高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 5.2数列综合应用.doc

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：5.2数列综合应用一、数列求和（一）分组转化求和相关链接1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之；2、常见类型及方法(1)anknb，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)anbncn或数列bn，cn是等比数列或等差数列，采用分组求和法求an的前n项和.注：应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值。 例题解析【例】(1)已知数列: 则其前n项和sn=_ (2)已知求数列an的前10项和s10;求数列an的前2k项和s2k.【方法诠释】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组求和.(2)把奇数项和偶数项分开求和.解析：(1)答案: (2)s10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)由题意知,数列an的前2k项中,k个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.s2k=6+16+(10k-4)+(2+22+2k)（二）错位相减法求和相关链接1、一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法；2、用错位相减法求和时，应注意（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出的-的表达式。3、利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和，若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和。例题解析例已知数列满足是首项为1，公比为a的等比数列。（1）求；（2）如果a=2,，求数列的前n项和。思路解析：（1）根据题意得到表达式，再用累加法求通项；（2）利用错位相减法求和。解答：（1）由，当n2时，当a=1时，;当a1时，（2）则-，得（三）裂项相消求和相关链接1、利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等；2、一般情况如下，若是等差数列，则，此外根式在分母上可考虑利用有理化因式相消求和3、常见的拆项公式有：（1）（2）（3）（4）（5）例题解析【例】（2012大连模拟）已知数列an各项均为正数，其前n项和为sn,且满足4sn=(an+1)2，(1)求an的通项公式;(2)设数列bn的前n项和为tn,求tn的最小值.【方法诠释】(1)利用sn+1-sn=an+1寻找an+1与an的关系.(2)先用裂项法求tn,再根据数列tn的单调性求最小值.解析：(1)因为(an+1)2=4sn,所以所以即2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an).因为an+1+an0，所以an+1-an=2，即an为公差等于2的等差数列.由(a1+1)2=4a1，解得a1=1,所以an=2n-1.(2)由(1)知tn=b1+b2+bntn+1tn，数列tn为递增数列,tn的最小值为（四）数列求和的综合应用例设数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和；（3）若思路解析：（1）通过已知条件递推变形，构造等比数列或用迭代法求解；（2）利用错位相减法求；（3）利用反证法证明。解答：（1）方法一：由题意，当a1时，当a=1时，仍满足上式。数列的通项公式为。方法二：（2）（3）由（1）知。若，则。，。由对任意成立，知c0.下证c1.用反证法。方法一：假设c1.由函数f(x)=的函数图象知，当n趋于无穷大时，趋于无穷大。不能对恒成立，导致矛盾。c1, o0),因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为d 的等差数列。与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定利率为r(r0),那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为以表示到第n年所累计的储备金总额。（1）写出与（n2）的递推关系式；（2）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列。思路解析：（1）中关系式容易列出；（2）中利用与，与的关系以此类推，逐步得的表达式，再利用错位相减法求得，即不难得出与解答：（1）由题意可得： （2）反复使用上述关系式，得在式两端同乘1+r，得（四）数列与解析几何、不等式的综合应用例1知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.解答：（1）设直线：，联立得，则，（舍去），即，（2）证明：由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，即在恒成立，又，则有，即.注：数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命题大型综合题是历年高考的热点和重点。数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选。方法提示：数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合力度.所以，解决此类题目仅靠掌握单一知识点，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重要作用，常用的数学思想方法主要有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等.例2已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前项和为，问的最小正整数是多少？解答：（1）, , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；（