9 t 解析 选a 故选a 3 质点运动规律s t2 3t 其中位移单位 m 时间单位 s 那么该物体在2s时的瞬时速度是 a 5m sb 6m sc 7m sd 8m s 解析 选c 因为 s s 2 t s 2 2 t 2 3 2 t 22 3 2 t 2 7 t所以所以当 t趋近于0时 趋近于7 故该物体在2s时的瞬时速度是7m s 4 如图 函数y f x 在a b两点间的平均变化率是 解析 答案 1 5 函数y f x 在x 1处的瞬时变化率为 解析 因为 y f 1 x f 1 所以所以当 x趋近于0时 趋近于 1 故函数f x 在x 1处的瞬时变化率为 1 答案 1 知识探究 探究点1函数y f x 从x1到x2的平均变化率1 在平均变化率的定义中 自变量x在x0处的改变量 x是否可以为任意实数 y呢 提示 在平均变化率的定义中 改变量 x可正 可负 但不能等于0 而 y可以为任意实数 2 若两个函数在区间 x1 x2 上的平均变化率都是正数 平均变化率的大小对函数的变化有什么影响 提示 函数在区间 x1 x2 上的平均变化率刻画函数在区间上变化的快慢 变化率越大变化越快 归纳总结 1 对于平均变化率的理解 1 y f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率是曲线y f x 在区间 x1 x2 上陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化 2 平均变化率的绝对值越大 曲线y f x 在区间 x1 x2 上越 陡峭 反之亦然 2 关于平均变化率的两个意义 1 平均变化率的几何意义就是函数y f x 图象上两点p1 x1 f x1 p2 x2 f x2 所在直线的斜率 2 平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s s t 在时间段 t1 t2 上的平均速度 即 特别提醒 增量并不一定都是正值 也可以负值 函数值的增量还可以是0 比如常数函数 其函数值的增量就是0 探究点2函数的瞬时变化率及导数1 匀速直线运动的瞬时速度与平均速度相等吗 提示 因为匀速直线运动速度的瞬时变化率为0 所以匀速直线运动的瞬时速度与平均速度相等 2 依据导数的概念 函数在某个点处一定存在瞬时变化率吗 提示 在某一点处当自变量的改变量趋近于0 平均变化率趋近于一个常数 函数存在瞬时变化率 否则不存在 归纳总结 1 对瞬时速度的两点说明 1 瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率 2 当 t在变化中趋近于0时 比值趋近于一个确定的常数 此常数称为t0时刻的瞬时速度 2 函数f x 在x0处的导数 1 当 x 0时 比值的极限存在 则f x 在点x0处可导 若的极限不存在 则f x 在点x0处不可导或无导数 2 在点x x0处的导数的定义可变形为f x0 或f x0 拓展延伸 平均变化率与瞬时变化率的关系 1 区别 平均变化率刻画函数值在区间 x1 x2 上变化的快慢 瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢 2 联系 当 x趋于0时 平均变化率趋于一个常数 这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率 它是一个固定值 特别提醒 x无限趋近于0 的含义 x趋于0的距离要多近有多近 即 x 0 可以小于给定的任意小的正数 且始终 x 0 类型一求函数的平均变化率 典例 1 一物体的运动方程是s 3 2t 则在 2 2 1 这段时间内的平均速度是 a 0 4b 2c 0 3d 0 22 求函数y f x x2在x 1 2 3附近的平均变化率 取 x都为 哪一点附近的平均变化率最大 解题探究 1 典例1中 位移与时间的改变量分别是什么 提示 位移的改变量是 s 3 2 2 1 3 2 2 0 2 时间的改变量是 t 2 1 2 0 1 2 典例2中 函数值的改变量 y的表达式是什么 提示 y的表达式是f x0 x f x0 解析 1 选b 因为 s 3 2 2 1 3 2 2 0 2 t 2 1 2 0 1 所以2 在x 1附近的平均变化率为在x 2附近的平均变化率为 在x 3附近的平均变化率为当由于k1 k2 k3 所以在x 3附近的平均变化率最大 方法技巧 求函数y f x 从x0到x的平均变化率的步骤 1 求自变量的改变量 x x x0 2 求函数的改变量 y y y0 f x f x0 f x0 x f x0 3 求平均变化率特别提醒 求点x0附近的平均变化率可用的形式计算 变式训练 1 已知函数f x x2 2x 5的图象上的一点a 1 6 及邻近一点b 1 x 6 y 则 解析 y f 1 x f 1 1 x 2 2 1 x 5 6 x 2 1 2 1 x 2 故 x 答案 x 2 求函数y 2x2 5从2到2 x的平均变化率 解析 因为 y 2 2 x 2 5 2 22 5 8 x 2 x 2 所以函数从2到2 x的平均变化率为 8 2 x 类型二求瞬时速度 典例 某物体的运动路程s 单位 m 与时间t 单位 s 的关系可用函数s t t3 2表示 则此物体在t 1s时的瞬时速度 单位 m s 为 a 1b 3c 1d 0 解题探究 运动物体的平均速度与瞬时速度有何联系 提示 运动物体在某一时刻的瞬时速度是在这一时刻平均速度的极限 解析 选b 物体在区间 1 1 t 上的平均速度为因为故此物体在t 1s时的瞬时速度为3m s 延伸探究 1 试求该物体在t0时的瞬时速度 解析 物体在t0时的平均速度为 3t02 3t0 t t 2 因为 3t02 3t0 t t 2 3t02 故此物体在t0时的瞬时速度为3t02m s 2 物体在哪一时刻的瞬时速度为27m s 解析 设物体在t0时的瞬时速度为27m s 则由 3t02 3t0 t t 2 因为 3t02 3t0 t t 2 3t02 所以由3t02 27 解得t0 3 因为t0 0 故t0 3s 所以物体在3s时的瞬时速度为27m s 方法技巧 1 求运动物体瞬时速度的三个步骤 1 求时间改变量 t和位移改变量 s s t0 t s t0 2 求平均速度 3 求瞬时速度 当 t无限趋近于0时 无限趋近于常数v 即为瞬时速度 2 求 当 x无限趋近于0时 的极限的方法 1 在极限表达式中 可把 x作为一个数来参与运算 2 求出的表达式后 x无限趋近于0就是令 x 0 求出结果即可 补偿训练 一物体做初速度为0的自由落体运动 运动方程为s gt2 g 10m s2 位移单位 m 时间单位 s 求 1 物体在t0到t0 t这段时间内的平均速度 2 物体在t t0时的瞬时速度 解析 1 物体在t0到t0 t这段时间内的位移增量则平均速度 2 物体在t t0时的瞬时速度为 类型三求函数在某点处的导数 典例 1 2016 临沂高二检测 函数y f x 2x2 4x在x 3处的导数为 2 求函数y x 在x 1处的导数 解题探究 1 典例1中当x 3时 y等于什么 提示 当x 3时 y 2 3 x 2 4 3 x 2 32 4 3 2 x 2 16 x 2 典例2中函数在x 1处的函数改变量是什么 提示 函数改变量是 y 1 x 解析 1 因为 y 2 3 x 2 4 3 x 2 32 4 3 2 x 2 16 x 2 x 16 所以f 3 2 x 16 16 答案 16 2 因为所以所以故函数y x 在x 1处的导数为0 方法技巧 求函数y f x 在点x0处的导数的三个步骤简称 一差 二比 三极限 拓展延伸 瞬时变化率的几种变形形式 变式训练 求函数f x 在x 1处的导数 解析 由导数的定义知 函数在x 1处的导数 补偿训练 求函数y x2 ax b a b为常数 在x处的导数 解析 y x x 2 a x x b x2 ax b 2x x x 2 a x 2